Puissances, exposants et racines carrées

Bonjour à tous,

J'ai commencé (il y a 3 heures) la rédaction d'un tutoriel dont l'intitulé est Puissances, exposants et racines carrées.

J'aimerais obtenir un maximum de retour sur celui-ci, sur le fond ainsi que sur la forme, afin de proposer en validation un texte de qualité.

Edit : post à vie courte, voir https://zestedesavoir.com/forums/sujet/4051/puissances-exposants-et-racines-carrees/?page=1#p73483

Si vous êtes intéressé, cliquez ci-dessous

Edit : Le tuto est plus ou moins dans sa version finale. Je voudrais surtout des retours sur la clareté des explications pour savoir quels passages je dois paufiner avant de l'envoyer en validation.

Merci d'avance pour votre aide

Salut,

J'aime bien l'idée. J'ai pas mal de remarques par contre.

Additions, multiplications, et puissances

• Tu parles des réciproques (soustraction, division) mais tu ne t'en sers pas.
• Le rappel sur le nom des résultats (produit, somme…) ne sert à rien vu que tu ne t'en sers pas.
• Quand tu reprends ton exemple, tu fais une erreur sur le deuxième exemple… $5^3 = 125$
• Tu parles de la notation seulement après t'en être servi.

Priorités opératoires

• Quant tu listes les priorités, c'est un peu confus. Les parenthèses viennent toujours en premier, et c'est pas clair comme tu le dis.
• L'image est beaucoup trop grande.
• Même si c'est théoriquement valide, personne n'élude le signe de multiplication avec seulement des nombres.
• Les priorités entre puissances. Tu te trompes dans ta première expression (tu additionnes, et ça ne marche pas, vu que c'est valide pour la multiplication seulement).
• De manière générale, tu peux démontrer ces résultats, et en fait, ils sont totalement intuitifs quand on sait que les puissances sont des enchaînements de multiplications. Là en l'état, ça fait un peu formulaire.

Toute la fin me paraît un peu hors sujet, ou trop spécifique. Tu pourrais faire un tutoriel spécifiquement pour la racine carrée et la fonction carré, et de même pour cube/racine cubique. Enfin, les puissances itérées, ça peut faire une bonne conclusion à mon avis, ou un exemple rigolo à la toute fin.

Bonjour,

J'ai seulement fait une lecture rapide, mais quelques points me gênent :

• Des liens entre les opérations oui, la terminologie de réciproque ne me semble pas approprié. La réciproque d'une application c'est quelque chose de précis, l'utiliser pour parler des opérations, je ne suis pas convainque que ce soit à propos (du moins pas en restant aussi générale que "réciproque addition = soustraction").
• Dans les premières parties, tes explications sont valides sur les entiers naturels (multiplication/puissance), et d'un coup tu passes sur les réels (racines).
• Pour les racines, AMA tu devrais te restreindre explicitement aux réels positifs ou alors pointer du doigt qu'il peut exister plusieurs solutions.
• De manière plus générale, j'ai l'impression que c'est trop léger pour le public ciblé. Pour quelqu'un qui découvre ces notions, je pense que c'est trop abrupte.

Plop, des remarques en vrac (plus ou moins importantes).

Pour quiconque s'intéresse aux mathématiques pures ou aux sciences appliquées

Il n'existe pas de « sciences appliquées » mais uniquement des « applications aux sciences » (à méditer).

ou encore d'équations au second degré.

Équations du second degré.

les nombres d'une additions sont nommés les termes, le résultat est une somme les nombres d'une soustraction sont nommés les termes, le résultat est une différence les nombres d'une multiplication sont les facteurs, le résultat est un produit

À chaque fois ce sont des termes (ce mot désigne un symbole de variable en langage mathématique). En revanche, on peut préciser selon les situations.

Si la division est sous forme de fraction, le nombre du haut est le numérateur et celui du bas est le dénominateur.

Cette écriture n'est pas unique. Il faut préciser qu'il s'agit « d'un numérateur » ou « du numérateur de la fraction ».

Vous souvenez-vous des formules que l'on apprends à l'école primaire pour calculer l'aire d'un carré ou le volume d'un cube? Elles ressemblaient à "côté×côté" et à "côté×côté×côté".

La police est bizarre quand tu écris $c{\rm ô}t{\rm é}$. Choisis entre un mode texte ou une autre écriture de ce mot.

on les abrège très souvent en pronnonçant "c au carré" et "c au cube ".

On dit plutôt « c carré » et « c cube » puisque le « au carré » désigne plutôt la mise au carré d'une expression plus complexe comme $a+b$. Au passage, il est plus correct d'utiliser les chevrons « et » pour les guillemets à la française.

Maintenant que nous savons comment marche une puissance et comment les noter, il nous reste à voir quelle est leur priorité opératoire.

C'est lourd comme phrase pour un tuto de ce genre.

Ce qui donne, par exemple :

Les signes d'égalité ne sont pas facultatifs.

Il est bon à savoir que la racine n-ième d'un nombre vaut ce nombre exposant 1/n.

Ce qui n'a pas de sens vue la définition que tu as donné de la puissance entière d'un nombre.

Les graphes qui suivent sont trop gros et pas super intéressants.

(un "x2" passe dans une foret, mais en ressortant, ce n'est plus qu'un "x", parce qu'il s'est pris une racine)…

C'est pas ça la blague !

Tu ne parles jamais d'autre chose que des opérations sur les entiers, c'est dommage.

Il y a clairement un problème de niveau dans ton tutoriel, que tu adresses à des élèves ayant un niveau de 6e.

• Les priorités opératoires sont au programme de 5e, et le terme « opératoire » n'est pas nécessairement donné.
• Le calcul littéral n'est abordé qu'en 4e, généralement plus tard dans l'année que les puissances.
• Ce que tu appelles les priorités dans la puissance, et qui sont en fait les opérations sur les puissances, constituent la principale difficulté de ce point du programme, tu ne peux clairement pas juste les balancer sans plus d'explications.
• Les fonctions sont au programme de 3e.
• La deuxième partie du schéma masqué de la parabole est incompréhensible, alors je te raconte pas pour un collégien…
• De manière générale, ton cours est très, très léger sur les explications : les résultats sortent de nulle part, et il manque plein de morceaux (la puissance d'une fraction, la puissance d'un nombre négatif, pourquoi la racine carré d'une somme n'est pas la somme des racines, etc.).

En outre, à aucun moment, ton enseignement n'est motivé. Tu apprends un certain nombre de choses, mais tu ne dis jamais à quoi ça sert, pourquoi on en a besoin. En particulier, les graphiques sont totalement dénués de la moindre explication (le premier excepté) et les puissances itérées apparaissent ni plus ni moins que comme un gadget.

Dans ton intro, tu parles d'équations du second degré (les équations du premier degré étant au programme du 4e, un 6e n'aura jamais même entendu le terme), mais tu n'en parles pas du tout dans ton tuto, alors que c'est un bon moyen de montrer l'intérêt des puissances.

Sinon, des remarques plus spécifiques.

C'est pour cela qu'on pronnonce m² ou m³.

Il m'a fallu un moment pour piger que tu parlais des unités, tu devrais expliciter.

Opérations sur les calculs parenthèsés

Comme dit Aabu, les parenthèses sont prioritaires sur tout le reste, et ce n'est vraiment pas clair dans ton explication.

$2+28+8(2+5×9)$

Pourquoi ne faire qu'une seule des multiplications à la fois, alors que plus bas, tu fais les deux additions en même temps ?

$$a^{n+m} = a^{n} + a^{m}$$

$$3^{2+9} = 3^{2} + 3^{9} = 9 + 19683 = 19692$$

C'est faux, c'est $a^{n+m} = a^{n} \times a^{m}$ et $3^{2+9} = 3^{2} \times 3^{9} = 9 \times 19683 = 177147$

Elle est équivalente à $\sqrt[2]{x}$.

Tu n'as pas encore introduit la notation avec le nombre au-dessus de la racine, tu ne peux pas dire qu'il y a équivalence avec quelque chose que ton lecteur ne connaît pas encore.

2.62074 et 4.24264

En français, on utilise une virgule, pas un point.

Dans tes graphiques, tu utilises la puissance de nombres négatifs, alors que tu n'as jamais utilisé un seul nombre négatif. En fait, si tu donnes bien un résultat décimal pour les calculs de racine, tu n'appliques jamais une seule de ces opérations à autre chose qu'un entier naturel. Du coup, les graphiques sortent vraiment de nulle part.

Elles sont assez peu utilisées dans les calculs courants, mais il est toujours bon de savoir ce qu'elles veulent dire quand on les croise.

Je suis allé jusqu'en Terminale S spé maths d'avant la récente réforme, et je n'ai jamais rencontré ce concept, alors je serais curieux de savoir quand on les croise, justement. En sous-main, ça veut dire qu'elles sont certes rigolotes, mais pas forcément à leur place dans un cours pour collégiens.

et restez curieux

Tu joues à e-penser ?

Salut,
il y a deux opérations "réciproques" (je dirais plutôt inverses) pour les puissances :
$a^b = c$ donne :

• a = \sqrt[b]c
• b = log_a c

Parce que la puissance n'est pas commutative (a et b ne jouent pas le même rôle, contrairement à la multiplication). Ca peut être intéressant d'en parler.

Dans "priorité entre puissances", le contenu n'a rien à voir avec les priorités. C'est plutot les propriétés des puissances (elles transforment l'addition en multiplication). Et comme dit au-dessus, ces propriétés se démontrent facilement, ce serait bête de les donner ainsi sorties du chapeau.

De même, on peut itérer des additions et des multiplications parce qu'elles sont associatives. On ne peut normalement pas itérer des puissances parce que (a puissance b) puissance c est différent de a puissance (b puissance c). Du coup on ne peut pas donner une valeur à ${a^b}^c$. On doit prendre une autre convention, qui est : on fait les puissances de gauche à droite.

Du coup ton tuto pourrait être l'occasion de parler de toutes les opérations et leurs propriétés (la distributivité aussi)

La beta du tutoriel a été mise à jour.

Merci pour vos retours, j'ai tout corrigé !

De manière plus générale, j'ai l'impression que c'est trop léger pour le public ciblé. Pour quelqu'un qui découvre ces notions, je pense que c'est trop abrupte.

Je ne suis pas sur de comprendre. Le public ciblé, c'est les débutants en maths. Je devrais revoir le fond?

Même si c'est théoriquement valide, personne n'élude le signe de multiplication avec seulement des nombres.

Ah? Depuis la quatrième (à peu près), j'ai très souvent vu mes profs de maths noter 8(3+4) dans la majorité des cas. Ou alors c'est moi qui n'a pas compris?

Dans les premières parties, tes explications sont valides sur les entiers naturels (multiplication/puissance), et d'un coup tu passes sur les réels (racines).

Pour les racines, AMA tu devrais te restreindre explicitement aux réels positifs ou alors pointer du doigt qu'il peut exister plusieurs solutions.

Jusqu'à présent (je suis terminale), mon prof de maths ne nous a pas encore fait faire de distinction entre les deux dans les calculs (on utilise les opérations comme je les ai mises). Je ne pense pas avoir un niveau suffisant pour expliquer ça en termes simples pour débutants. Par contre s'il y a un volontaire, il est le bienvenu !

Bah la racine d'un nombre négatif c'est un peu difficile à expliquer à un élève de 6e.

Pour le côté abrupte, je vais citer ce que tu as écris :

on se rend vite compte que la multiplication est en fait une succession d'additions

Le degré d'une équation correspond en fait à la puissance la plus élevée de l'équation

Donc au début tu considères que le lecteur sait tout juste ce qu'est une multiplication (sinon la premier citation n'a aucun intérêt), et moins d'une page après tu parles de degré d'une équation, ce qui implique que le lecteur doit déjà savoir ce qu'est une équation (d'ailleurs tes exemples ne sont pas des équations, simplement des fonctions). Je trouve ça un peu brute.

Pour les racines, si je prends ta définition :

Il y a des réciproques pour l'addition (la soustraction) et pour la multiplication (la division). Mais est-ce qu'il y a une réciproque pour les puissance?

J'en déduis que la racine n-ième du réel $x$ c'est un $y$ tel que $y^n=x$. Sauf que si je précise pas dans quel ensemble est $y$, à priori la solution n'est pas unique (ce qui se voit sur un de tes graphique). En général quand on utilise les notations $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{\frac{1}{n}}$ on sous-entend l'unique racine réel positive. Par contre quand on parle uniquement de racine, le fait d'en considérer une seule ou pas dépend du contexte, de ce qu'on fait.

Je plussoie ce qui se dit au dessus : si tu t'adresse à des 6ème, vire la notion de fonction. Pour la cohérence, tout ce qui vient à partir de « Racines carrées et cubiques » devrait être mis dans un autre tuto.

Sinon : 2 x 2 = 2 + 2 = 2² est le pire exemple imaginable. C'est tout pareil. Citons notre maître es pédagogie, Newtow :

Il faut bien se rendre compte que les exemples en eux-mêmes doivent servir à induire des règles, définitions, méthodes, etc (c'est aussi ce mécanisme qui est mis en jeu quand on illustre un concept avec des exemples) . Ainsi, ce qui compte, c'est ce que ces exemples ont en commun, ce qui se dégage en comparant les exemples entre eux. Or, pour bien dégager ces propriétés et relations communes, pour faciliter l'induction de règles, il faut :

• présenter une série d'exemples les uns à la suite des autres à un rythme assez rapide ;
• faire précéder les exemples par une définition, règle, ou procédure quand c'est possible : celle-ci permet de donner des indications sur ce qui est pertinent dans la série d'exemples, ce qui est commun aux différents exemples, facilitant l'abstraction d'une règle ;
• le choix des exemples dans la liste ne doit permettre qu'une seule interprétation possible, et ne peut permettre de n'induire qu'une seule et unique règle ;
• les exemples doivent être le plus variés possible à l'intérieur de la liste ;
• deux exemples consécutifs doivent être les plus dissimilaires possible, histoire que leur comparaison puisse dégager le plus possible un concept ;
• l'usage de contre-exemples est fortement recommandée quand c'est possible ;
• les contre-exemples doivent s'intercaler entre les exemples (mieux vaut éviter des contre-exemples consécutifs) ;
• un exemple et un contre-exemple consécutif doivent être les plus similaires possibles.

Le gras est de moi, car c'est justement ce que ne fais pas ton exemple. 5x4 serait plus pertinent.

Comme signalé précédemment, 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 5 = 5³ n'est pas vrai.

Dans la partie sur les priorité, tu dis qu'on fait d'abord les « Calculs entre parenthèses ». Alors pourquoi, bon sang de bonsoir, ce n'est pas ce que tu fis dans l'exemple ? Si j'applique littéralement les règles (qui sont justes), ça donne

Le résultat est bien sûr le même, mais j'ai appliqué les règles comme énoncées, ce qui est mieux pour un exemple.

Édit : mise en page foireuse.

Je complète mes remarques :
- tu ne dis pas que ça se prononce "a puissance n" avant de parler de "a au carré ou au cube".
- je laisserais "a au carré", c'est ce qu'on dit le plus souvent (perso "a carré" est plutot rare, sauf pour raccourcir les longues expressions)
- le chapitre "degré d'équation" est inutile à ce niveau, à mon avis.
- j'ai jamais vu la notation 8(47).
- comme déjà dit, les exposants fractionnaires et négatifs nécessiteraient un gros chapitre. Ca devrait même être le coeur du tutoriel finalement, vu qu'il porte sur les puissances.
- du coup j'enlèverai les fonctions associées de ce tuto. Ou alors tu fais un big-tuto "Nombres, opérations et fonctions". Ou une série de mini-tutos, mais chacun développant un thème bien précis (les nombres, les opérations, les équations, les fonctions,…)

Arf, j'ai écris mon message en même temps que Dominus Carnufex et Looping.

Edit : Désolé pour le temps de réponse, à chaque fois que j'édite mon message, il y en a un nouveau qui est posté.

Il y a clairement un problème de niveau dans ton tutoriel, que tu adresses à des élèves ayant un niveau de 6e. En outre, à aucun moment, ton enseignement n'est motivé. Tu apprends un certain nombre de choses, mais tu ne dis jamais à quoi ça sert, pourquoi on en a besoin. En particulier, les graphiques sont totalement dénués de la moindre explication (le premier excepté) et les puissances itérées apparaissent ni plus ni moins que comme un gadget.

Le problème est que je ne peux pas rester concis tout en donnant des exemples concrets d'applications tout de suite. Je voyais surtout ce tuto comme un moyen d'avoir les pré-requis pour suivre d'autres tutos sur des sujets plus spécifiques. Quand au puissances itérées, j'en suis désolé, je ne voulais pas les "diminuer".

En fait, j'en parles ici surtout parce qu'elles ont la faculté de donner des nombres énormes avec des écritures très simples. Je me suis dit que ça illustrait bien "la puissance des puissances".

Dans ton intro, tu parles d'équations du second degré (les équations du premier degré étant au programme du 4e, un 6e n'aura jamais même entendu le terme), mais tu n'en parles pas du tout dans ton tuto, alors que c'est un bon moyen de montrer l'intérêt des puissances.

C'est faux, c'est an+m=an×am

Dans "priorité entre puissances", le contenu n'a rien à voir avec les priorités. C'est plutot les propriétés des puissances (elles transforment l'addition en multiplication). Et comme dit au-dessus, ces propriétés se démontrent facilement, ce serait bête de les donner ainsi sorties du chapeau.

Ca a été ajouté et corrigé dans la version bêta actuelle.

Dans tes graphiques, tu utilises la puissance de nombres négatifs, alors que tu n'as jamais utilisé un seul nombre négatif. En fait, si tu donnes bien un résultat décimal pour les calculs de racine, tu n'appliques jamais une seule de ces opérations à autre chose qu'un entier naturel. Du coup, les graphiques sortent vraiment de nulle part.

En fait, ces graphiques sont surtout là pour illustrer plus que pour expliquer. Je les ai mis pour que les lecteurs aient une idée de leur forme. Je vais quand même tenter d'expliquer un peu pour les puissances négatives. Ce sera dans la prochaine version bêta.

Salut, il y a deux opérations "réciproques" (je dirais plutôt inverses) pour les puissances : ab=c donne :

1 2	a = \sqrt[b]c b = log_a c

Parce que la puissance n'est pas commutative (a et b ne jouent pas le même rôle, contrairement à la multiplication). Ca peut être intéressant d'en parler.

C'est intérêssant, en effet, mais je ne sais pas si je peux en parler, principalement parce que le logarithme arrive assez tard dans les études de maths, et aussi parce que moi-même, si je me débrouille avec les exposants, je ne peux en dire autant des logarithmes. Je vois qui ils sont et comment ils marchent, mais je ne les maitrise pas assez pour pouvoir les expliquer en termes simples. Là encore, s'il y a un volontaire, il est le bienvenu.

Donc au début tu considères que le lecteur sait tout juste ce qu'est une multiplication (sinon la premier citation n'a aucun intérêt), et moins d'une page après tu parles de degré d'une équation, ce qui implique que le lecteur doit déjà savoir ce qu'est une équation (d'ailleurs tes exemples ne sont pas des équations, simplement des fonctions). Je trouve ça un peu brute.

J'en déduis que la racine n-ième du réel x c'est un y tel que yn=x. Sauf que si je précise pas dans quel ensemble est y, à priori la solution n'est pas unique (ce qui se voit sur un de tes graphique). En général quand on utilise les notations x√n ou x1n on sous-entend l'unique racine réel positive. Par contre quand on parle uniquement de racine, le fait d'en considérer une seule ou pas dépend du contexte, de ce qu'on fait.

Je plussoie ce qui se dit au dessus : si tu t'adresse à des 6ème, vire la notion de fonction. Pour la cohérence, tout ce qui vient à partir de « Racines carrées et cubiques » devrait être mis dans un autre tuto.

Sinon : 2 x 2 = 2 + 2 = 2² est le pire exemple imaginable. C'est tout pareil.

• comme déjà dit, les exposants fractionnaires et négatifs nécessiteraient un gros chapitre. Ca devrait même être le coeur du tutoriel finalement, vu qu'il porte sur les puissances.
• du coup j'enlèverai les fonctions associées de ce tuto. Ou alors tu fais un big-tuto "Nombres, opérations et fonctions". Ou une série de mini-tutos, mais chacun développant un thème bien précis (les nombres, les opérations, les équations, les fonctions,…)

Il semblerait que j'ai sous-estimé l'ampleur du sujet. Je crois que je vais supprimer ce tuto et m'y remettre dans quelques temps (quand j'aurais le temps), là, je n'ai plus ni le recul nécéssaire, ni le temps de traiter un sujet aussi vaste.

Je vais voir si je supprime le tuto ou si je trouve un repreneur ce week-end, que je vous souhaite bon.

rezemika

Je pense qu'un problème de ton tuto est la définition des objectifs.

Quelle est la connaissance que tu souhaites transmettre ? Limites toi à celle-ci. Si tu veux parler d'autre chose, fais le dans un autre tutoriel, ou alors fait un big-tuto pour parler d'une notion de manière large.

Quels sont les pré-requis nécessaires ? Trop, tu apprends peu à ton lecteur, pas assez, ça rend le tutoriel complexe. Mais une fois choisi un age/niveau d'étude, tiens toi y. Si c'est 6ème (10/12 ans), pas de fonction, si c'est 3ème (13/15 ans), moins de rappel.

Soit parfaitement cohérent. Dans les notations, dans les exemples d'applications, partout. Disons le clairement, c'est super dure, mais c'est indispensable.

Édit : vous avez le droit de copier/coller ce message et de le balancer comme premier commentaire la prochaine fois que je mets un tuto en béta. Car c'est super facile à dire, mais incroyablement compliqué à mettre en pratique.

Tu n'es pas obligé de le supprimer … Tu peux encore le laisser en pause et reprendre quand tu auras plus confiance.

Euh c'est moi ou t'as écris : 5³ = 5 x 5 ?

Surtout ne te décourage pas, même si tu le laisses en l'état pendant des mois. J'ai moi-même un cours qui traîne dans la bêta et qui traînera pendant encore quelques mois.

Euh c'est moi ou t'as écris : 53 = 5 x 5 ?

Non ce n'est pas toi, c'est corrigé (dans la version brouillon).

Surtout ne te décourage pas, même si tu le laisses en l'état pendant des mois. J'ai moi-même un cours qui traîne dans la bêta et qui traînera pendant encore quelques mois.

Tu n'es pas obligé de le supprimer … Tu peux encore le laisser en pause et reprendre quand tu auras plus confiance.

Ok je vais faire ça. Donc je laisse ce topic couler et je le fais remonter quand j'aurais une mise à jour?

Attention, si tu supprimes le tuto, cette discussion va également disparaitre. Donc je te conseille de le laisser.

Pour le tuto, si tu n'as ni le temps ni le recul, tu peux essayer de faire des séries de mini-tutos qui partent vraiment de la sixième, pour arriver aux puissances plus tard. C'est très formateur d'expliquer ce qu'on a appris aux autres.
Ta volonté de faire un tuto qui soit "un moyen d'avoir les pré-requis pour suivre d'autres tutos sur des sujets plus spécifiques" est un objectif tout à fait intéressant.

Je vais faire mon chieur (comme d'habitude) en répétant que la France n'est pas le centre du monde (en fait, je parle surtout des termes 5e, 6e, etc.). Je ne le dirai jamais assez souvent : prenez en compte dans vos tutoriels que vos lecteurs n'ont pas nécessairement eu la même éducation que vous! Et je m'adresse à tout le monde.

Pour le reste, mes collègues ont tout dit.

Pour les Puissances itérées de Knuth tu peux aussi faire le parallèle avec la notation informatique qui tronque la flèche :

Mouais, je ne pense pas que ce soit pertinent, tu ne peux pas généraliser cette analogie aux doubles flèches. Les puissances itérées doivent vraiment être présentées comme une curiosité dans le tuto, une sorte de mathématiques récréatives. A moins que vous ayez des exemples d'utilisation concrète.