Les paradoxes

Et autres petites énigmes étonnantes ou contre-intuitives

a marqué ce sujet comme résolu.

Techniquement, dire que le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes ne veut pas dire que le barbier ne se rase pas lui-même.

Phigger

En effet. La formulation correcte du paradoxe devrait être : « Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes et uniquement eux. Qui rase le barbier ? ».

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^^ En fait, il s'agit du "Paradoxe de Russel" qui montre l'inexistence de l’ensemble de la totalité des ensembles.

F = {E ∈ Ê | E ∉ E}

Par l'absurde puisque Ê est considéré comme l'ensemble de tous les ensembles.

jhonthekiller102

Il n'existe pas d'ensemble qui contienne tous les autres, en revanche on peut considérer un objet qui contienne tous les ensembles. Il s'agit alors d'une catégorie.

Ce que je trouve d'intéressant, c'est que cette interdiction suggère une théorie plus importante qui formalise cette idée.

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Ce que je trouve d'intéressant, c'est que cette interdiction suggère une théorie plus importante qui formalise cette idée.

Holosmos

Historiquement, ça a surtout engendré le concept de classe, qui est suffisant pour "se sortir" du paradoxe de Russell. La théorie des catégories n'est venue qu'après. Personnellement ce que je trouve intéressant dans ce paradoxe, c'est l'utilisation de l'argument diagonal.

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Je n'ai pas dit qu'historiquement c'est ce qui a été fait. Mais a posteriori on se rend compte de l'énormité de l'indice.

C'est un cas, comme de très nombreux autres, d'expérience négative. C'est-à-dire qu'on comprend mieux ce qu'on ne sait pas. En l'occurence, on sait qu'on comprend mal le concept « d'ensemble des ensembles ». Ce qu'on en fait … c'est une autre histoire, mais c'est intéressant de voir que ce paradoxe très simple est une très belle expérience négative.

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D'ailleurs, Frege était en train de rédiger son grand-oeuvre, qui s'est complètement écroulé quand il a reçu la lettre de Russell. D'après l'excellente BD Logicomix (~p161), Frege a débaroulé chez son éditeur, en lui disant de tout annuler alors que le livre était déjà sous presse. Finalement, il accepta de faire paraître son libre, avec l'addentum suivant (je vous laisse traduire avec Google Translate si besoin) :

Hardly anything more unfortunate can befall a scientific writer than to have one of the foundations of his edifice shaken after the work is finished. This was the position I was placed in by a letter of Mr. Bertrand Russell, just when the printing of this volume was nearing its completion.

Et je relance avec une autre énigme :

Holosmos a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon, sachant que son anniversaire est dimanche prochain ?

Je sais que c'est très proche de L'énigme de Höd, mais c'est juste pour voir si vous suivez. :)

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Si tu donnes une caractéristique de l'enfant qui permet de le distinguer de l'autre (exemple : c'est l'aîné), alors je dis 1/2, mais sinon c'est toujours 2/3 (je crois). Du coup, comme a priori rien n'empêche que l'anniversaire du premier enfant soit aussi dimanche prochain, je ne vois pas ce qui change

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Attention au "presque sûr" en proba :D Y'a quand même une chance sur 365. Du coup, si melepe fait bien cette hypothèse implicite, je le traite d'escroc malhonnête. Pour être un escroc honnête il aurait fallu écrire "c'est celui dont l'anniversaire est dimanche prochain".

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« presque sur » est parfaitement défini en probabilité, puisque c'est une propriété qui vrai sauf sur ensemble de mesure nulle. Mais bon, je dois avouer que ce n'était pas le sens que je donnais ici.

Je pense aussi que c'est un escroc dans ce cas là. Par contre, on pourrait dire « sachant que le second s'appelle Dominique ». C'est un prénom neutre, et surtout on peut bien plus assumé, qu'à part un ensemble de mesure nulle de parents débiles, les deux enfants auront des prénoms différents.

Edit: pour Looping, tu peux désormais ordonner les enfants (l'enfant né dimanche prochain, celui qui n'est pas né dimanche prochain).

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Tu considères toutes les issues possibles où le couple $(a,b)$ signifie que Holosmos aurait eu d'abord un enfant de sexe a puis un enfant de sexe b. L'univers est donc ${(fille,fille),(fille,garçon),(garçon,garçon),(garçon,fille)}$. Toutes ces issues sont équiprobables donc de probabilité $1/4$. Si on te dit que l'aîné des enfants est une fille, alors il ne reste que les issues ${(fille, garçon),(fille,fille)}$ qui sont toujours équiprobables d'où le $1/2$. Le raisonnement fonctionne de la même manière tant que tu as une façon de distinguer l'enfant dont tu connais le sexe de l'autre, là c'était en sachant que c'était l'aîné. Si tu sais que la fille est le seul enfant dont l'anniversaire est dimanche prochain, tu peux faire la même chose, mais si la possibilité que l'autre aussi ait son anniversaire dimanche n'est pas exclue, tu ne peux pas.

Edit : Höd, c'est bien parce que le presque sûr a une définition que j'ai tiqué :)

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Non, les deux enfants peuvent tres bien etre né le même jour, ca ne change rien.

Si on reprend ton calcul de probabilité du début pour un nombre $N$ de jour en posant $I$ = l'ensemble des couples ayant une fille et un autre enfant né le jour $n$ et $A$ = l'ensemble des couples ayant un garçon, on a :

$$Card(\Omega) = (2N)^2$$
$N$ possibilités de jour de naissance et 2 sexe possible
$$P(I) = \frac{4N}{(2N)^2}$$
qui réprésente les différents couples ${(f_x, f_n), (f_n, f_x), (f_x, g_n), (g_n, f_x)}$ les couples ou une fille est né un jour quelconque et l'autre le jour $n$
$$P(A \cap I) = \frac{2N}{(2N)^2}$$
qui représente les différents couples ${(f_x, g_n), (g_n, f_x)}$ les couples une fille né un jour quelconque et le garçon le jour $n$

Au final,

$$P(A|I) = \frac{P(A \cap I)}{P(I)} = \frac{\frac{2N}{(2N)^2}}{\frac{4N}{(2N)^2}} = \frac{\frac{1}{2N}}{\frac{1}{N}} = \frac{N}{2N} = \frac 1 2$$

EDIT : En fait ici le cas $(f_0, f_0)$ et $(f_0, f_0)$ n'est pas le même suivant qui est né en premier, donc $P(I) \neq \frac{4N-1}{(2N)^2} $, qui serait le cas si on avait dis : "Le couple à 2 enfants dont une fille né un dimanche, quelle sont les chance que le deuxième soit un garçon ?"

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Si tu fait ça, tu fixe une date alors que tu n'as aucune informations sur celle-ci. Il est né le jour $n$, ok, mais ton $n$ correspond a quoi ? Faut prendre en compte tout les $n$ possible, ce qui revient à pas le fixer.

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Je suis ravi de vous donner du fil à retordre, et si ça peut vous rassurer, je ne suis pas un escroc malhonnête1.
Par conséquent, il faut évidemment faire l'hypothèse que les deux naissances sont des événements complètement indépendants, comme vous l'avez fait : on ne joue pas à "alors, la grossesse dure neuf mois, ce qui fait 36 dimanches en moins, …".

Bibi : c'est bien vu de vouloir passer par les maths et uniquement par les maths pour dénombrer… mais tu t'es trompé de peu, il y a un événement que tu as compté deux fois, et $\displaystyle P(I) = \frac {4N-1}{(2N)^2}$.

Explications :

Petite remarque en premier lieu : l'énoncé originel indiquait, si ma mémoire est bonne, "… sachant que celui-ci est né un dimanche". Je vais commencer par résoudre cet énoncé, parce que ça nécessite moins de gros chiffres.

Notre énoncé est donc : "Holosmos a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon, sachant que cet enfant est né un dimanche ?"

Nous avons deux scénarios possibles, qui à eux deux recouvrent l'ensemble des possibles :

  • Le premier enfant (aîné) est une fille, le second est né un dimanche;
  • Le premier enfant (aîné) est né un dimanche, le second est une fille.

Dans le premier scénario, on a les événements $\displaystyle (f_i, g_7)$ et $\displaystyle(f_i, f_7)$2 qui correspondent aux exigences . Soit 14 cas possibles.
Dans le second scénario, on a les événements $\displaystyle(f_7, f_i)$ et $\displaystyle(g_7, f_i)$ qui correspondent aux exigences, soit 14 cas possibles.

Notre univers des possibles est donc l'union de ces deux scénarios, soit… 27 événements possibles. Car l'événement $\displaystyle(f_7,f_7)$ apparaît dans chacun des deux scénarios, donc attention à ne pas le compter en double !

A partir de là, c'est facile. Nombre d'événements favorables : ce sont les $\displaystyle(g_7, f_i)$ et les $\displaystyle(f_i, g_7)$, donc 2*7 = 14 événements favorables.

D'où la réponse à l'énoncé originel (ie, pas le mien) : $P = \frac{14}{27} \approx 0.5185$.

Maintenant, revenons à l'énoncé que j'ai donné : Holosmos a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilité que l'autre soit un garçon, sachant que son anniversaire est dimanche prochain ?

Dimanche prochain, c'est un jour précis dans l'année. On peut donc fixer n'importe quel jour (un dimanche de préférence, restons cohérents, et tant qu'à faire prenons dimanche 14 juin) des 365 de l'année, et reprendre le raisonnement précédent :

  • Nombre de cas possibles : 4*365-1 = 1459
  • Nombre de cas favorables : 2*365 = 730
  • $P = \frac{730}{1459} \approx 0.5003427$

La probabilité que l'autre enfant soit un garçon est donc $P = \frac{730}{1459} \approx 0.5003427$.

Pour ceux qui restent sceptiques, voici une autre approche, plus visuelle, proposé dans le bouquin (permettez que je repasse à l'énoncé originel, je veux bien faire un tableau 14*14, mais 730*730 c'est au-dessus de mes forces). C'est la même chose, mais plus "intuitif" :

On commence par faire un tableau avec tous les possibles.

Tableau initial

Dedans, regardons tous les cas où l'aînée est une fille, et où le deuxième enfant est né un dimanche (cellules en bleu sur l'image) :

l'aînée est une fille le second enfant est né un dimanche

Et maintenant, regardons tous les cas où le premier enfant est né un dimanche, et le second est une fille (cellules en bleu sur l'image) :

le premier enfant est né un dimanche, la cadette est une fille

On sait qu'on se trouve dans une de ces deux possibilités. Ce qui donne l'univers des possibles suivant, représenté ici par les cellules bleues (l'univers des possibles est l'ensemble des cellules bleues) :

univers des possibles

(On remarque bien l'intersection des deux scénarios sur l'événement $(f_7, f_7)$, ce qui nous donne un total de 27 cas possibles.).

Maintenant, il n'y a plus qu'à compter les cas qui nous sont favorables (en vert) :

dénombrement

On a 14 cas favorables, donc P = 14/27, CQFD.
Et voilà !

Et si vous voulez le refaire pour le cas à 365 jours de naissance différents, n'hésitez surtout pas. :p

Conclusion : Si tu as des enfants, Holosmos, sois sympa et envoie des faire-parts, ce sera plus simple. :p

Je tiens cette variante d'un très bon livre d'énigmes mathématiques, qui ne nécessitent que le bagage mathématique de terminale pour être résolues (enfin, avant les réformes, maintenant je ne sais pas). Histoire de faire bonne mesure, j'ai oublié le nom, et je ne passe pas chez moi avant longtemps. :(
Le titre était quelque chose comme "64 énigmes mathématiques", et le livre faisait notamment intervenir un professeur Trécarré. Si quelqu'un connaît…

Edit 1, 2, …, n : pfiou, c'est pas marrant, d'écrire un roman comme ça. Je mets des plombes à me corriger, et quand je crois avoir fini, il faut s'y remettre.

Edit n+1 : J'ai retrouvé le nom du livre ! Il s'agit de "LES MATHS AU CARRÉ, 64 PROBLÈMES CORRIGÉS : ALGORITHMES ET SPÉCULATIONS DIVERSES.", par M.P. Falissard, aux éditions Ellipses.

Edit n+2, …, … : Je crois avoir dégommé le record du nombre d'éditions d'un message. :D

  1. D'ailleurs, si vous voulez un IPHONE 6 LIVRÉ CHEZ VOUS EN 24 HEURES POUR 1€, laissez-moi un MP avec votre numéro de CB, ainsi que les chiffres de sécurité et la date d'expiration. J'ai testé, CECI N'EST PAS UNE ARNAQUE. :D  ↩

  2. Je reprends les notations déjà utilisées dans ce topic. $f_i$ indique une fille qui est née le jour i. 1 = lundi, … 7 = dimanche. Le couple $(f_i, g_j)$ indique que l'aînée est une fille, née le jour i, et le cadet est un garçon, né le jour j. ↩

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