Est-ce une dérivée partielle ?

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Auteur du sujet

Bonjour aux amis des maths,

Je revise un peu quelque cours de chimie et je tombe sur une simplification un peu bizarre : Elle me met le doute, je ne sais pas si on a le droit de garder $d$ ou si l'on doit utiliser $\partial$.

Voici le problème de départ (équation d'un taux d'avancement): $r_A = \dfrac{1}V \cdot \dfrac{d(C_A \cdot V)}{dt}$

Dans le cas où le Volume dépend du temps on nous donne cette explication mathématique (à l'aide de $(uv)' = u'v+v'u$):
$r_A = \dfrac{1}V \dfrac{d(C_A \cdot V)}{dt} = \dfrac{1}V \cdot \left(\dfrac{d(C_A)}{dt} \cdot V + \dfrac{d(V)}{dt} \cdot C_A \right)$

Et je ne sais pas, cela me semble bizarre que l'on puisse faire ça sans passer par des $\partial$, par ce que, en plus après on fait ceci : $r_A = \dfrac{1}V \cdot \left(\dfrac{d(C_A)}{dt} \cdot V + \dfrac{d(V)}{dt} \cdot C_A \right) = \dfrac{d(C_A)}{dt} + \dfrac{d(V)}{V} \cdot \dfrac{C_A}{dt} = \dfrac{d(C_A)}{dt} + \dfrac{d(lnV)}{dt} \cdot C_A$

Alors sinon il est possible que je n'ai pas encore compris quand était possible de mettre les $\partial$ et dans ce cas, ce serait sympa de m'en montrer un exemple ou deux :$.

Merci pour le temps de lecture accordé, et désolé de venir un problème si peu intéressant ^^'

Нова Проспект

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Staff

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Il semblerait que les variables considérées soient uniquement en fonction du temps, d'où l'absence de dérivées partielles ;-).

Après bon, on va dire que j'abuse, mais tu n'as mis nul part qui était qui et faisait quoi en fonction de quoi.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Merci Holosmos pour ta rapide réponse :

Tout d'abord je tiens à reprendre les données, $V$ = Volume du réacteur (lieu de la réaction), $C_A$ = Concentration du reactif $A$, $t$ = temps qu'il faut pour avoir $C_A$ (en comparaison à $C_{A0} - x = C_A$$C_{A0}$ est la concentration initiale et $x$ l'avancement de réaction).

Tout ceci ce passe dans un réacteur fermé, ce reacteur, celon la réaction peut avoir un pression constante, mais le volume lui peut varier.

Donc c'est parce que $dV$ ne dépend que de $dt$ et que $P = cste$ que l'on peut écrire ça sans $\partial$ ? (Je fais reference à la loi des gaz parfait qui relie $V$ et $P$ tel que $V = \dfrac{nRT}P$ )

Édité par Blackline

Нова Проспект

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Effectivement, l'usage du symbole $\partial$ est nécessaire lorsqu'il s'agit d'une dérivée partielle (d'où le nom du symbole, d'ailleurs). Mais lorsque ta fonction ne dépend qu'une d'une variable, la dérivée partielle devient une dérivée ordinaire et le $\partial$ devient un $d$. À vrai dire, le symbole $\partial$ est sans doute autorisé même dans le cas d'une seule variable, mais bon, autant se simplifier la vie et utiliser les notations pour s'aider à raisonner.

En présence d'un $d$, on sait que l'on a affaire à une dérivée « complète ».

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Notons que si en theorie il serait possible d'utiliser $\delta$ meme pour la derivee d'une fonction a une variable, cela n'est en pratique pas toleree.

$\frac{\delta .}{\delta x}$ est un objet inseccable alors que $\frac{d .}{d x}$ represente le quotient de deux objets mathematiques: deux differentielles ou encore taux d'accroissement infinitesimal.

Il y a un lien tres clair entre les deux:

Supposons une fonction $f$ a deux variable $x$ et $y$.

$df(x,y) = \frac{\delta f}{\delta x}(x,y) dx + \frac{\delta f}{\delta y}(x,y) dy$

$df$ est la differentielle de $f$, $dx$ la differentielle de $x$ que l'on aime plutot appeler accroissement infinitésimal pour retranscrire l'idee d'une toute petite variation, et $\frac{\delta f}{\delta x}$ est la derivee partielle de $f$ par rapport a $x$.

Ce qui est peut etre perturbant par rapport a la maniere dont on enseigne les derivees des fonctions a une variable c'est que l'on ne fait jamais dans ce cas la distinction entre differentielle et derivee (ou tres peu) et que l'on a l'habitude d'ecrire:

$f'(x) = \frac{d f}{d x}$

Et en gros, a moins de faire des changements de variables dans du calcul d'integral, on ne bouge pas trop le $dx$ de la ou il est.

Aussi, si l'on applique la formule plus generale pour les fonctions a $n$ variables donnees plus haut, tu retombes dessus:

$df(x) = \frac{\delta f}{\delta x}(x) dx ~~~ (1)$

Comme $f$ n'a qu'une variable, sa derivee partielle coincide avec la derivee usuelle, c'est a dire que : $\frac{\delta f}{\delta x}(x) = \frac{d f}{d x} = f'(x)$. Ainsi, en reinjectant dans $(1)$ tu obtiens:

$df(x) = f'(x) dx$ qui reste tout a fait coherent, et heureusement !

Édité par KFC

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Attention toutefois avec la notion de « déplacement infinitécimal ». En physique, cela a souvent du sens, car cela coïncide avec des phénomènes de type vitesse.

Mais en maths, cela fait bien longtemps que la notation $dx$ de désigne plus un « petit déplacement en $x$ ». C'était le cas lorsque le calcul différentiel a été inventé, parce qu'on n'avait pas encore très bien cerné la notion. Mais à l'heure actuelle, $dx$ est une notation pour désigner la projection orthogonale sur l'espace vectoriel engendré par $x$. Cette notation est fortement pratique, parce qu'elle est stable par changements de variables, et par composition. En fait, $dx$ est une application linéaire. Et on retrouve ainsi que la différentielle $df(t)$ d'une fonction $f$, calculée en le vecteur $t$, est une application linéaire. Elle s'exprime comme une combinaison linéaire de $dx_i$, où $(x_i)_{i\in I}$ est la base canonique de l'espace vectoriel ambiant (typiquement $\mathbb R^n$). Mais ce n'est qu'une notation.

Ce n'est qu'une remarque, parce que la compréhension de la notation $d\cdot$ n'est pas exactement (en fait, pas du tout) la même en maths et en physique ; il m'a paru utile de rebondir là-dessus.

Oui et non.
En maths, cela fait bien longtemps que la notation $dx$ ne designe plus la projection orthogonale sur l'espace vectoriel engendré par $x$ et heureusement puisque cela permet la notion de derivation sans l'utilisation d'aucune base.

A priori le profil de l'OP est celui d'un physicien pas tres au fait ou interesse par des points de vue plus mathematiques. Tout ca pour dire que ma reponse se place plus au niveau de l'OP que la precision que tu apportes, et sur laquelle on pourrait surencherir sans le moindre interet pour l'OP (apres on peut toujours creer un sujet a part qui serait interessant pour… ceux que cela interesse).

Pas sur que ta precision aide l'OP a faire la difference entre une d droit et un d rond et surtout ne pas utiliser $\delta x$ comme objet mathematique seul.

EDIT: Et tant qu'on y est, on pourrait contester le fait que $dx$ est forcement lineaire. cf. Calcul d'integrales stochastiques.

Édité par KFC

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Oui oui, évidemment. C'était juste une remarque supplémentaire ; il ne fallait pas l'interpréter comme un excès de zèle. :)

Je trouve que c'est toujours intéressant et instructif de regarder les différences de sens que l'on peut donner aux notations entre différents domaines des sciences — et même entre différentes branche d'une même science, en fait —. D'autant que la plupart du temps, les notations sont présentes pour des raisons historiques, et leurs sens évoluent différemment selon la façon dont la compréhension des phénomènes progresse. Mais effectivement, ici ma remarque était un peu annexe.

Staff

T'inquiete, je voulais juste eviter de transformer le sujet en « piege a Holosmos ». :D

Höd

Spotted.

Surtout que j'allais dire qu'au final tout le monde parle de la même chose, même si on a mis plus de temps à le justifier qu'à le dire.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

HS : Höd, c'est vrai que dans un article je voulais mettre une source à une image, en ajoutant à la légende un exposant referant… Et ça a échoué !

Нова Проспект

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Staff

Cette réponse a aidé l'auteur du sujet

H.S. : On peut, mais il faut tricher (d'ailleurs, je m'étais dit qu'il fallait que je le reporte dans un sujet idoine…)

Bla bla

test source.

Il faut faire une entrée « figure » plutôt que mettre la légende directement :

1
2
![Bla bla](http://i11.servimg.com/u/f11/11/00/63/28/des_jd10.jpg)
Figure: ~~test~~, [source](http://i11.servimg.com/u/f11/11/00/63/28/des_jd10.jpg).

Fin H.S. (m'enfin, le sujet m'a l'air plutôt résolu, donc bon…).

Édité par Gabbro

Hier, dans le parc, j'ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

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