Promis, quand j'aurai des gosses je préviens tout le monde des dates et sexes 
En tout cas, le résultat est assez dingue :0
Non, c'est ce que j'ai précisé dans mon edit pour la différenciation. Ici, on doit différencier qui est qui. En fait, au lieu d'avoir $(f_n,f_n)$, on doit différencier $(f_{1_n}, f_{2_n})$ de $(f_{2_n}, f_{1_n})$ en considérant que $f_1$ est la fille dont l'énoncé parle et $f_2$ la fille née le dimanche. On a donc bien $P(I) = \frac{4N}{(2N)^2}$
EDIT : J'avais effectivement fait le calcul avec $P(I) = \frac{4N-1}{(2N)^2}$ à l'origine, mais j'ai ensuite virer ce -1 en me disant que les deux cas n’était du coup pas les même. Mais effectivement, en relisant les détails, le fait que leur anniversaire puisse être le même jour fusionne les deux cas.
Mais dans ce cas-là, tu as bien plus que (2n)^2 possibles, non ? $\displaystyle(g_{1_i}, f_{2_j})$ en sommant sur j et en multipliant par 2 (2 sexes), il y a 2N possibilités pour les couples de la forme $\displaystyle(g_{1_i}, *_{2_*})$.
En sommant sur i, on obtient 2N². En multipliant par 2, 4N², puis en intervertissant $\displaystyle*_{1_*}$ et $\displaystyle*_{2_*}$ dans le couple, 8N².
Donc ça ne va pas.
Edit : tu as édité pendant que je rédigeais ma réponse, du coup je pense qu'on est d'accord.
(c'est vachement intéressant les gosses d'Holosmos !)
Je suis tombé de manière random sur ce papier aujourd'hui, et comme je suis aussi tombé de manière random sur ce topic, j'me suis dit qu'il fallait que je partage…
Pour les flemmards, le corrigé.
Par contre je suis assez étonné que l'auteur propose des démonstrations avec des arbres de démonstration formelle à des lycéens de terminale. 
C'est dit quelque part que c'est pour les lycéens ? J'en ai pas l'impression.
Si, là. Je me demandais quel était le public visé par ce PDF, parce que le coup des "ateliers" me laissait entendre que ce n'était pas un cours universitaire. Du coup, j'ai remonté l'URL et j'ai fini par tomber sur cette page.
Hello ! Je déterre ce topic pour une jolie petite énigme, qui a fait semble-t-il un petit tour de l'internetosphère francophone fin août.
On suppose que l'on dispose d'une boîte (infiniment grande), qui à 12:00 est vide.
A 13:00, donc après une infinité de rajouts et d'enlèvements de boules, combien de boules contient la boîte ?
C'est pas très clair mais j'imagine que la durée entre chaque ajout/retrait diminue de plus en plus pour tendre vers 0 ? Sinon il y a pas vraiment de paradoxe.
Oui, pardon, à chaque fois que la période de temps qui nous sépare de 13h est divisée par 2, on rajoute 10 boules et on en retire une au hasard. Il y a donc une infinité d'étapes.
Mais quand tu enlèves une boule la première fois, la seconde y en a 19 paq 20, si?
Oui, désolé pour ces cafouillages :/
Ça serait pas encore un problème de linéarité et de commutativité ça … ? ( série alternée tossa toussa … )
edit : voir stabilité de la somme aussi
Il me semble qu'on peut avoir n'importe quel nombre de boules à la fin, en fonction de comment on choisit la boule qu'on enlève. Si on numérote toutes les boules selon leur ordre d'arrivée :
(je sais pas si on peut obtenir un nombre fini non nul de boules....)
En fait j'avais lu un truc similaire ya longtemps, et il me semble qu'avec une infinité indénombrable d'itérations, on aura toujours la boite vide à la fin, même si on rajoute une infinité de boules à chaque fois et qu'on en enlève une)
Pour moi, à chaque itération on fait +9, donc ça devrait tendre vers l'infini :| Mais vu qu'il est censé y avoir un paradoxe, je suppose que ce n'est pas ça.
Looping : il y a de ça, cela dit dans le cas présent la stratégie de retrait des boules est donnée, donc il n'y a qu'une seule réponse possible.
Vael : pas cette fois !
Phigger : bien vu. 
Solution, mais ne la regardez pas si vous aimez chercher, en vrai ça peut se trouver par soi-même :
L'idée est de considérer, pour une boule, quelle est la probabilité qu'elle se fasse évincer avant 13:00. En fait, on peut calculer que cette probabilité est de 1, et donc qu'aucune boule n'est présente après une infinité (dénombrable !) d'étapes. Comme j'ai la flemme de faire la démo, je vous donne une vidéo qui le prouve tout aussi bien :
On peut noter qu'avec la version du problème qu'on a là, il est très facile de donner une stratégie telle qu'on se retrouve avec $i$ boules à la fin, $i$ valant entre $0$ à $9$ (à l'étape $p$, ôter la $p + i$-eme boule). Je ne sais pas si on peut faire plus, par contre.
Et j'enchaîne avec un problème qui est assez semblable (si, si) :
Le but étant bien sûr de trouver où est l'erreur dans le raisonnement.
Il y avait un problème du même genre sur une vidéo de Science4All, montrant $\sqrt{2}=2$
Mais j'ai jamais trouvé la faille parce que j'ai jamais réussi à mathématiser rigoureusement le problème 
C'est dingue j'ai vu ce problème hier et j'y ai réfléchi aujourd'hui. et maintenant il est ici ! Mais en fait la solution est évidente. Le problème quand on retire les coins à l'infini, c'est que ça n'épousera jamais le cercle, car on "ne courbe" pas les lignes sur le cercle, elles continuent à former un angle droit et n'auront jamais la forme du cercle.
Mathématiquement je crois que j'avais esquissé une série et j'avais essayé de faire tendre cette série vers l'infini.
Par contre de Science4All, dans la même vidéo, il expliquait qu'il y avait une somme de cosinus spéciale qui n'était dérivable en aucun point. Et ça… oO
Pour la série des cosinus, de mémoire, ça devait être :
Comment esquisses-tu une série sur ce problème ? 
Le problème quand on retire les coins à l'infini, c'est que ça n'épousera jamais le cercle, car on "ne courbe" pas les lignes sur le cercle, elles continuent à former un angle droit et n'auront jamais la forme du cercle.
Eh si. La limite de la (suite des) courbe "carrée" est bien le cercle.
(Je vais éviter de spoiler la réponse 
)
Pour la série de cosinus, effectivement ca fait un peu peur vu comme ca. La continuité est pas très dure à obtenir (serie absolument convergente). La non-dérivabilité… Essayez de dériver à l'intérieur de la somme pour voir ce que ca devrait donner si c'était dérivable 
Alors, comme le dit Grob' (tu aurais pu donner la solution si tu avais voulu, c'est pas comme si j'avais inventé le problème 
), la "courbe carré" converge bien vers le cercle. Mais ce n'est pas suffisant pour affirmer ce qu'affirme l'image !
Explication :
En fait, tout vient d'une confusion entre deux objets très différents. Pour résumer, on a :
Pour écrire ça en termes plus mathématiques, en notant $c_n$ les "courbes carrées" et $p(\cdot)$ la fonction qui à une courbe fermée associe son périmètre, on a $\displaystyle O_1 = p\left(\lim_{n\to\infty} c_n\right)$, et $\displaystyle O_2 = \lim_{n\to\infty} p(c_n)$.
Et ces deux objets ne sont simplement pas équivalents ! Le premier, comme on a pu le voir, vaut $O_1 = \pi$, tandis que $O_2 = 4$.
Ceux qui ont déjà fait un peu de maths en prépa peuvent voire l'analogie avec ce qu'il se passe quand la convergence d'une série est simple et non uniforme ; dans ce cas-là on ne peut pas inverser, par exemple, somme et limite.
Dans notre cas, il est bien sûr possible de trouver des suites de courbes qui convergent bien, et en forme et en périmètre, vers ceux du cercle (c'est ce qu'avait commencé Pythagore, en encadrant le cercle dans des polygones réguliers). Je ne connais pas de condition nécessaire et suffisante, mais à mon avis une convergence dominée sur l'intégrale curviligne (ça existe ?) devrait donner une condition suffisante.
Je donne également le lien vers un article de ElJJ qui parle du paradoxe, vous y verrez notamment que j'ai volé sans vergogne une de ses images.
Et pour finir, quel est le rapport avec le premier paradoxe ? Eh bien, dans le premier paradoxe, l'intuition est de calculer le cardinal à tout instant $n$, et d'aller à la limite. Et donc, de calculer $\lim |c_n|$. Alors que ce qui est demandé, c'est le cardinal de la limite ($|\lim c_n|$).
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