La notation simplifiée pour la limite d’une suite peut être elle ambigüe ?

Bonjour,

D’après la page Wikipédia, la limite d’une suite peut être notée $u_n \to a$ quand il n’y a pas d’ambiguïté.

Comment peut-il y avoir une ambiguïté ? Par définition, une suite est une famille d’éléments de $\R$ (ou d’une partie de $\R$) indexée par $\N$, et sa limite est par définition sa limite en $+\infty$.

Peut-il s’agir d’une ambiguïté où l’on ne serait pas en mesure de déterminer si par exemple $u_n \to a$ serait la définition d’une fonction ?

Ça peut sembler un détail, mais j’ai du mal à voir pourquoi les livres et les cours s’obstinent à utiliser une notation qui me semble si inutilement complexe.

Merci !

Merci pour les détails.

Si j’ai bien compris, on ne peut utiliser cette notation que pour une suite définie explicitement comme une famille d’éléments de $\R$ indexée par $\N$, et dans ce cas-là la notation intermédiaire $\lim u$ paraît meilleure. Je préfère cette notation pour mes cours car elle me paraît plus facile à lire et à retenir, mais j’utilise la notation complète dans mes exercices.

Aabu, quand tu parles de la limite de l’expression $kn$ en faisant varier $k$, est-ce qu’il s’agit d’étudier la limite de l’expression $kn$ pour tout entier $n$ quand $k$ tend vers $+\infty$ ?

Je ne suis pas sûr que tu aies bien vu la différence. Ce ne sont pas deux notations pour la même chose. Elles représentent deux choses différentes.

Disons pour se mettre d’accord que $u_n\in \mathbf R$, ce qui semble être le cas qui t’intéresse.

La notation $u_n\to a$ est une proposition qui se traduit par :

$\forall \epsilon>0 \exists \eta>0 (n\geq \eta\implies |u_n-a|< \epsilon)$

Lorsque cette proposition est vraie, alors on désigne par $\lim u_n$ le nombre $a$. Donc $\lim u_n$ est un nombre, qui vaut ici $a$, et qui ne fait sens que lorsque la limite existe (un nombre $a$ existe tel que $u_n\to a$).

La différence entre $u_n\to a$ et $\lim u_n$ se voit à plusieurs niveaux :

• $u_n \to a$ dépend d’une notion de convergence, ici c’est notamment le terme "$|u_n-a|$" dans la proposition qui pourrait varier dans d’autres circonstances ;
• de façon similaire, le nombre $\lim u_n$ dépend du sens qu’on met à $u_n \to a$ ;
• $u_n \to a$ est une proposition qui peut être vraie ou fausse, mais $\lim u_n$ peut ne pas faire sens du tout (par exemple $\lim (-1)^n$ ne fait pas sens) ;
• $\lim u_n$ est un nombre qui se manipule donc … comme un nombre : on peut écrire $1 +\lim u_n$ mais pas $1 + u_n\to a$.

J’ai bien saisi le fait que $\lim u_n$ désigne soit un réel, soit $+\infty$ soit $-\infty$ et que sa signification change en fonction de ce dernier.

En disant que $\lim u_n$ et $u_n \to a$ étaient des notations équivalentes, je voulais dire que $\lim u_n = a$ est équivalent à $u_n \to a$, $a$ un élément de la droite réelle achevée.

Je pense que tu me dis que même ces deux propositions ne sont pas équivalentes. Je crois comprendre pourquoi : $\lim u_n$ n’a pas de sens pour tous les $u_n \in \R^\N$, donc la proposition $\exists a \in \bar \R, \lim u_n = a$ n’est définie que pour les suites de $\R^\N$ qui convergent vers un réel ou divergent vers un infini, alors que $\exists a \in \bar \R, u_n \to a$ est définie pour toutes les suites de $\R^\N$. C’est bien ça ?

Merci ! Je crois comprendre : La notation $\lim{u_n}$ n’est donc définie que pour une suite ayant une limite.

La notation $u_n \to l$ elle est définie pour toute suite (réelle, voire complexe si $l \in \mathbb C$), et selon qu’elle soit vraie ou non permet de définir le terme $\lim{u_n}$.