Comment prouver l’unicité d’une suite géométrique ?

Je lisais le chapitre sur les suites arithmético-géométriques et leur étude. Je me suis alors posé la question assez basique de savoir sous quelle condition une telle suite était géométrique. Bien sûr, pour une suite $u_{n+1} = a u_n + b$, celle ayant $a$ pour raison et $b$ nul est évidente, mais je voulais démontrer que c’était bien la seule (ce qui n’est au final apparemment pas le cas).

J’ai donc abouti à la démonstration suivante. Est-elle correcte ?

Soit $\mathbb K$ l’ensemble $\mathbb R$ ou bien $\mathbb C$.

Soit $u$ une suite arithmético-géométrique, c’est-à-dire vérifiant : $\forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = a u_n + b$ avec $a \neq 1$ et $b$ deux éléments de $\mathbb K$ fixés.

$u$ est une suite géométrique si, et seulement si:

Si $b = 0$, alors $u$ est bien évidemment une suite géométrique. On prouve alors facilement que sa raison est soit $a$, soit tout élément de $\mathbb K$ si $\forall n \in \mathbb N \quad u_n = 0$.

Si $b \neq 0$, $u$ est géométrique si, et seulement si :

$\exists q \in \mathbb K \quad \forall n \in \mathbb N \quad u_{n+1} = q u_n$ $\iff q u_n = a u_n + b$ $\iff u_n(q-a) = b \quad \text{(ce qui prouve que } q - a \neq 0 \text{ car } b \neq 0 \text{)}$ $\iff u_n = \frac{b}{q-a}$

Donc, si $b \neq 0$, alors $u$ est une suite géométrique si, et seulement si, elle est constante (et donc de raison $q = 1$), et de terme général $u_n = \frac{b}{1-a}$.

Oui, mais finis ton raisonnement. Normalement, tu dois arriver à la conclusion : la suite est une suite géométrique si b=0 ou a=0.

Edit : effectivement, a=0 ne suffit pas tout à fait, il faut en plus que b=u0.

Non le cas qu’il présente est celui d’une suite constante (donc géométrique).
Par exemple la suite $u_{n+1} = 2 \times u_n + 2$ de premier terme -2, parce que ça revient à écrire $u_{n+1} = u_{n}$ (pour le cas précis où le premier terme est -2).

La question que je me pose c’est si le premier terme entre vraiment dans la détermination de la « géométricité » d’une suite. Puisque dans le cas général ($\forall u_0 \in \mathbb R$) la suite $u_{n+1} = 2 \times u_n + 2$ n’est pas géométrique.
C’est seulement lorsqu’elle est équivalente à $u_{n+1} = u_{n}$ (donc quand $u_0 = -2$) qu’elle le devient. $u_{n+1} = u_{n}$ étant une suite géométrique quel que soit son premier terme.

La réponse est peut-être du côté du terme général de la suite arithmético-géométrique où l’on retrouve le b/(1-a) et qui permet donc d’identifier facilement dans quel cas la suite est constante et dans quels cas elle ne l’est pas.

Ton raisonnement est bon mais la présentation peut-être améliorée.

@entwanne: Techniquement, tu peux prendre $a = 0$ et n’importe quel b.

@ache, Non, pas tout à fait, j’ai fait la même erreur que toi au début.

La suite u₀=2, u_n=1 pour n>0 n’est pas une suite géométrique, et c’est celle obtenue avec a=0, b=1 et u₀=2

Il faut ajouter la contrainte u₀=b

Oui mais ce cas est évident. Je pense que la question était plutôt de savoir comment reconnaître les suites géométriques (si tant est qu’elles en soient, puisque ce n’est qu’un cas particulier pour un premier terme) quand elles ne sont pas présentées sous cette forme.

Je ne comprends pas ton point. $\forall n, U_n = \frac{b}{1 - a}$ donc oui. Pour $a = 0$ on a $u_0=b$, tout comme $u_1 = b$. Où bloques-tu ?

@entwanne: Ah pardon. Si tu l’avais vu, il n’y pas de problème, effectivement ta question est intéressante du coup.

Notre suite est définie par une relation de récurrence (cf premier message), et par son premier terme (ce n’est pas dit explicitement dans le premier message, mais c’est obligatoire).

Donc u₀, a et b sont nos inconnues.

A quelles conditions sur u₀, a et b a-t-on une suite géométrique ?

C’est cette question à laquelle on doit répondre, pas une autre question.

Dans un premier temps, tu disais : si a=0, et b quelconque (et sous-entendu u₀ quelconque), la suite est géométrique. C’est faux.

Maintenant, tu dis : si pour tout n, u_n=b/(1-a) alors la suite est géométrique. C’est exact.

Pourquoi ?

Si la suite est définie comme $u_{n+1} = a \times u_n + b$ et que a vaut zéro, la suite devient alors $u_{n+1} = b$, soit une suite constante… donc géométrique de premier terme $u_0 = b$.

NON, 1000 fois NON.

Si $a=0$, la suite est constante à partir de $u_1$, mais $u_0$ est éventuellement différent de tous les autres termes, et donc la suite n’est pas constante (ni géométrique).

La suite définie par $u_0=10$ et $u_{n+1}=0 \times u_n+5$ n’est pas une suite constante, ni une suite géométrique.

Je sais que je chipote à cause d’un seul terme, alors que la suite est infinie, mais les maths, c’est la précision et la rigueur. Relis mon premier message, j’avais fait la même erreur, puis j’ai ajouté un édit. Et c’est même ton premier message qui m’a inspiré cette correction !

Ah oui pardon, je ne pensais pas à ce cas : j’oubliais que $u_{n+1} = ...$ ne définissait pas la valeur de $u_0$.