En prenant pour définition de mot ceux listés dans le dictionnaire français, quel est le plus petit nombre impossible à décrire en moins de 25 mots (inclus) ?
Par exemple, pour décrire le nombre 19, je peux dire :
On pourra toujours décrire ce nombre comme étant "le plus petit nombre impossible à décrire en moins de vingt-cinq mots" (13 mots), ce qui est d'ailleurs un peu paradoxal.
Ah, les phrases auto-référantes. Le cauchemar des logiciens....
Dans le même genre:
Je peux prouver que tous les nombres sont intéressants:
Imaginons qu'il existe des nombres pas intéressants. Il en existe donc forcément un qui est plus petit que les autres. C'est donc le plus petit nombre inintéressant qui existe. Cette propriété fait de lui un nombre particulier, qui le rend du coup intéressant.
Il n'existe donc pas de plus petit nombre inintéressant, donc tous les nombres sont intéressants.
Comme tu fais si tu ne peux pas définir de relation d'ordre ?
Si tu prends un nombre dans un espace de la même dimension que $\mathbb R^n$, tu pourras toujours définir une sorte de relation d'ordre biscornue avec $n$ critères ordonnés
Typiquement dans $\mathbb C$ ($\mathbb R^2$ déguisé), tu peux prendre la plus petite partie réelle, puis la plus petite partie imaginaire pour départager les nombres de même partie réelle. Et en bonus, tu as la même relation d'ordre que celle couramment utilisée pour les nombres sans partie imaginaire.
Si tu veux vraiment embêter le monde, tu te places dans un espace de dimension infinie, mais on peut plus vraiment parler de nombre, je pense…
Ouais, le truc caché là-dessous, c'est le paradoxe du barbier. C'est toujours le problème des objets qu'on veut définir comme ne vérifiant pas la propriété qui les définit.
Imaginons qu'il existe des nombres pas intéressants. Il en existe donc forcément un qui est plus petit que les autres. C'est donc le plus petit nombre inintéressant qui existe. Cette propriété fait de lui un nombre particulier, qui le rend du coup intéressant.
et
Si tu veux vraiment embêter le monde
Et si l'ensemble des nombres pas intéressants n'est ni majoré, ni minoré, i n'a ni plus grand ni plus petit élément. Comment on ferait dans ce cas-là ?
Et si l'ensemble des nombres pas intéressants n'est ni majoré, ni minoré, i n'a ni plus grand ni plus petit élément.
C'est le cas puisque l'ensemble des nombres pas intéressants est l'ensemble vide.
Plus sérieusement, suffit de définir une relation d'ordre qui permette d'avoir un plus petit élément, simplement en se basant sur la distance et l'angle à un élément quelconque.
Typiquement, si tu ordonnes $\mathbb R$ en te basant sur le module puis l'argument, tu as un minorant ($0$) et tu peux appliquer tranquillou le raisonnement de Looping. Comme vu précédemment, ça marchera pour $R^n$ ensuite (c'est vrai que j'avais même pas pensé au fait qu'il n'y a pas nécessairement de minorant ).
Tu as un exemple d'ensemble sur lequel on ne peut pas appliquer ça ?
J'ai pas compris comment vous arrivez à des questions sur les relations d'ordre alors qu'a priori, on sait pas de quoi on parle quand on parle de "nombre".
J'ai pas compris comment vous arrivez à des questions sur les relations d'ordre alors qu'a priori, on sait pas de quoi on parle quand on parle de "nombre".
Bah justement, c'est bien de là que vient la question. Selon la définition que tu prends pour nombre, tu vas avoir plus ou moins de problème pour appliquer le raisonnement.
C'est pas tout à fait ce qui a été dit. Jusque là vous avez dit des choses du genre :
Si tu prends un nombre dans un espace de la même dimension que $\mathbb R^n$, tu pourras toujours définir une sorte de relation d'ordre biscornue avec $n$ critères ordonnés
Ce qui est en fait une traduction de "si tu prends un élément de $\mathbf{R}^n$.
Personne n'a dit ce que c'était qu'un nombre sans faire d'exemple plus ou moins intuitif (ça me semble pas évident qu'un élément de $\mathbf{R}^n$ soit un "nombre" en plus).
Si tu as une définition de nombre qui empêche de fournir une relation d'ordre, fais donc. Ça me permettra d'apprendre quelque chose. Je suis parti sur la notion de nombre triviale qui est celle que tout le monde utilise tous les jours sans avoir besoin de la définir, mais si tu as quelque chose d'intéressant à proposer, fais toi plaisir.
ça me semble pas évident qu'un élément de Rn soit un "nombre" en plus
L'ensemble des complexes est assimilable à $\mathbb R^2$, celui des quaternions à $\mathbb R^4$ et celui des octonions à $\mathbb R^8$. On peut pas faire d'algèbre sur $\mathbb R$ plus "grand", mais j'ai préféré prendre large histoire de pas se restreindre. Ça me choque pas de parler de nombre pour des éléments de $\mathbb R^n$. Si tu as un argument, encore une fois, vas-y. Mais s'il te plaît ne tourne pas autour du pot pendant 5000 ans.
Pas besoin d'autant d'agressivité. Surtout que ma question est honnête, je ne sais pas ce que vous entendez par "nombre". C'est quoi ta notion triviale ?
Moi je connais pas bien le mot "nombre" mais "élément" je connais. Est-ce que quelqu'un sait reformuler dans ces termes ? Question honnête encore une fois, ne te sens pas agressé.
En quoi un "nombre" au sens d'un élément de $\mathbf{R}^n$ serait-il différent d'un ensemble ? (D'ailleurs en théorie des ensembles ce n'est pas le cas, tout est ensemble) Si on parle de manière équivalente de nombre ou d'éléments, alors l'ensemble des parties d'un ensemble assez grand est un exemple d'ensemble non totalement ordonné.
edit : pour la construction ensembliste des entiers voir ici
En clair, $0 := \{ \} = \emptyset$ et pour tout $n\in \mathbf{N}$, $n+1 := n\cup \{n\}$. Dans ce formalisme la relation n'appartenance traduit la relation d'ordre que l'on connait depuis tout petit.
Ce n'était pas le but. C'est juste que ça me gonfle littéralement quand quelqu'un vient pinailler sur une définition sans dire directement ce qu'il a en tête. C'est une perte de temps pour tout le monde. C'est intéressant de dire "tiens vous avez pas pensé à cet aspect du problème", comme la remarque plus haut "et si on peut pas donner de relation d'ordre". Par contre, pour moi, ce n'est pas intéressant de venir et de dire "vous n'avez peut être pas pensé à tout, mais je garde le secret". Je sais très bien que ce n'est pas ce que tu avais pensé, mais c'est l'impression désagréable que ça m'a laissé. Désolé si ma réponse précédente est sèche.
Moi je connais pas bien le mot "nombre" mais "élément" je connais. Est-ce que quelqu'un sait reformuler dans ces termes ?
J'ai juste pris "un nombre comme élément de $\mathbb R^n$". Mais du coup, ta dernière remarque est effectivement intéressante.
Ok à ce moment là, oui, en tant qu'élément de $\mathbf{R}^n$ tout se passe bien :).
Mais tu conviendras que c'est un cas assez particulier : est-ce que les éléments de $\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$ ne sont plus des nombres ? À partir du moment où on les regarde modulo un entier, est-ce qu'on doit les écarter ? Pour le coup c'est moins intuitif de savoir qui est un nombre ou pas
Euh… Il faut arrêter le blabla inutile. Je veux bien que le formalisme soit utile et tout, mais très franchement c'est vachement pédant comme question, « Qu'est-ce qu'un nombre ? ».
C'est assez clair que N, Z, Q, R contiennent des nombres. C aussi à la rigueur (encore que, l'absence de relation d'ordre totale naturelle fait que l'on s'éloigne de l'idée intuitive de nombre), R^n c'est déjà plus discutable dans la mesure où on s'attend quand même à une relation d'ordre totale raisonnable.
Mais Z/nZ, il n'y a pas de doute, ce ne sont pas des nombres. Déjà parce que dans Z/nZ, 0=n.
En fait, le débat est biaisé. Pour le mathématicien, peu importe ce qui est un nombre ou pas. Ce qui compte, ce sont les relations entre les objets. Dans ce genre de discutions méta-mathématiques, il vaut mieux se limiter à ce qui correspond à l'intuition. Ça permet de passer plus de temps à faire des vraies maths.
Mais Z/nZ, il n'y a pas de doute, ce ne sont pas des nombres. Déjà parce que dans Z/nZ, 0=n.
Je vois pas vraiment pourquoi ça poserait problème. C'est intuitif avec les heures sur une horloge. Ça n'empêche pas de définir de l'ordre (la journée allant de 0h compris à 24h exclus), ça n'empêche pas de faire des maths de base dessus (ajouter, enlever des heures). Dire que l'heure ce n'est pas un nombre, je trouve ça contre-intuitif.
Euh… Il faut arrêter le blabla inutile. Je veux bien que le formalisme soit utile et tout, mais très franchement c'est vachement pédant comme question, « Qu'est-ce qu'un nombre ? ».
C'est pas du blabla inutile. Du moins, je pose une question simple et au lieu de me répondre tu me dis que la question n'a pas d'intérêt.
Mais Z/nZ, il n'y a pas de doute, ce ne sont pas des nombres. Déjà parce que dans Z/nZ, 0=n.
Je vois pas vraiment pourquoi ça poserait problème. C'est intuitif avec les heures sur une horloge. Ça n'empêche pas de définir de l'ordre (la journée allant de 0h compris à 24h exclus), ça n'empêche pas de faire des maths de base dessus (ajouter, enlever des heures). Dire que l'heure ce n'est pas un nombre, je trouve ça contre-intuitif.
Alors non, il n'y a pas le même ordre aussi bon sur $\mathbf{Z}/12\mathbf{Z}$ (pour reprendre l'exemple sur l'horloge). En effet, on pourrait dire que l'on a toujours $ 0 \leq 1$ mais de même $1 \leq 2 \leq 3 \leq \ldots \leq 12 = 0$ et finalement, $0\neq 1$ et $0\leq 1 $ et $1 \leq 0$ par transivitivé. Définitivement, ce n'est pas top.
L'erreur est peut-être dans le fait que deux jours se suivent mais ne se répète pas, et que même si la position de l'aiguille revient à précédemment, on sait que l'on est à un jour différent ce qui donne un effet d'ordre. C'est comme si tu avais mis sous le tapis la donné de la date plus "exacte" (avec l'année, le mois et le jour).
En fait, le débat est biaisé. Pour le mathématicien, peu importe ce qui est un nombre ou pas. Ce qui compte, ce sont les relations entre les objets. Dans ce genre de discutions méta-mathématiques, il vaut mieux se limiter à ce qui correspond à l'intuition. Ça permet de passer plus de temps à faire des vraies maths.
Quand je vois que ça choque un auditeur mathématicien lambda quand je dis que 1 est un ensemble, non, ce n'est pas inutile. Et c'est très mathématique de demander une définition plus précise que :
C'est assez clair que N, Z, Q, R contiennent des nombres.
Ce que je veux dire, c'est que peu importe ce que l'on décide d'appeler un nombre. Quand on fait des maths, on passe notre temps à faire des abus de langages, à changer redonner un nouveau sens aux mots. Et heureusement que l'on fait ça, sans quoi on n'aurait probablement pas suffisamment de mots pour décrire chaque objet, chaque phénomène, chaque être mathématique.
Alors, certes, 1 est un ensemble. Mais franchement, qui a envie de le penser comme cela ? De même, quand j'écris -1, personne ne s'imagine le quotient d'une relation d'équivalence. Si le débat porte seulement sur la terminologie, je crains que nous ne tombions jamais d'accord sur ce qu'est un nombre.
Je veux bien considérer que Z/nZ contient des nombres, au vu de vos arguments. Mais dans le fond, ce n'est pas ça l'important.
Quand je vois que ça choque un auditeur mathématicien lambda quand je dis que 1 est un ensemble, non, ce n'est pas inutile. Et c'est très mathématique de demander une définition plus précise que :
C'est assez clair que N, Z, Q, R contiennent des nombres.
Justement, si c'est seulement de définitions dont il est question, alors je définis un nombre comme étant un élément de $\mathbb R$.
Rien ne vous empêche de faire autrement et de dire que $\pi$ n'est pas un nombre, dans le fond ce n'est pas ça l'important. Ce qui compte, c'est de comprendre les concepts et de se servir du vocabulaire comme d'une aide. Si un terme porte trop à débat ou rend confuses les explications, je recommande de limiter au maximum son usage. Et point de mathématiques là-dedans : ce principe s'applique partout.
D'ailleurs, histoire de troller un peu. Si on veut vraiment être tatillons, il n'y a que des ensembles dans la vie. Et pourtant, personne ne sait vraiment dire ce que c'est, un ensemble.
C'est bien, tu viens de montrer exactement la raison pour laquelle j'ai posé la question.
Certains se demandaient s'il existait des ensembles de nombres non ordonnés et tu viens de dire que personne ne définit "nombre" et donc il n'y a pas de question.
Maintenant je repose la question, qu'entendent certains par "nombre" ? Puisque je pense la question un minimum intéressante (celle des ensembles de "nombres" pas ordonnés) et que tout le monde ne s'entend pas sur la définition d'un nombre.
Alors après qu'on me dise que je suis tatillon, pourquoi pas. Mais au moins j'essaye de comprendre le point de vue des autres.
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