Longueurs de courbes de R^n et paramétrisation

Indépendance par rapport à la paramétrisation

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Auteur du sujet

Bonsoir à tous,

J'ai une petite question pour vous. C'est assez technique et pas très intéressant, mais je bloque un peu. Je travaille dans $\mathbb R^n$ et je m'intéresse à des longueurs de courbes de $\mathbb R^n$ qui ne sont pas forcément intégrables. Le contexte est le suivant.

Une partie $\Gamma$ de $\mathbb R^n$ est une courbe si et seulement s'il existe $a>0$ et $\gamma: [0, a]\to\mathbb R^n$ une application continue, injective telle que $\Gamma = \gamma([0, a])$. La fonction $\gamma$ est appelée une paramétrisation de $\Gamma$. Je définis la longueur de $\Gamma$ par : $$l(\Gamma) = \sup_{N\in\mathbb N}\left\{\sum_{k=1}^N || \gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1}) || : 0 = t_0 < … < t_N = a\right\}$$

Et, comme vous ne sentez peut-être venir, la question est de savoir si la longueur obtenue est indépendante de la paramétrisation choisie. Et c'est là que j'ai un problème. J'ai l'impression que c'est tout à fait évident et je n'arrive pas à le justifier. Dans tous les bouquins que j'ai consultés, les auteurs disent essentiellement que c'est facile à voir, sans explication. Et je suis assez tenté de faire pareil, mais après en avoir discuté avec quelques personnes à la fac, on s'est dit que ça serait chouette d'avoir un argument propre.

J'ai tenté pas mal de trucs : raisonnements par l'absurde, compositions de paramétrisations, etc. Mais je trouve pas d'argument frappant qui me satisfasse vraiment. Idéalement, je cherche une explication qui tienne en quelques lignes, car ce point précis n'est qu'un détail secondaire pour un travail plus conséquent.

Avez-vous des pistes ? Merci par avance, je vous aime. <3

Édité par c_pages

Staff

Le sup est sur $n$ ou $N$ ? Je crois qu'il y a une petite faute de frappe ;-)

Je réfléchis à ton problème. Mais intuitivement j'aurais deux idées (à creuser … ou tet pas) auxquelles faut que je réfléchisse d'abord.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Staff

Quand tu dis que tu as essayé par l'absurde et une composition de paramétrisations (??), tu veux dire que ça donne quelque chose ou bien non ?

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Ça ne donne rien en utilisant $\gamma_1^{-1}\circ\gamma_2$ pour passer d'une paramétrisation à l'autre ? Soit pour essayer de montrer que les ensembles sont égaux, soit dans une démonstration par l'absurde pour construire l'élément contredisant la supposition ?

Édité par Freedom

Auteur du sujet

Mes applications $\gamma$ ne sont pas inversibles, seulement injectives. Et même en rajoutant cette hypothèse, je ne sais pas quoi dire de plus finalement. À vrai dire, c'est tout à fait le genre de situations où je trouve qu'un dessin est plus convainquant qu'une démonstrations formelle. :-'

Parce que dans le fond, l'idée c'est que quelles que soient les paramétrisations, on les force à se « coller » à la courbe en faisant tendre $N$ vers l'infini. Mais je ne sais pas trop comment formaliser ça autrement que par un « c'est trivial » que nous détestons tous.

Hello,
Dans ce pdf, ils disent que "Un changement de paramétrage θ réalise une bijection entre les subdivisions de [a, b] et celle de θ([a, b]). On en déduit que la longueur d’un arc paramétré est invariante par reparamétrage."

Personnellement, ça m'a l'air suffisamment rigoureux (une fois que l'on admet la bijection) pour ce que tu cherches : tu prouves que la longueur suivant le paramétrage A est inférieure à la longueur suivant le paramétrage B, et vice-versa.

D'ailleurs, en y réfléchissant un peu, la bijection n'est pas non plus dure à trouver, donc je pense que c'est jackpot. :)

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Staff

C'est ce que je pensais faire cette nuit. Je pensais à prendre une subdivision de la forme $\phi^{-1}(\rho(t_i))$$\phi$ et $\rho$ sont deux paramétrisations.

On aurait du coup les images $\rho(t_i)$ d'un côté et $\phi(\phi^{-1}(\rho(t_i)))))))))$ de l'autre. Comme $\phi$ est bijective sur son image .... ça devrait coller mais l'ordre des $t_i$ et $\phi^{-1}(\rho(t_i))$ n'est pas le même a priori.

Pour assez de $t_i$ on devrait pouvoir s'en sortir mais il y a à rédiger proprement.

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Perso, je vois pas le problème, parce qu'il y a la bijectivité qui devrait tout régler (notamment ton problème d'ordre, mais je ne suis pas sûr de voir où tu veux en venir).

Je voyais ça comme ça : Pour l'existence de la bijection entre les deux paramétrages, c'est trivial (le paramétrage est injectif sur son image, donc bijectif, et la bijection de $\gamma_1$ vers $\gamma_2$ est tout simplement $\gamma_2 \circ \gamma_1^{-1}$). Je l'appelle $\theta$ par la suite.

J'ai la flemme de rédiger proprement, alors soyez sympas et ne faites pas de crise cardiaque, d'accord ? :D J'ai bien vérifié que tout devait marcher, normalement c'est bon. Soit $0 = t_1 < \dots < t_n = a$ une subdivision.

$$\sum_\text{subdivision1} || \gamma_1(t_k) - \gamma_1(t_{k-1}) || = \sum_\text{subdivision1} || M_{\gamma_1(t_k)} - M_{\gamma_1(t_{k-1})} ||$$$M_{\gamma_1(t_k)}$ est le point de $\Gamma$ image de $t_k$ par $\gamma_1$.

Or $M_{\gamma_1(t_k)} = M_{\gamma_2(\theta(t_k))}$ donc $$ \sum_{t \in \text{subdivision1}} || M_{\gamma_1(t_k)} - M_{\gamma_1(t_{k-1})} || = \sum_{t \in \text{subdivision1}} || M_{\gamma_2(\theta(t_k))} - M_{\gamma_2(\theta(t_{k-1}))} ||$$
Or les $\theta(t_k)$ forment aussi une subdivision (car $\theta$ est bijective donc strictement monotone), que j'appelle subdivision2 : $$\sum_{t \in \text{subdivision1}} || M_{\gamma_2(\theta(t_k))} - M_{\gamma_2(\theta(t_{k-1}))}|| = \sum_{t' \in \text{subdivision2}} || M_{\gamma_2(t'_k)} - M_{\gamma_2(t'_{k-1})} ||$$

On en conclut que $l_1(\Gamma) \leq l_2(\Gamma)$ et réciproquement, d'où l'égalité.

Je pense qu'on a même directement l'égalité des longueurs du fait que $\theta$ est une bijection, en fait.

Edit : typo

Édité par melepe

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Auteur du sujet

Ça me paraît satisfaisant. Je regarde les détails techniques de rédaction, et je vous tiens au courant. J'ai pas mal de trucs à faire ce soir et j'ai cours demain matin. Mais s'il n'y a pas de météorite, vous aurez de mes nouvelles demain dans l'après midi.

Merci à tous pour votre aide. Je regarderai en particulier s'il y a un souci par rapport à l'ordre des points images, mais je ne pense pas qu'il y ait de problème à ce niveau là, grâce au caractère bijectif.

(car $\theta$ est bijective donc strictement monotone)

melepe

C'est vrai si $\theta$ est continu, ce n'est pas trivialement le cas je crois.

Il faudrait que $\gamma^{-1}$ soit continu, on pourrait essayer d'appliquer un théorème d'inversion, mais je ne sais pas si on est dans un cas où un tel théorème existe. A défaut quelque chose de local ou par morceau pourrait permettre d'avancer.

Édité par Freedom

Ah, sprotch, je n'ai pas pensé à vérifier la continuité de $\theta$.
Cela dit, est-ce que tu es sûr de toi ? Il me semble que la réciproque d'une fonction continue est continue, non ? Le contraire me semble vraiment étonnant.

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Certain dans le cas générale.

Tu prends un courbe fermée que tu paramétrises depuis $[0,1[$, je peux bien avoir quelque chose de bijectif et continue (trivialement avec l'intervalle ouvert, sinon je ne sais pas), et donc la réciproque ne sera pas continue là où la courbe se referme.

Après on est peut-être dans un cas où la réciproque est effectivement continue, mais c'est pas si trivial que ça (si on a une régularité plus forte, C1 au moins, wikipedia donne un théorème d'inversion qui donne cette conclusion il me semble). Dans le poly que tu donnes en lien c'est le cas car le reparamétrage est défini autrement et est continue par définition.

Le cas tordue que je vois qui poserait problème c'est celui où tu as deux bijections continues nul part dérivable (me demande pas d'exemple, je sais juste que ça existe) qui ont la même image, alors pour c_pages la courbe est la même, pour le poly seulement si il y a un reparamétrage qui existe, ce qui n'est pas évident.

Auteur du sujet

Hum. J'y ai un peu réfléchi. Votre argument de changement de paramétrage me paraît satisfaisant. Il n'y a que cette histoire d'ordre pour les points $t_i$ qui a l'air de poser un problème. Mais en fait, j'ai l'impression qu'en remettant les termes « dans le bon ordre », on ne peut que faire décroître la sommes des longueurs dans la subdivision.

Il faut que j'y réfléchisse un peu plus, parce que je me fie juste à mon intuition en disant cela, et parfois elle me joue des tours. Surtout quand je viens de faire 8 h de maths. :-'

Édité par c_pages

Staff

Une autre manière de l'énoncer qui me semble juste serait de prendre des voisinages suffisamment petits de la courbe et d'y chercher un antécédent dans chaque. Là on est sûrs de pas avoir de problème d'ordre par continuité.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Pour moi les ingrédients clés sont :

  1. Continuité du paramétrage $\gamma$
  2. Injectivité du paramétrage $\gamma$
  3. $E_\gamma$ l'espace de départ est un segment
  4. L'espace d'arrivé est métrique

Pour tout paramétrage on a alors :

  • Continuité
  • Bijectivité, en restreignant à l'espace d'arrivé
  • Fermeture, 3 et 1 donne que l'image d'un fermé est un compact, 4 donne que c'est un fermé

Chaque paramétrage est alors un homéomorphisme (@melepe: Avec la fermeture vraie grâce au segment c'est bon, dans le poly ce n'est pas un segment mais un intervalle, ils doivent prendre un reparamétrage continue, alors que là il le sera par construction).

Soit $I(\gamma)$ l'ensemble dont tu prends la borne supérieur pour définir la longueur, montrons que $I$ dépend uniquement de la courbe $\gamma(E_{\gamma})=\Gamma$. Soit deux paramétrage $\gamma_1$ et $\gamma_2$ de la même courbe. Soit $x\in I(\gamma_1)$, on a $n\in\mathbb{N}$ et $u\in E_{\gamma_1}^n$ strictement croissante correspondant à $x$.

D'autre part par composition $\gamma_2^{-1}\circ\gamma_1$ est continue et bijective entre les segments $E_{\gamma_1}$ et $E_{\gamma_2}$, donc monotone :

  • Si elle est croissante alors $(v_n=\gamma_2^{-1}\circ\gamma_1(u_n))_n$ est aussi croissante et donne $x\in I(\gamma_2)$
  • Si elle est décroissante alors on pose $w$ depuis $v$ pour la rendre croissante, grâce à la symétrie de la distance on a à nouveau $x\in I(\gamma_2)$

Édité par Freedom

Auteur du sujet

Dans le cadre du travail que je dois fournir, je souhaite limiter au maximum l'aspect trop technique de ce résultat intermédiaire.

Je propose donc l'argument suivant. Soient $\gamma_1$ et $\gamma_2$ deux paramétrisations. $\gamma_1$ est bijectif sur on image et $\gamma_2\circ\gamma_1^{-1}$ réalise une bijection entre l'image de $\gamma_1$ et l'image de $\gamma_2$, je note $\theta$ cette bijection. Par construction, $\theta$ est une bijection entre les subdivisions de $[0, a]$ et les sudbivisions de $\theta([0, a])$. $\theta$ est continue et bijective donc est monotone, d'où la conclusion.

Cela vous paraît-il suffisant et surtout correct ? J'ai un peu passé sous silence les détails, par manque de temps et parce que c'est un peu technique (je travaille sur un plus gros projet et je ne souhaite pas m'attarder sur ce point). Mais dans quelques jours, je vous proposerai une démonstration propre faisant le bilan de vos commentaires, si cela vous intéresse.

Staff

Ça me paraît largement suffisant si c'est une simple remarque.

À la rigueur tu peux mettre une annexe, mais ça me paraît pas être un résultat très important à démontrer.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Ce n'est pas faux, mais si je lis ça comme explication, j'ai la même réaction qu'au message de melepe, pourquoi la composition, ou plus exactement la fonction réciproque d'un paramétrage, est continu ?

Tu peux éluder en énonçant qu'une fonction bijective continue d'un segment dans un espace métrique admet une bijection réciproque continue et mettre la démonstration en annexe.

Mais si tu ne mentionnes même pas ce point, j'ai un peu l'impression que tu prends le lecteur pour un idiot : "L'indépendance n'est pas évidente pour toi, tiens je te donne une partie du raisonnement et pour le reste débrouille toi".

Édité par Freedom

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