La sphère en tant que surface de Riemann

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Bonjour à tous,

J'ai commencé (il y a 2 heures) la rédaction d'un tutoriel dont l'intitulé est La sphère en tant que surface de Riemann.

J'aimerais obtenir un maximum de retour sur celui-ci, sur le fond ainsi que sur la forme, afin de proposer en validation un texte de qualité.

Si vous êtes intéressé, cliquez ci-dessous

Merci d'avance pour votre aide

J'ai rédigé la partie 2 pour soumettre l'état d'esprit à la critique. En principe, tout le contenu théorique y est, il reste à voir la forme. Il manque aussi les intro/conclu, mais ça c'est pas important pour le moment.

Les notions classiques d'analyse complexe seront abordées dans la partie 1. Donc ne paniquez pas si je parle d'applications holomorphes/analytique sans avoir rien dit avant :). Les notions élémentaires de topologie dans $\mathbf{C}$ le seront également.

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Projection stéréographique et compactification :

Un truc m'a perturbé : tu parles deux fois de $\mathbf S^{2}$ avant d'introduire cette notation. A la base, je pensais que c'était parce que tu allais l'introduire dans les parties précédentes, mais manifestement ce n'est pas le cas.

Quelle est la différence entre $:=$ et $=$ ?

Dans la suite on notera : C^=C∪{∞}.

Déjà dit en introduction.

il suffit de l'identifier à un point de la droite complexe

On parle de droite complexe ?

Pour un point p donné, on va choisir l'intersection

Tu le dis plus bas : $p$ est dans $\mathbf S^{2}$.

Si j'ai bien compris, cette partie sert à mettre $\hat{\mathbf C}$ et $\mathbf S^{2}$ en bijection ?

Fonctions holomorphes sur la sphère :

avec la convection 1/∞

convention ?

En effet, si on regarde l'application : J:P−1N∘ν2∘PN

Ce ne serait pas plutôt un $=$ ?

Je m'arrête là parce que je n'ai pas les connaissances nécessaires pour apprécier la suite.

J'ai conscience qu'il s'agit d'une esquisse mais on se demande vraiment ce que tu fais. On comprend parce c'est bien expliqué, mais on ignore où on va et pourquoi on fait ça.

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$\mathbf{S}^2$ est une notation très classique. Et puis elle est précisée après, donc ça ne devrait pas poser problème.

On peut mettre := lorsqu'il s'agit d'une définition et non d'une relation.

$\mathbf{C}$ est une droite en tant que $\mathbf{C}$-espace vectoriel de dimension 1. On parle de droite complexe et du plan des nombres complexes. C'est une discussion qu'on a déjà eue avec @dri1. La mention « droite » permet d'insister sur la nature topologique de $\mathbf{C}$.

Je vois pas le problème avec $p$, tu m'éclaires ?

Oui la projections stéréographique fournie l'homéomorphisme. Je n'aborde formellement que la partie bijective et je donne des raisons de penser que c'est bien un homéomorphisme.

Le reste est corrigé.

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$\mathbf{S}^2$ est une notation très classique. Et puis elle est précisée après, donc ça ne devrait pas poser problème.

Je ne la connaissais pas. Et ce n'est pas très agréable de lire "on va travailler sur ça" sans savoir ce qu'est ce "ça". Peut-être peux-tu parler de la "sphère unité", le but étant de ne pas utiliser la notation $\mathbf{S}^2$ avant de l'avoir introduite.

Je vois pas le problème avec $p$, tu m'éclaires ?

Il faudrait préciser qu'il appartient à $\mathbf{S}^2$.

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Pour la notation, j'ai fait une petite correction qui arrivera lors de la prochaine mise à jour de la beta (je vais pas mettre à jour pour quelques mots ;)).

Je dis juste avant que l'application a pour domaine $\mathbf{S}^2$ mais je rajoute une précision (même si je la trouve redondante).

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Je dis juste avant que l'application a pour domaine $\mathbf{S}^2$

Tu as raison, mais je ne pense pas que rajouter un "dans $\mathbf{S}^2$" derrière "$p$" gêne la lecture.

Sinon, il me semble nécessaire que tu fasses rapidement une introduction. Ici, tu dis que ce sujet est beau : explique-nous pourquoi, donne-nous une raison de nous y intéresser. Actuellement, seuls des lecteurs aimant faire des Maths pour faire des Maths peuvent apprécier le tutoriel.

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Es-tu sûr de vouloir faire cette première partie ? Est-ce que tu la fais pour rendre le tutoriel plus accessible, ou pour donner un peu d'intuition sur la topologie complexe ? Personnellement je trouve que le titre et le découpage ne sont pas les bons : si tu veux juste introduire quelques notions, tu peux juste tout mettre dans la première partie et appeler le premier chapitre "Préambule" ou quelque chose comme ça.

Ce que je crains vraiment, c'est que ce que tu écrives soit, à terme, repris/redit par un éventuel cours sur les complexes. Je n'aime pas trop la duplication d'efforts (encore que parfois ça soit défendable),

Je n'ai que survolé le premier chapitre, mais de ce que j'en ai lu c'est très compréhensible. Pas mortellement intéressant (je connaissais déjà les concepts, sans vraiment les avoir étudiés), mais c'est léger donc ça va. On est curieux d'en apprendre plus sur la compactification, mais ça n'est pas trop le sujet alors tu n'es pas obligé d'en dire davantage (le lien suffit).

Je lirai plus attentivement le deuxième chapitre.

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Si ça ne tenait qu'à moi je ferais un premier chapitre préambule comme tu le dis et où je rappelle très vite la topologie de $\mathbf{C}$ et les principaux résultats sur les fonctions holomorphes.

Finalement ce que tu dis me paraît pas dingue. J'attends d'autres avis mais je suis bien tenté par ta solution.

Le premier chapitre est pas super fun. Le second est le plus important et en principe le plus exotique.

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Personnellement, je sortirais la première partie sur les complexes du tutoriel pour en faire un tutoriel à part. Tu pourrais commencer par écrire un truc très léger, avec seulement les résultats dont tu as besoin, avant de les compléter plus tard pour en faire des cours plus complets sur le sujet (ou de déléguer cette tâche à quelqu'un d'autre).

Le paragraphe sur la projection stéréographique m'a fait penser à mes cours de géographie de collège. Ce serait sympa de faire le lien.

Pas grand chose d'autre à dire, le tutoriel étant assez costaud niveau pré-requis. Par exemple, je ne sais pas ce qu'est un espace compact, ce qui fait que j'ai arrêté de lire à cet endroit.

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C'est aussi une solution envisageable !

La projection stéréographique n'est pas celle qui très utilisée pour faire des cartes de la Terre. C'est bien l'une des seule (la seule?) qui respecte les angles, mais les longueurs sont très déformées et c'est ce qu'on peut lui reprocher. En tout cas je manquerai pas de faire le lien avec les différentes façon de faire de la cartographie.

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Introduction :

De quoi s'agit-il

"De quoi s'agit-il ?" ?

un objet fascinent

fascinant

des outils performant

performants

les concernants

concernant

Conclusion :

d'un point de vue de topologie différentielle

"du point de vue de la topologie différentielle" ?

topologie différentielle. La considérer

Plutôt un ":", non ?

le très célèbre théorème d'Alembert-Gauss

"de d'Alembert-Gauss".

Outils d'analyse complexe/Introduction :

qui nous servirons

serviront

Outils d'analyse complexe/Topologie de C :

Il va s'agir de munir C d'une topologie, c'est-à-dire un ensemble

"c'est-à-dire un d'ensemble" ?

Il y a plusieurs façon

façons

de définir une topologie, ici

Plutôt un point.

Il ne s'agira pas d'un cours de topologie, ainsi, si des notions vous sont manquantes il faudra faire les recherches par vous-même.

"Il ne s'agira pas d'un cours de topologie. Ainsi, si des notions vous sont manquantes, il faudra faire les recherches par vous-même."

Muni de la topologie présentée

Euh, on est bien d'accord que la topologie n'a pas encore été donnée ?

Soit a∈C, un voisinage de a

Soit a∈C. Un voisinage de a

I.e., U⊂C est un ouvert

Ca fait bizarre d'avoir un "i.e." en début de phrase.

Une partie de C est dite fermée si son complémentaire est une partie ouverte.

Tu ne donnes pas de définition avec des voisinages ?

Il faut faire attention à ne pas croire qu'une partie ne peut pas être ouverte et fermée.

Et, si je ne me trompe pas, ne pas croire non plus qu'une partie est nécessairement ouverte ou (non exclusif) fermée.

Les boules fermés centrée en a

fermées centrées

On dit qu'un espace topologique est séparé si deux points distincts admettent deux voisinages distincts. C'est bien le cas pour C.

Dessin de deux disques disjoints.

Si on choisit des boules ouvertes comme voisinages de a, on retrouve la notion de convergence usuelle.

C'est quoi l'intérêt de considérer tous les voisinages ?

On peut astreindre a à un ensemble plus petit. On définit alors la continuité comme étant sur cet ensemble.

C'est pas très clair. Tu veux dire que si ça marche pour tout $a$ dans un ensemble, alors on dit qu'il y a continuité sur cet ensemble ?

On peut montrer que dans C les parties compactes sont les boules fermées de rayon fini.

Ah bon ? En principe, toute partie fermée et bornée convient, non ?

A⊂C est compacte si, et seulement si, de tout recouvrement (Un)n∈N de A par des ouverts, il existe un sous-recouvrement fini

Première fois que j'entends parler de recouvrement. Un petit dessin ne ferait pas de mal. Surtout que je ne vois pas trop comment recouvrir un fermé à partir d'ouverts.

(Uφ(n))n≤N<∞

Quel est l'intérêt du "N" ? Pourquoi ne pas mettre "n<∞" ?

Outils d'analyse complexe/Analyse complexe élémentaire :

est finie

En module j'imagine ?

On remarquera que si f est analytique en a alors elle est infiniment dérivable en a.

C'est pas plutôt "infiniment holomorphe en a" ?

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Comment ça j'étais bourré à la rédaction … :)

Merci, tout est corrigé.

Sinon, oui, une topologie c'est un ensemble. Généralement c'est l'ensemble des ouverts, mais on peut définir une topologie par ses voisinages, c'est ce que je fais.

Tu ne donnes pas de définition avec les voisinages ?

Non, pourquoi ? C'est pas plus simple comme ça ? :) C'est pas parce que je définis la topologie par les voisinages que je dois tout faire avec les voisinages :p

C'est quoi l'intérêt de considérer tous les voisinages ?

Ça n'apporte certainement rien. Cependant, c'est cette définition de la continuité (ou par les ouverts ou fermés) qu'on utilise en général quand on fait de la topologie générale.

C'est pas très clair. Tu veux dire que si ça marche pour tout a dans un ensemble, alors on dit qu'il y a continuité sur cet ensemble ?

J'ai dis que je prenais tout $a$ dans $\mathbf{C}$, là je dis juste qu'on peut restreindre.

Ah bon ? En principe, toute partie fermée et bornée convient, non ?

Ofc

Première fois que j'entends parler de recouvrement. Un petit dessin ne ferait pas de mal. Surtout que je ne vois pas trop comment recouvrir un fermé à partir d'ouverts.

Les dessins je sais pas les faire, je veux bien de l'aide d'un illustrateur.

Concrètement, tu peux imaginer des écailles sur un disque fermé. Si mes écailles peuvent recouvrir complètement le disque c'est en un nombre fini par compacité.

Quel est l'intérêt du "N" ? Pourquoi ne pas mettre "n<∞" ?

Quand $n$ est un entier, on a toujours $n<\infty$.

En module j'imagine ?

Fini ce qui n'est pas infini. Donc oui, en module, mais ça me semblais évident.

C'est pas plutôt "infiniment holomorphe en a" ?

On parle bien de dérivabilité au sens complexe.

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De quoi il s'agit

Pas de point d'interrogation ? :P

Sinon, oui, une topologie c'est un ensemble.

Ouep, je me suis planté dans ma proposition de correction. Je voulais dire : "Il va s'agir de munir C d'une topologie, c'est-à-dire d'un ensemble de parties".

Non, pourquoi ? C'est pas plus simple comme ça ? :) C'est pas parce que je définis la topologie par les voisinages que je dois tout faire avec les voisinages :p

C'est juste, mais je pense que ça permet de faire manipuler au lecteur la notion de voisinage. ^^ Au pire, tu le mets en remarque.

J'ai dis que je prenais tout a dans C, là je dis juste qu'on peut restreindre.

Je rajouterais bien un truc du genre : "On dit que $f$ est continue sur $A$.".

Les dessins je sais pas les faire, je veux bien de l'aide d'un illustrateur.

Je verrai si j'ai le temps.

Concrètement, tu peux imaginer des écailles sur un disque fermé. Si mes écailles peuvent recouvrir complètement le disque c'est en un nombre fini par compacité.

Mais ça peut dépasser du coup ? Car sinon, je ne vois pas comment on gère la frontière.

Fini ce qui n'est pas infini. Donc oui, en module, mais ça me semblais évident.

Je me suis dit que ça ne l'était pas nécessairement pour des gens n'ayant pas vu les relations d'ordre. Mais en fait, vu le niveau du tutoriel, il est superficiel de préciser.

On parle bien de dérivabilité au sens complexe.

Ou bien je n'ai pas compris cette phrase, ou bien je n'ai pas compris ce qu'est être holomorphe. On est d'accord qu'être holomorphe en $a \in \mathbf C$, c'est en gros être dérivable en $x \in \mathbf R$ ?

Autrement dit, quand tu parles de dérivabilité sur $\mathbf C$, tu parles d'"holomophité", ou d'autre chose ?

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