Démonstrations (logique mathématique)

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Auteur du sujet

Bonjour, J'ai assez de mal sur comment démontrer des choses (même très simples…). Pourriez-vous m'aider et me donner des techniques souvent utilisées ?

  1. Si a divise b alors a divise ${b^2}$ , pour a et b entiers non-nuls. VRAI. Mais je vois pas comment démontrer… J'ai dis: comme b et a sont des entiers (non-nuls), le carré de b restera un multiple de a.

  2. Soit n un nombre impair quelconque. Montrer que ${n^2} - 1$ est un multiple de 8. J'ai fais: $n = 2k + 1,k \in \mathbb{Z}$ - on a dès lors ${n^2} - 1 = 4m(m - 1)$ qui est bien un multiple de ( 4 . 2 = 8 ).

Merci!

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Globalement ce qui te manque dans tes deux démonstrations, c'est le détail des calculs :

  1. Oui, et on le montre assez rapidement en disant que si $a$ divise $b$, on peut écrire $b = a\times k, k \in \mathbb Z$
  2. Tu es sur la bonne voie. Il te faut par contre bien définir ce qu'est exactement $m$ par rapport à $n$, puis à détailler ensuite

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Pour la 1. essaie d'exprimer la condition initiale ($a$ divise $b$) avec une expression arithmétique, comme tu l'as fait pour la condition $n$ impair dans la 2. Ensuite calcules $b^2$ avec cette expression et tu devrais arriver au bout.

Pour la 2. évites les changements de notation, tu as choisis $k$, gardes $k$. A part ça, c'est bon, si tu explicites que $k(k-1)$ est pair (voir que tu le démontres).

Staff

En fait on te demande pas grand chose au niveau de la démonstration. Il faut juste que tu écrives (bien) ce que tu fais pour résoudre le problème.

Typiquement :

J'ai dis: comme b et a sont des entiers (non-nuls), le carré de b restera un multiple de a.

C'est la raison pour laquelle c'est vrai mais c'est aussi assez imprécis (bon, dans ce cas-ci, ça passe mais en général c'est périlleux). Dans une rédaction plus complète on aimera avoir des détails sur le rapport en $a$ et $b$ et la forme de $b^2$ qui te permet de conclure.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Ce genre d'exercices consiste la plupart du temps à écrire très précisément les définitions, en allant étape par étape.

Pour la 1., comme cela a déjà été dit, tu y est presque. Dire que $a$ divise $b$, c'est dire qu'il existe … et à toi de trouver la suite. Avec cela, tu exprimeras facilement $b^2$.

Pour la 2. c'est la même chose ! $n$ étant impair, il s'écrit $n = 2k+1$. Qu'en déduis-tu sur l'écriture de $n^2$, puis sur celle de $n^2-1$ ?

Tu es en quelle classe ?

Un conseil de mon prof de maths de MPSI c'est de toujours écrire hypothèses et conclusion avant de résoudre. Si tu vois pas comment faire, tu peux réécrire tes hypothèses ou ta conclusion ou les deux pour mieux voir dans quelle direction aller. Après le reste c'est de l'intuition et ça se développe en faisant des exos.

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Un conseil de mon prof de maths de MPSI c'est de toujours écrire hypothèses et conclusion avant de résoudre.

Mon prof de MP m'avait dit exactement l'inverse :p ! Selon lui, ne pas écrire les hypothèses oblige à les mémoriser ce qui est bien plus commode pour travailler avec. Pareil pour la conclusion, quand on sait où on va c'est plus facile (et donc il faut là aussi le mémoriser).

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Mon prof de MP m'avait dit exactement l'inverse :p ! Selon lui, ne pas écrire les hypothèses oblige à les mémoriser ce qui est bien plus commode pour travailler avec. Pareil pour la conclusion, quand on sait où on va c'est plus facile (et donc il faut là aussi le mémoriser).

En général, quand tu les réécris, ça t'aide justement à les avoir en tête. Et puis honnêtement un pense-bête c'est toujours plus efficace qu'une mémoire humaine.

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Staff

Le mieux c'est de rien écrire, ça force à l'abstraction et à se focaliser sur les points importants.

(Erf, je pensais c'était le moment où on donnait les conseils et leurs contraires).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Je profite du sujet pour soumettre une idée de séries d'article (plutôt qu'un tutoriel)

Que penseriez vous de faire plusieurs articles sur les démonstrations mathématiques en expliquant leur principe et en donnant des exemples de preuves les utilisant. L'idée c'est de donner quelque chose d'abordable et les exemples seraient des théorème connus du monde mathématique (je pense qu'en se limitant au niveau lycée on peut faire un beau pannel)

J'ai notamment pensé à : preuve par l'absurde, par la contraposée, par récurrence

Malheureusement je n'ai pas fait suffisamment de maths encore (je suis en L2) pour savoir s'il y à d'autres méthodes connues.

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Staff

Essentiellement il n'y a pas vraiment d'autre méthodes en plus de la méthode directe. Je ne suis pas certain de l'intérêt d'une telle série d'article (mais j'espère me tromper).

En revanche il est possible que je publie moi mêmes quelques réflexion sur le tiers-exclus, mais je suis en rédaction.

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Staff

C'est une bonne idée à mon avis. Présenter les raisonnements courants, et sur quels type de questions ils sont adaptés. Je pense aussi aux raisonnements du type analyse/synthèse.

Par contre, il n'y a pas de quoi faire une série d'article à mon avis. Plutôt un tuto pour apprendre à démontrer de diverses manières.

@Holosmos: tu vas parler de logique intuitionniste ?

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Staff

@Holosmos: tu vas parler de logique intuitionniste ?

C'est un secret !

Sinon, a priori, j'essaye surtout de discuter de la nature des objets en Mathématiques. Puisqu'on a pas d'expérience pour toucher « réellement » les objets mathématiques, il faut bien se demander quelle est la manière dont on se les représente et si ça a un sens avec la réalité des Mathématiques.

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Un conseil de mon prof de maths de MPSI c'est de toujours écrire hypothèses et conclusion avant de résoudre.

Mon prof de MP m'avait dit exactement l'inverse :p ! Selon lui, ne pas écrire les hypothèses oblige à les mémoriser ce qui est bien plus commode pour travailler avec. Pareil pour la conclusion, quand on sait où on va c'est plus facile (et donc il faut là aussi le mémoriser).

Rem's

o_O Quoi ?! C'est du grand n'importe quoi, ce conseil. Ça peut marcher quand on a deux ou trois hypothèses. Mais au bout d'un moment, il faut quand même partir de quelque chose. On écrit l'hypothèse, on écrit le résultat attendu. Et la plupart du temps, surtout au lycée et en classes prépa, le résultat attendu est une reformulation plus ou moins directe de l'hypothèse. Évidemment, ce conseil ne s'applique pas aux questions ouvertes.

J'arrête le hors sujet après ce post ^^

Si je pensais à une série d'article c'est parce que j'imagine plutôt ça comme une présentation, je pensais pas vraiment entrer dans les détails. Après tuto ou article n'étaient pas vraiment la question. Mais merci !

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(je pense qu'en se limitant au niveau lycée on peut faire un beau pannel)

J'ai notamment pensé à : preuve par l'absurde, par la contraposée, par récurrence

Ricocotam

Tu peux rajouter les preuves par inductions, récurrence faible/forte (qui sont équivalentes sur N).

En fait il est sans doute possible de commencer un tel article avec des exemples très simples (donc niveau lycée) puis de monter progressivement car une démonstration par l'absurde, c'est en fait très difficile à comprendre au début ! Tu es en L2 donc ça te semble évident mais je pense que pour un lycéen "lambda" c'est assez difficile (mais peut-être me trompe-je !). Enfin, il peut-être très intéressant de compléter ça avec les notion d'axiome et d'assertions indécidables !

Un conseil de mon prof de maths de MPSI c'est de toujours écrire hypothèses et conclusion avant de résoudre.

Mon prof de MP m'avait dit exactement l'inverse :p ! Selon lui, ne pas écrire les hypothèses oblige à les mémoriser ce qui est bien plus commode pour travailler avec. Pareil pour la conclusion, quand on sait où on va c'est plus facile (et donc il faut là aussi le mémoriser).

Rem's

o_O Quoi ?! C'est du grand n'importe quoi, ce conseil. Ça peut marcher quand on a deux ou trois hypothèses. Mais au bout d'un moment, il faut quand même partir de quelque chose. On écrit l'hypothèse, on écrit le résultat attendu. Et la plupart du temps, surtout au lycée et en classes prépa, le résultat attendu est une reformulation plus ou moins directe de l'hypothèse. Évidemment, ce conseil ne s'applique pas aux questions ouvertes.

c_pages

Justement c'était un prof de classe prépa. Ceci dit, je peux t'assurer que ce conseil m'a été bénéfique. Je pense d'ailleurs qu'il s'applique au monde de la recherche : le chercheur connaît suffisament son problème pour ne pas aller relire ses hypothèses sans arrêt. Bien sûr je ne parle pas de les apprendre par cœur mais de segmenter un gros problèmes en plus petits sur lesquels on réfléchit avec tout dans la tête. (C'est comme la mémoire vive d'un ordinateur, c'est plus rapide !)

Et la plupart du temps, surtout au lycée et en classes prépa, le résultat attendu est une reformulation plus ou moins directe de l'hypothèse. Évidemment, ce conseil ne s'applique pas aux questions ouvertes.

c_pages

Euh, même les exos d'ENS… ?

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Staff

Justement c'était un prof de classe prépa. Ceci dit, je peux t'assurer que ce conseil m'a été bénéfique. Je pense d'ailleurs qu'il s'applique au monde de la recherche : le chercheur connaît suffisament son problème pour ne pas aller relire ses hypothèses sans arrêt.

Le travail d'un chercheur est très différent de celui d'un taupin. Rien que pour un fait simple : il doit trouver ce qu'il veut démontrer. Cela change radicalement la manière de travailler (puisqu'on ne choisit pas son énoncé au hasard).

Euh, même les exos d'ENS… ?

On passe pas son temps en prépa à faire des exos de l'ENS. L'écrasante majorité du cours contient des résultats assez élémentaires dont un simple remaniement des hypothèses suffit pour conclure.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Le travail d'un chercheur est très différent de celui d'un taupin. Rien que pour un fait simple : il doit trouver ce qu'il veut démontrer. Cela change radicalement la manière de travailler (puisqu'on ne choisit pas son énoncé au hasard). C'est sûr ! Mais cela ne change rien quant au fait de retenir les hypothèses. On passe pas son temps en prépa à faire des exos de l'ENS. L'écrasante majorité du cours contient des résultats assez élémentaires dont un simple remaniement des hypothèses suffit pour conclure.

Holosmos

Non bien sûr mais je parle des exercices pas des cours ! De toutes façons, en prépa, les démos de cours sont déjà faites par le prof. D'ailleurs il n'est pas rare que les exercices soient des questions ouvertes (Le classique "Que dire de f ?" ou encore "A quel condition sur x telle quantité est-elle définie ?") et là il s'agit d'un travail de recherche puisque le taupin ne sais pas ce qu'il doit trouver. (Aux ENS il leur arrive même de poser des questions dont ils n'ont pas la réponse mais bon ils n'attendent pas que le condidat la trouve : ils veulent voir comment il "cherche" justement !)

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Staff

et là il s'agit d'un travail de recherche puisque le taupin ne sais pas ce qu'il doit trouver.

Tu n'as pas du comprendre ce que j'ai voulu dire.

Aux ENS il leur arrive même de poser des questions dont ils n'ont pas la réponse mais bon ils n'attendent pas que le condidat la trouve : ils veulent voir comment il "cherche" justement !

Ça reste à des années lumières de la recherche en mathématiques. Je connais aucun chercheur (peut-être qu'Avila en est capable remarque) qui se dise : « allez tiens, je me donne un exo et je me donne 2h pour le résoudre ».


Bien poser une question est un travail de recherche et c'est rarement très facile. Il arrive souvent de buter sur le sens d'une question ou d'un objet avant même de pouvoir se poser des questions sur ses propriétés.

Alors quand on te donne un exo, une bonne partie du travail est déjà mâchée. En contre-partie il y a une contrainte de temps, ce qui éloigne encore un peu plus des techniques de recherches habituelles (en général un chercheur fait 1 ou 2 papiers par an).

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