Bonjour à tous !
La beta du tutoriel a été mise à jour.
Merci pour vos relectures
Ajout de nombreux dessins dans la première partie et j'ai refait les dessins de la seconde. Je vous laisse me dire ce que vous en pensez, ce qu'il faudrait retoucher (si nécessaire).
Je n'ai regardé que les dessins.
Pas très gai. 
La zone la plus foncée représente une boule ouverte centrée en a contenue dans Va
Même si c'est évident, je préciserais : "La zone la plus foncée représente une boule ouverte centrée en a contenue dans Va, la zone en gris". C'est bien du gris ?
Je ne comprends pas ce qu'apporte le dessin. Notamment, pourquoi as-tu dessiné deux boules, l'une incluse dans l'autre ?
La notation ∂B¯a(r) est explicitée dans ce qu'il suit.
"ce qui suit" ?
Peut-être serait-il judicieux de dessiner les rayons $r$ et $s$ ?
Sinon, un exemple de fonction aiderait.
Je préciserais que $V_a$ est un voisinage de $a$ dans $S^2$ et que $B_a(r)$ en est un dans $\mathbf R^3$.
Tu connais déjà mon amour pour cette figure. Une petite broutille : décaler le point $p$ un peu à droite permettrait d'aérer le "coin gauche de la sphère", là où lignes pleine et en pointillés se joignent.
Je ne connais pas l'égal bizarre que tu places entre $\mathbf R^2$ et $\mathbf C$.
- Un voisinage du plan complexe Pas très gai.
T'as surtout pas repéré la faute dans la phrase :p.
Je ne comprends pas ce qu'apporte le dessin. Notamment, pourquoi as-tu dessiné deux boules, l'une incluse dans l'autre ?
Pour montrer qu'une boule ouverte est voisinage de chacun de ses points.
Peut-être serait-il judicieux de dessiner les rayons r et s ?
Le dessin est déjà très chargé, j'ai peur que ça charge inutilement.
Je préciserais que Va est un voisinage de a dans S2 et que Ba(r) en est un dans R3
J'aurais du noter $W_a$ pour plus de clarté. Comme je suis un peu feignant je vais changer les $W_a$ en $V_a$ et réciproquement là où il faut.
Je ne connais pas l'égal bizarre que tu places entre R2 et C.
Il signifie qu'il y a isomorphisme.
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Oups, j'ai oublié pour le "qu'il suit", ça viendra à la prochaine maj 
Pas très gai.
Pour être plus explicite, je parlais des couleurs. 
Pas très gai.
Pour être plus explicite, je parlais des couleurs.
Le gris te gêne ?
Je trouve ça plus confortable quand c'est neutre …
Je trouve ça tristounet. Mais ce n'est que mon opinion.
Tu pourrais prélever la couleur de fond du site et sélectionner quelques teintes autour.
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Up. J'aimerais des retours supplémentaires 
Je vais devoir le lire attentivement pour faire plus de retours, mais déjà… J'aime bien le gris des images.
Il y a beaucoup de définitions (en fait le premier chapitre y est consacré), mais ce n'est pas lourd et c'est compréhensible. Le contenu est compréhensible et laisse le lecteur imaginer les choses. Peut-être qu'un peu d'images dans le troisième chapitre serait bien ?
Pour le contenu en lui-même, je vais laisser parler les experts.
C'est difficile de trouver des dessins pour la troisième partie … mais je vais y réfléchir :-).
Bonjour,
Voici quelques commentaires pêle-mêle. Ça va d'appréciations assez personnelles à des commentaires plus généraux, tant sur le contenu que sur la clarté du texte.
Il va s'agir de munir C d'une topologie, c'est-à-dire un ensemble de parties « ouverteS » de C que nous définirons par les voisinages de C.
J'ai l'impression que la partie sur les voisinages irait mieux après avoir dit que l'on peut définir une topologie de C en définissant les voisinages de ses points, pour ceux qui ne savent pas qu'on peut définir une topologie de cette manière.
Wikipédia cite une quatrième façon de définir la topologie via la définition d'une fonction d'adhérence. Il pourrait également être intéressant de dire qu'étant donné une façon de définir la topologie (par exemple par voisinages), on peut facilement retrouver, à partir de là, les ouverts, les fermés, etc. Juste histoire que ce soit bien clair.
Sinon, je n'ai pas vraiment l'impression que, de la façon dont tu as écrit les choses, tu définis une topologie sur C en définissant des voisinages. J'ai plutôt l'impression que tu présentes les voisinages, ouverts, fermés usuels sans expliciter le lien entre eux (mais bon, c'est pas un cours de topologie), ni insister sur le fait qu'ils définissent la même topologie, celle dont tu voulais munir C au départ.
On dit qu'un espace topologique est séparé si deux points distincts admettent deux voisinages disjoints. C'est bien le cas pour C.
Lorsqu'on lit la phrase "C'est bien la cas pour C". On ne sait pas si tu comptes expliciter la phrase ou pas. Je mettrais plutôt "Le lecteur est invité à vérifier que C est bien un espace séparé". Peut-être dire aussi que l'unicité de la limite dans un espace séparé est un exercice élémentaire.
En particulier, f envoie ouvert sur ouvert. (après la définition d'homéo)
Je ne vois pas, pourquoi dans ce cas particulier, tu prends la peine du justifier toi-même l'affirmation plutôt que de laisser le lecteur faire l'exercice ou se trouver une référence.
Commentaires généraux sur cette partie
Bon, comme ça me prend plus de temps que prévu, je vais éditer avec la suite plus tard
J'ai l'impression que la partie sur les voisinages irait mieux après avoir dit que l'on peut définir une topologie de C en définissant les voisinages de ses points, pour ceux qui ne savent pas qu'on peut définir une topologie de cette manière.
Ce n'est pas ce que j'ai fait en listant différentes manières de définir une topologie ?
Wikipédia cite une quatrième façon de définir la topologie via la définition d'une fonction d'adhérence. Il pourrait également être intéressant de dire qu'étant donné une façon de définir la topologie (par exemple par voisinages), on peut facilement retrouver, à partir de là, les ouverts, les fermés, etc. Juste histoire que ce soit bien clair.
Ce n'est bien sûr pas exhaustif. Sinon je devrais aussi lister les topologies quotient, induites, compactifiées, etc.
Sinon, je n'ai pas vraiment l'impression que, de la façon dont tu as écrit les choses, tu définis une topologie sur C en définissant des voisinages. J'ai plutôt l'impression que tu présentes les voisinages, ouverts, fermés usuels sans expliciter le lien entre eux (mais bon, c'est pas un cours de topologie), ni insister sur le fait qu'ils définissent la même topologie, celle dont tu voulais munir C au départ.
Non je ne montre pas que ça vérifie bien les axiomes d'une topologie (et je le dis).
J'ai tout de même défini ce qu'était un ouvert/fermé à partir des précédents. Je ne vois pas bien ce que tu veux dire quand tu dis que je n'explicite pas les liens entre eux.
Lorsqu'on lit la phrase "C'est bien la cas pour C". On ne sait pas si tu comptes expliciter la phrase ou pas. Je mettrais plutôt "Le lecteur est invité à vérifier que C est bien un espace séparé". Peut-être dire aussi que l'unicité de la limite dans un espace séparé est un exercice élémentaire.
J'avais oublié de justifié, c'est chose faite.
Je ne vois pas, pourquoi dans ce cas particulier, tu prends la peine du justifier toi-même l'affirmation plutôt que de laisser le lecteur faire l'exercice ou se trouver une référence.
C'est une partie de rappels/échauffement. Je me permets de faire un peu des deux : laisser le lecteur chercher quand c'est pénible à écrire ou alors je le fais quand ça me paraît léger.
Lorsque tu définis fonction analytique, il y a une erreur dans ton quantificateur. C'est ∀x∈V (domaine de f).
Ouais et du coup je garde juste la deuxième expression.
Merci pour tes remarques.
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Bonjour,
Quelques remarques et interrogations :
En tout cas, bravo pour ce tutoriel.
Rien dans la définition d'un voisinage n'empêche qu'il soit composé d'ensembles disjoints, du moment qu'on réussit à y caser une boule ouverte. C'est bien ça ?
Yup.
Toujours d'après la définition donnée dans la partie sur la projection, un voisinage de S2 peut bien être composé de deux (ou plus) surfaces distinctes ? (Oui, ça m'intrigue ^^)
Surfaces distinctes ? Sinon, de la même manière, tout ce qui compte c'est que l'ensemble contient une boule ouverte bien centrée.
Globalement, j'ai trouvé la partie sur la projection stéréographique très bien expliquée. Une image pour illustrer le lien avec la Terre serait un plus (une comme celle-là).
Bonne idée.
Dans la partie "Surface de Riemann", à quoi sert la convention 1/0=∞ puisqu'on a défini ν2 sur un ensemble qui ne contient pas 0 ?
Pour le lien avec $\hat{\mathbf{C}} = \mathbf{C}\cup \{\infty\}$.
Finalement, la "variété complexe de dimension 1" (la surface de Riemann), c'est quoi ? Un truc qu'on peut découper en deux cartes holomorphes ? Sinon je ne vois pas le lien entre cette définition et le reste du paragraphe.
Oui c'est à peu près ça. Je vais préciser mais concrètement :
Je n'ai pas compris la fin de ta démonstration du résultat central, le passage " g est holomorphe en l'infini, et donc g∘ν2 est holomorphe en 0" est trop rapide pour moi. En particulier, je bloque sur le fait que ν2 n'a pas été définie en 0.
$g$ est holomorphe en $\infty$ par hypothèse. Par définition d'holomorphe en $\infty$, cela signifie que $g\circ \nu_2$ est holomorphe en $0$. Bien entendu, $(g\circ \nu_2)(0) = \infty$, mais le point important, c'est qu'au voisinage épointé de $0$, $g\circ\nu_2\neq \infty$ d'où $a_j\neq 0$ pour $j$ suffisamment grand.
C'est une démonstration difficile … c'est normal de buter un peu.
Je ne sais pas ce qu'est une "transformation lisse" (dans l'ouverture). Pourtant ça a l'air drôlement bien.
C'est une transformation $C^\infty$ (les deux mots sont synonymes).
Merci pour toutes tes remarques.
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Coucou Holosmos, je tenais à te dire que ton tutoriel m'avait était utile (partiellement, car je ne l'ai pas lu en entier) !
Donc un petit message de soutiens de la part d'un non chimiste Merci
Coucou Holosmos, je tenais à te dire que ton tutoriel m'avait était utile (partiellement, car je ne l'ai pas lu en entier) !
Donc un petit message de soutiens de la part d'un non chimiste
Heureux de l'apprendre !
Est-ce que je peux savoir dans quel contexte ?
Petit lapsus j'aurais voulu dire de la part d'un non-mathématicien*
Je discutais avec mon professeur de mathématique au sujet de la chiralité (donc des matrice et propriétés de symétrie).
Et il me dit ainsi :
Si j'ai bien compris, j'espère que tu sera repérer si j'ai fait des fautes absurdes
Ainsi par curiosité je lui demande, un peu de manière rhétorique, si il était possible d'avoir des matrices effectuant ses opérations dans un nombre de dimensions infinie ? Il me répond que bien sur, et j’enchaîne en demandant si on pouvait voir ces symétries d'une certaine manière avec une certaine gymnastique mentale de triche ?
Il cherche longuement et me montre le passage d'un Atlas à une carte plane. Il me dit que c'est la conversion d'une sphère 3D en une carte 2D. Et c'est là où j'ai demandé si c'était pas une technique initialement traité par Riemann. Tout fier d'avoir compris l'idée (c'est déjà pas mal !). Et il m'explique que l'idée vient de Gauss etc…
On a pu dessiner la "carte 3D" de ce qu'était un objet "sphérique" en 4D. Et on a placer les points de symétrie dans cette carte. Et ça marchait bien (il faut s'accrocher parce que putain la 4D c'est pas rien 
). L'analogie était juste géniale je trouve. Et franchement c'est une belle aventure ce genre de maths !
Ça fait plaisir à entendre !
Oui, on peut construire plus généralement le compactifié (en un point) de l'espace $\mathbf{R}^n$ que l'on appelle $\mathbf{P}^n\mathbf{R}$ et que l'on identifie à $\mathbf{R}^n\cup\{\infty\}$ avec une projection stéréographique (qui ressemble en tout point à celle que je présente dans le cas $n=2$).