La sphère en tant que surface de Riemann

a marqué ce sujet comme résolu.

De quoi il s'agit

Pas de point d'interrogation ? :P

Sinon, oui, une topologie c'est un ensemble.

Ouep, je me suis planté dans ma proposition de correction. Je voulais dire : "Il va s'agir de munir C d'une topologie, c'est-à-dire d'un ensemble de parties".

Non, pourquoi ? C'est pas plus simple comme ça ? :) C'est pas parce que je définis la topologie par les voisinages que je dois tout faire avec les voisinages :p

C'est juste, mais je pense que ça permet de faire manipuler au lecteur la notion de voisinage. ^^ Au pire, tu le mets en remarque.

J'ai dis que je prenais tout a dans C, là je dis juste qu'on peut restreindre.

Je rajouterais bien un truc du genre : "On dit que $f$ est continue sur $A$.".

Les dessins je sais pas les faire, je veux bien de l'aide d'un illustrateur.

Je verrai si j'ai le temps.

Concrètement, tu peux imaginer des écailles sur un disque fermé. Si mes écailles peuvent recouvrir complètement le disque c'est en un nombre fini par compacité.

Mais ça peut dépasser du coup ? Car sinon, je ne vois pas comment on gère la frontière.

Fini ce qui n'est pas infini. Donc oui, en module, mais ça me semblais évident.

Je me suis dit que ça ne l'était pas nécessairement pour des gens n'ayant pas vu les relations d'ordre. Mais en fait, vu le niveau du tutoriel, il est superficiel de préciser.

On parle bien de dérivabilité au sens complexe.

Ou bien je n'ai pas compris cette phrase, ou bien je n'ai pas compris ce qu'est être holomorphe. On est d'accord qu'être holomorphe en $a \in \mathbf C$, c'est en gros être dérivable en $x \in \mathbf R$ ?

Autrement dit, quand tu parles de dérivabilité sur $\mathbf C$, tu parles d'"holomophité", ou d'autre chose ?

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Oui un recouvrement ça peut "dépasser". C'est d'ailleurs nécessaire pour recouvrir la frontière.

Être holomorphe c'est pas du tout pareil que d'être dérivable sur $\mathbf{R}$. En fait c'est beaucoup, beaucoup plus fort d'être holomorphe. Si $f$ est holomorphe (on dit aussi dérivable au sens complexe) alors $f$ est directement $C^\infty$ et même analytique.

On dit holomorphe, ou dérivable au sens complexe pour désigner la même chose ;). Moi je connais pas de mot comme "holomophité" :p.

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Projection stéréographique et compactification/Introduction :

puis de construire une identification entre cet ensemble et Ĉ

C'est qui $\hat{\mathbf C}$ ?

Projection stéréographique et compactification/Identification de S2 à Ĉ :

de telle sorte que la sphère, S2,

Les virgules ne me semblent pas nécessaires.

S2:={(x,y,z)∈R3∣x2+y2+z2=1}.

Le point à la fin est-il nécessaire ?

On pourrait s'intéresser à la topologie de la sphère. À partir de la définition précédente, on pourrait très bien définir une topologie.

La première phrase me paraît de trop.

Cependant il y a plus simple. Il suffit

Un double point me semble plus judicieux.

muni de la topologie quotient

J'ignore ce que c'est. J'ai jeté un coup d'oeil à Wikipédia, et ça me semble un peu compliqué. Est-il nécessaire d'en parler ?

La partie bleue est la frontière du disque. On identifie tous ces points

ses

Il va s'agit de construire la projection stéréographique de pôle N

s'agir

L'image de S2−{N} sera

Je préciserais "L'image de S2−{N} par la projection sera". Ca ne mange pas de pain et indique bien que la projection est une application (même si c'est dit juste après).

on va choisir l'intersection de la droite (Np) avec le plan z=0. Comme le montre

Je mettrais une virgule plutôt qu'un point.

Une fois l'image, c, trouvée, il suffit de l'identifier à un point de la droite complexe.

Ca fait un peu bizarre parce que tu dis plus haut que la projection est à valeurs dans $\hat{\mathbf C}$. Du coup, je ne comprends pas très bien ce que tu entends par "l'identifier à un point de la droite complexe".

Donnons l'expression analytique de cette projection.

C'est juste ça "l'identifier à un point de la droite complexe" ?

Soit u=x+iy avec x,y réel, alors :

$\dfrac{1}{|u|^2 + 1} (2x, 2y, |u|^2 - 1)$ ne serait-il pas préférable ? Plus lisible et peut-être plus correct. Par exemple, si $A$ est une matrice, on n'écrira pas $\dfrac A2$.

Le passage de la deuxième à troisième égalité se fait par un développement limité

Et le $\omicron$ alors ? :P

En fait il s'agit de la même problématique que celle rencontrée par les géographes

"En effet" plutôt, non ?

par les géographes lorsqu'il s'agit de représenter sur une carte la Terre

Pourquoi "carte" est-il en italique ?

Vous pouvez vous demander s'il existe une méthode permettant de vraiment dessiner la sphère dans un plan. C'est-à-dire

Je mettrais plutôt une virgule.

Projection stéréographique et compactification/La compactification C en Ĉ :

Il y a un problème dans le titre, non ? Il manquerait bien un "de".

Le fait d'adjoindre le point à l'infini, ∞, à C

Ca fait bizarre de lire "à l'infini, ∞, à C". Peut-être juste "Le fait d'adjoindre l'infini, ∞, à C" ?

Il y a une construction précise permettant de dire que Ĉ est en fait un espace compact. Le plus petit espace compact contenant C.

Le point me semble inadapté. Je ferais plutôt "Il y a une construction précise permettant de dire que Ĉ est en fait un espace compact, et même le plus petit espace compact contenant C.".

En fait c'est immédiat, puisque S2 est fermé et borné dans R3, c'est un espace compact.

Plutôt : "En fait c'est immédiat, puisque S2 est fermé et borné dans R3, donc est un espace compact.".

Par exemple, la suite des entiers naturels :

Le double point me semble de trop.

converge vers N, c'est-à-dire le point à l'infini de Ĉ

Nop.

Projection stéréographique et compactification/Conclusion :

RAS. :P

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Le point à la fin est-il nécessaire ?

Bah j'ai commencé une phrase, je la finis par un point :)

J'ignore ce que c'est. J'ai jeté un coup d'oeil à Wikipédia, et ça me semble un peu compliqué. Est-il nécessaire d'en parler ?

C'est ce qui définit la topologie de la sphère, donc oui, il faut en parler.

La topologie quotient c'est au contraire assez simple. Tu prend un ouvert de ta topologie "de base" et tu identifies les points qui sont équivalents (passage au quotient) et ça te donne l'ouvert qui correspond de la topologie quotient.

ses

Non je parle bien de ces points là. Mais je corrige vu qu'il y a ambiguïté de la langue …

Ca fait un peu bizarre parce que tu dis plus haut que la projection est à valeurs dans \hat \mathbf C. Du coup, je ne comprends pas très bien ce que tu entends par "l'identifier à un point de la droite complexe".

On a retiré le pôle $N$ donc on identifie bien à la droite complexe puisque le point à l'infini sera associé à $N$.

C'est juste ça "l'identifier à un point de la droite complexe" ?

Humm, tu t'attendais à quoi ?

$\frac{1}{|u|^2+1}(2x,2y,|u|^2−1)$ ne serait-il pas préférable ? Plus lisible et peut-être plus correct. Par exemple, si $A$ est une matrice, on n'écrira pas $\frac{A}{2}$.

Les deux écritures sont correctes. On a tout à fait le droit d'écrire $A/2$ pour une matrice $A$. Celle que j'ai choisi a l'avantage d'être plus courte, mais ça ne change absolument rien d'autre.

Et le $ο$ alors ? :P

Il n'a aucune incidence sur la valeur de la limite, donc je le retire pour plus de lisibiltié. Tout comme tu écrirais :

$$ \lim_{x\to +\infty} \frac{x^3 + x^2}{3x^3} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x^3}{3x^3}. $$

"En effet" plutôt, non ?

Non, non, "en fait" :-)

Pourquoi "carte" est-il en italique ?

Pour insister sur le mot qui sera utilisé par la suite et qui a le même sens "logique" que dans ce contexte.

Ca fait bizarre de lire "à l'infini, ∞, à C". Peut-être juste "Le fait d'adjoindre l'infini, ∞, à C" ?

C'est le vocabulaire usuel. On appelle $\infty$ le point à l'infini. C'est parce qu'il y a un parallèle avec des constructions plus générales, celles des espaces projectifs $\mathbf{C}\mathbf{P}^n$ où on adjoint à $\mathbf{C}^n$ un hyperplan à l'infini.

Plutôt : "En fait c'est immédiat, puisque S2 est fermé et borné dans R3, donc est un espace compact.".

Le "puisque" et "donc" est redondant.

Merci pour cette relecture :)

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La topologie quotient c'est au contraire assez simple. Tu prend un ouvert de ta topologie "de base" et tu identifies les points qui sont équivalents (passage au quotient) et ça te donne l'ouvert qui correspond de la topologie quotient.

Le gros noob que je suis se pose les questions suivantes :

  • Qu'entends-tu par "topologie" ? Un simple espace vectoriel normé ?
  • Que veut dire "identifier les points" ?
  • Equivalents pour quelle relation ?

On a retiré le pôle $N$ donc on identifie bien à la droite complexe puisque le point à l'infini sera associé à $N$.

Oui oui, mais vu que l'application est à valeurs dans $\mathbf C$ (en écartant $N$), je ne comprends pas ce qu'il y a à identifier. Enfin, on a bien directement $c \in \mathbf C$, non ? On l'identifie à quoi à part à lui-même ?

Humm, tu t'attendais à quoi ?

Ben justement à rien de plus. Mais c'est pourquoi je ne comprends pas le but de la phrase "Une fois l'image, c, trouvée, il suffit de l'identifier à un point de la droite complexe.".

Non, non, "en fait" :-)

Le "en effet" me semble plus approprié pour faire le lien avec "vous est un peu familière".

Le "puisque" et "donc" est redondant.

Alors je mettrais plutôt un double point : " En fait c'est immédiat : puisque".

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Une topologie c'est un ensemble de parties dont les éléments sont appelés les ouverts.

Identifier les points, selon les contextes ça peut vouloir dire :

  • donner deux noms à une même chose, par exemple $\hat{\mathbf{C}}$ et $\mathbf{S}^2$
  • établir des classes d'équivalences où les points identifiés appartiennent à la même classe

La relation d'équivalence dans ce second cas est celle où une classe est la frontière et les autres sont les singletons qui restent. Ce n'est pas une expression "analytique" mais on peut très bien définir une relation d'équivalence par ses classes d'équivalences :).

Enfin, on a bien directement $c\in\mathbf{C}, non ? On l'identifie à quoi à part à lui-même ?

Ce qu'on a construit géométriquement c'est un point à valeur dans $\mathbf{R}^2$ (l'intersection d'une droite avec le plan $z=0$). Il faut donc utiliser l'identification de $\mathbf{C}$ à $\mathbf{R}^2$, ce qui est toujours préférable de préciser.

Le "en effet" me semble plus approprié pour faire le lien avec "vous est un peu familière".

Le "en fait" est en lien avec la problématique.

Sinon j'ai corrigé le double point, je mettrais à jour quand il y aura plus de corrections.

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Merci, c'est plus clair.

Par contre, je ne comprends pas trop cela :

On a $\mathbf S^2$ qui est $D$

Peut-être pourrais-tu détailler ça :

Tu prend un ouvert de ta topologie "de base" et tu identifies les points qui sont équivalents (passage au quotient) et ça te donne l'ouvert qui correspond de la topologie quotient.

  • Quelle est la topologie de base ?
  • Quel est l'ouvert pris ?
  • Quels sont les points de cet ouvert équivalents ?
  • Quel est l'ouvert obtenu ?

Désolé pour l'amateurisme.

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La topologie de base c'est la topologie de $D$.

Quel est l'ouvert pris ?

Pas compris la question. La topologie quotient est formée de tous les ouverts dont on fait un passage au quotient.

Les points de l'ouvert obtenu sont les points de l'ouvert initial dont ceux de la frontière sont identifiés.

Désolé pour l'amateurisme.

Tu n'as pas à t'excuser ;)

Mais tu comprendras mon étonnement. Je croyais que c'était des notions abordées en MP …

edit : J'ai cherché une source mais j'ai pas vu de définition bien claire de la topologie de $D$. Je vais donc t'en donner une, celle qui marche bien dans ce cas-ci. En fait il faut comprendre que la marche que j'ai donnée est censée faciliter la compréhension parce que la façon la plus naturelle (mais qui est aussi plus abstraite) de définir la topologie sur $\mathbf{S}^n$ c'est par le compactifié d'Alexandrov de $\mathbf{R}^n$.

Un ouvert c'est un ensemble voisinage de chacun de ses points.

Un voisinage d'un point de $D-\partial D$ est un ensemble qui contient une boule ouverte centrée en ce point et incluse dans $D-\partial D$.

Le voisinage d'un point de la frontière est le complémentaire d'une boule fermée incluse dans $D-\partial D$.

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Je ne comprend pas dans ton deuxième chapitre, la construction par quotient. Pour moi $D$ c'est du 2D et $S^2$ c'est de la 3D. Donc quand tu dis que $S^2$ est $D$ c'est loin d'être clair pour moi.

Pourquoi tu ne donnes pas une formule explication de ce que tu fais ? $(x,y,z)= ...$

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$\mathbf{S}^2$ est bien une variété de dimension $2$. Quand tu parles de 3D tu induis un plongement dans $\mathbf{R}^3$, ce qui est n'est nécessaire.

En fait il faut comprendre que cette construction elle est topologique, c'est-à-dire à homéomorphisme près. Si tu calcules analytiquement le quotient que je donne, tu n'obtiens pas la sphère, mais à homéomorphisme près c'est la sphère.

L'intérêt c'est justement de ne pas avoir à donner de formules. Le gif que j'ai mis suffit à justifier cette construction :).

Mais si tu as un doute sur ce que je raconte, ce qui est légitime, il suffit de se ramener une fois de plus au compactifié d'Alexandrov (toujours lui). Le disque unité est homéomorphe à $\mathbf{R}^2$. Le quotient par la frontière transforme le disque fermé en le disque unité avec un point de plus qui compactifie. C'est donc un compactifié d'Alexandrov et par unicité il s'agit de la sphère $\mathbf{S}^2$.

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Bonjour à tous !

La beta du tutoriel a été mise à jour.

Merci pour vos relectures

J'ai rajouté un passage sur le système de voisinage de $\hat{\mathbf{C}}$ à la fin du chapitre 2. J'ai également rajouté une phrase sur le quotient, censé expliquer de quoi il s'agit plus précisément (puisque visiblement, c'est assez exotique de faire des quotients).

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Après discussion avec Saroupille, je me suis rendu compte que le chapitre 2 était mal écrit. Je vais donc le refaire.

De plus, cette nuit je me suis rendu compte qu'il y avait une topologie évidente pour la sphère, la topologie induite de $\mathbf{R}^3$ sur $\mathbf{S}^2$ au lieu de considérer un quotient …

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Edit : je n'ai pas vu la dernière mise à jour.

Identification de S2 à Ĉ :

Par la suite nous montrerons un homéomorphisme entre

"Montrer" un homéomorphisme ? "Etablir" plutôt, non ?

Mais pour justifier des propriétés de continuité il faut munir

Virgule ?

c'est-à-dire d'un ensemble de parties de S2 que nous appellerons les ouverts

Mais ces parties sont-elles des ouverts (voisinage pour chacun de ses points) de $\mathbf S^2$ ? Parce que je peux très bien prendre un ensemble de singletons et les appeler ouverts.

Si ces notions vous paraissent floues, il est peut-être bon de revenir

Plus simplement : "Si ces notions vous paraissent floues, il peut être bon de revenir".

où ∥x−a∥2 est la norme de x−a et si (u1,u2,u3)=x−a alors elle est définie par

La phrase est un peu lourde. Je mettrais un point : "où ∥x−a∥2 est la norme de x−a. Si (u1,u2,u3)=x−a, elle est définie par".

c'est-à-dire la longueur du segment entre x et a

"du segment reliant $x$ à $a$" ?

Sur l'image qu'il suit, en bleu désigne

"la zone en bleu" plutôt.

désigne la frontière d'une boule ouverte

Un ouvert a une frontière ?

Le voisinage désigné est l'intérieur du cercle en orange

D'après la définition que tu donnes au-dessus, et avec laquelle je suis d'accord, l'intersection entre un ouvert de $\mathbf R^3$ (en gros, une boule ouverte, donc "pleine") et $\mathbf S^2$ ne devrait pas être un cercle, mais une surface.

D'ailleurs, je ne pense pas que ce qui est en orange est un cercle, vu que $\mathbf S^2$ n'est pas un plan, i.e. "plate".

Il ne me semble pas que tu aies touché au reste.

C'est effectivement plus clair, en partie parce que c'est au programme de MP. La topologie quotient l'était peut-être avant, mais n'oublions que la réforme est passée par là…

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Exact, je n'avais pas vu "l'intérieur". Enfin si, mais je pensais à "fermé privé de sa frontière", ce que je ne comprenais d'ailleurs pas ici. Merci.

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"Montrer" un homéomorphisme ? "Etablir" plutôt, non ?

On peut montrer que deux espaces sont homéomorphe. Établir est plus correct, mais pour le plaisir je vais utiliser une autre formulation.

Mais ces parties sont-elles des ouverts (voisinage pour chacun de ses points) de $\mathbf{S}^2$ ? Parce que je peux très bien prendre un ensemble de singletons et les appeler ouverts.

Bien sûr que ce sont des ouverts de "type" ouvert. Je vais rappeler que ça doit respecter des axiomes.

Un ouvert a une frontière ?

Comme tout ensemble.

D'ailleurs, je ne pense pas que ce qui est en orange est un cercle, vu que $\mathbf{S}^2$ n'est pas un plan, i.e. "plate".

Il me semble que c'est bien un cercle.

C'est effectivement plus clair, en partie parce que c'est au programme de MP. La topologie quotient l'était peut-être avant, mais n'oublions que la réforme est passée par là…

Les notions de topologie générale sont généralement abordées en troisième année. Je crois que tu as vu des notions de topologies en faisant des espaces vectoriels normés. Ce sont des espaces un peu différents puisqu'ils sont bien moins généraux.

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Comme tout ensemble.

Autant pour moi, je m'étais planté dans la définition.

Il me semble que c'est bien un cercle.

Je te crois. :P

Je crois que tu as vu des notions de topologies en faisant des espaces vectoriels normés.

C'est exact.

Juste une remarque :

Le voisinage désigné est l'intérieur du cercle en orange

Parler d'intérieur au sens coloriage alors qu'on est en plein dans de la topologie pourrait perdre les lecteurs. Peut-être plutôt : "Le voisinage désigné est la zone de la sphère délimitée par le cercle orange".

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