Calcul de cercle

Bonjour à tous.

Je cherche à calculer les coordonnées xC2 et yC2 du centre d’un cercle C2 dont je connais le rayon rC2. Ce cercle est tangent à un autre cercle C1 de centre (xC1,yC1) et de rayon rC1 entièrement connu. Il passe également par un point P de coordonnées (xP,yP) qui est également connu.

Il faut partir du principe qu’il y aura toujours 2 solutions : on ne sera jamais dans un des cas où le cercle cherché n’est pas traçable, ou dans celui où il n’y a qu’une seule solution.

Voici par exemple une série de valeurs:

• P : xP=1.5 et yP=1.8972
• C1 : xC1=-1.95 yC1=0 et rC1=4.95
• pour rC2=0.7, on obtient 2 solutions :(xC2=2.043 yC2=1.4555) ou (xC2=1.4178 yC2=2.5924)

Si l’on ne tient pas compte de ce que j’ai marqué précédemment, les solutions sont les suivantes :

• 2 cercles symétriques par rapport à la droite (xC1,yC1)-(xP,yP)
• 1 cercle dont le centre est dans le prolongement de la droite (xC1,yC1)-(xP,yP)
• 0 cercle (cas pour lequel il est impossible d’être à la fois tangent à C1 et passer par P)

Je suppose donc très fortement qu’il y a du calcul d’équations du 2nd degré, mais ce genre de choses est très loin dans le temps pour moi, et surtout je n’arrive pas à poser ces équations.

Je fais donc appel à votre savoir et à votre logique pour m’éclairer.

Si je n’ai pas été très clair, ne vous gênez pas pour demander des précisions.

Merci d’avance.

Xav'

J’avais commencé pareil puis je me suis demandé si c’était vraiment le cas. On est d’accord que les deux cercles peuvent être « du même côté » tout en étant tangents (puisque tangents en une même droite au même point) ?

J’avais pensé à cette situation, puis j’ai oublié de le mentionner.

C’est possible d’avoir un cercle à l’intérieur de l’autre tout en gardant la tangence. Ça change la deuxième équation par contre, on fait la différence des rayons (dans le bon sens pour que ça soit positif, idéalement, même si ça ne doit pas changer grand chose mathématiquement).

En fait, la deuxième équation (respectivement sa variante avec la différence des rayons) restreint le centre de C2 sur un cercle de centre C1 et de rayon la somme r1+r2 (respectivement la différence).

Merci pour vos réponses.

Il me semble qu’il manque un carré, non ? (ne serait-ce pas un banal pythagore ?) $(x_{\mathrm{P}} - x_\mathrm{C2})^2 + (y_{\mathrm{P}} - y_\mathrm{C2})^2 = {r_\mathrm{C2}}^2$

Et pour clarifier les éventuels doutes des dernières réponses, je suis effectivement dans le cas où le point P (et de ce fait le cercle C2) se trouve à l’intérieur du cercle C1 (pour être même plus précis, on reste dans le quart supérieur droit de C1)

En tenant compte du changement d’origine en (xC1, yC1) (et en ayant bien entendu corrigé les valeurs de xP et yP par rapport à ce changement d’origine), la deuxième équation devient, si je ne me trompe pas : ${x_{\mathrm{C2}}}^2 + {y_{\mathrm{C2}}}^2 = (r_\mathrm{C1} - r_\mathrm{C2})^2$

Le processus de substitution est un peu fastidieux étant donné que je suis en train de le faire en gardant les noms de variables tels quels, mais je ne désespère pas d’y arriver…

Je vous tiens au courant du résultat.

Merci en attendant.

Xav'

Il me semble qu’il manque un carré, non ? (ne serait-ce pas un banal pythagore ?)

Oui, j’avais oublié la mise au carré… L’équation cartésienne du cercle traduit que tous les points sont à la même distance du centre, et que cette distance est le rayon. Ça revient à Pythagore, parce que dans un repère cartésien, il y a des triangles rectangles partout quand on calcule les distances.

Le processus de substitution est un peu fastidieux étant donné que je suis en train de le faire en gardant les noms de variables tels quels, mais je ne désespère pas d’y arriver…

Ouais, c’est un peu laborieux. Pour simplifier, il y a moyen de choisir $y_\mathrm{P} = 0$ sans changer la forme de la figure (par rotation). Par contre, pour revenir dans les coordonnées précédentes, c’est pas aussi simple que pour la translation du centre du cercle. Mais le calcul est globalement plus simple.

Bon, ben ça fonctionne nickel.

Merci pour vos éclaircissements : ça m’a fait gagner un temps précieux.

Bonne continuation.

Xav'

Merci cela m’a été très utile aussi !