Alors, comme le dit Grob' (tu aurais pu donner la solution si tu avais voulu, c'est pas comme si j'avais inventé le problème 
), la "courbe carré" converge bien vers le cercle. Mais ce n'est pas suffisant pour affirmer ce qu'affirme l'image !
Explication :
En fait, tout vient d'une confusion entre deux objets très différents. Pour résumer, on a :
- $O_1$ ,le périmètre de la limite de la "courbe carrée", qui vaut $\pi$, et
- $O_2$, la limite des périmètres des courbes carrées, qui vaut $4$.
Pour écrire ça en termes plus mathématiques, en notant $c_n$ les "courbes carrées" et $p(\cdot)$ la fonction qui à une courbe fermée associe son périmètre, on a $\displaystyle O_1 = p\left(\lim_{n\to\infty} c_n\right)$, et $\displaystyle O_2 = \lim_{n\to\infty} p(c_n)$.
Et ces deux objets ne sont simplement pas équivalents ! Le premier, comme on a pu le voir, vaut $O_1 = \pi$, tandis que $O_2 = 4$.
Ceux qui ont déjà fait un peu de maths en prépa peuvent voire l'analogie avec ce qu'il se passe quand la convergence d'une série est simple et non uniforme ; dans ce cas-là on ne peut pas inverser, par exemple, somme et limite.
Dans notre cas, il est bien sûr possible de trouver des suites de courbes qui convergent bien, et en forme et en périmètre, vers ceux du cercle (c'est ce qu'avait commencé Pythagore, en encadrant le cercle dans des polygones réguliers). Je ne connais pas de condition nécessaire et suffisante, mais à mon avis une convergence dominée sur l'intégrale curviligne (ça existe ?) devrait donner une condition suffisante.
Je donne également le lien vers un article de ElJJ qui parle du paradoxe, vous y verrez notamment que j'ai volé sans vergogne une de ses images.
Et pour finir, quel est le rapport avec le premier paradoxe ? Eh bien, dans le premier paradoxe, l'intuition est de calculer le cardinal à tout instant $n$, et d'aller à la limite. Et donc, de calculer $\lim |c_n|$. Alors que ce qui est demandé, c'est le cardinal de la limite ($|\lim c_n|$).
