Démonstration que $\sum_{n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_{n=0}^\infty 10^n$

Bonjour a tous et a toutes,

Dans le calcule de limite en permet de dire que $\infty /\infty$ est égal a $\infty$ , ou un nombre ,ou ca n’existe pas.

Tant qu’on peux écrire l’infini sous forme d’une limite d’une fonction par exemple $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x/x+1=\infty/\infty=1$ ou $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2/x+1=\infty/\infty=\infty$ le rapport $\infty /\infty$ est calculable même si $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x=\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x+1=\infty$ par exemple.

Démonstration que $\sum_{n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_{n=0}^\infty 10^n$ :

On a:

$10101010101...=1+100+10000+1000000...= \sum_{n=0}^\infty 10^{2n}=\infty$

Et

$9999999…=9+90+900+9000+...=\sum_{n=0}^\infty 9*10^n =\infty$

Et

$1=0.9999…$

Donc

$0,10101010…=0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…=10/99$

Donc

$\sum_{n=0}^\infty 10^{2n} / \sum_{n=0}^\infty 9*10^n =10/99$

Donc

$\sum_{n=0}^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_{n=0}^\infty 10^n$.

Y a t’il une erreur dans cette démonstration?

Oui, plusieurs.

• Celle de se baser sur des limites pour supposer que des calculs sont égaux.
• Celle de traiter de la même manière un nombre infini qu’une infinité de décimales.

1) je ne vois aucun problèmes pour poser une égalité entre limite ou série, tant que j’ai la formule de la fonction ou la série l’égalité est valide même si la limite ou la série donne l’infini..

2)bah il y a pas de problème puisque un nombre infini peut être construit d’une sommation d’infinité de décimal il n’y aucun problème de dire par exemple que S=1+2+3+4..=infini et S/S=infini/infini=1.

Démonstration que $\sum_{n=0} ^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_{n=0}^\infty 10^n$ :

Si tu définies $\sum_{n=0}^\infty f(n)$ comme étant $\lim_{k\to\infty}\sum_{n=0}^k f(n)$, et que $a\sum_{n=0}^\infty f(n)=\sum_{n=0}^\infty af(n)$ alors cette égalité est triviale et peu intéressante puisque les deux sommes divergent vers $+\infty$. Pas la peine de faire une "démonstration" pour ça. Tu peux aussi mettre n’importe quel facteur strictement positif à la place de $\frac{10}{11}$.

$10101010101...$

Cette écriture n’a aucun sens, si tu écris une infinité de chiffres à gauche de la virgule, tu ne peux pas écrire le chiffre le plus à gauche… Une écriture comme $...10101$ aurait déjà plus de sens, et tu n’as pas l’ambiguïté de savoir si le chiffre le plus à droite est un 0 ou un 1.

$9999999…$

Même chose, cette écriture n’a pas beaucoup de sens.

$0,10101010…=0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…=10/99$

C’est une façon ultra-bizarre d’écrire un truc trivial :

$(100 - 1)\times 0.101010...=10\iff 0.1010... = \frac{10}{99}$

Et par ailleurs, $0,10101010…/0,999999...=10101010101…/9999999…$, tu sors ça d’où? Ça n’a pas de sens.

$\sum_{n=0}^\infty 10^{2n} / \sum_{n=0}^\infty 9*10^n =10/99$

Donc

$\sum_{n=0}^\infty 10^{2n} =10/11 \sum_{n=0}^\infty 10^n$.

Ces étapes n’ont aucun intérêt, la première égalité n’a même pas de sens (un ratio de limites n’est pas une limite de ratios, et en plus la limite de ratios diverge). Comme dit au début, à partir du moment où tu t’autorises à écrire que deux limites qui divergent vers $+\infty$ sont égales, t’as déjà fini le boulot. Par contre, tu ne peux pas manipuler cette égalité comme une égalité entre deux réels, elle est plus faible (justement parce que $\infty$ est absorbant vis-à-vis des sommes et des multiplications par des réels).

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