Explications sur les congruences

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Auteur du sujet

Bonjour,

Je viens de terminer les tableaux d'additions et de multiplications modulo 4 et 9. J'ai parfaitement compris la technique mais je n'ai absolument pas compris comment ça fonctionne. Je sais ce n'est absolument pas clair.

Je sais que le modulo est le reste de la division euclidienne (merci à la programmation). Du coup, est-ce que ça c'est valide ?

$$ 19 = 3 * 8 + 1 \\ 33 = 4 * 8 + 1 \\ 19 \equiv 33 \pmod{1} $$
Je trouve que cette écriture est parfaitement compréhensible, seulement, j'ai l'impression que ce n'est pas valide…

Les questions vont venir au fur et à mesure des posts comme d'habitude, mais si le modulo est le reste de la division euclidienne… Pourquoi on l'utilise en trigonométrie ?! o_O À moins que ce ne soit pas le même et dans ce cas je serais totalement perdu.

Autre petite question, si un nombre est modulo 9 (même moi je ne suis pas sûr de me comprendre), sera t-il forcément compris entre 0 et 8 ?

Merci de vos réponses !

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Autre petite question, si un nombre est modulo 9 (même moi je ne suis pas sûr de me comprendre), sera t-il forcément compris entre 0 et 8 ?

Wizix

Oui, systématiquement. Et tu peux généraliser : tout nombre modulo $n$ sera compris entre $0$ et $n-1$, vu que le reste de la division par $n$ sera obligatoirement dans cet intervalle (je te laisse chercher pourquoi, c'est très simple).

Et pour ce qui est de l'utilisation du modulo en trigonométrie, c'est dans le cas des angles. En effet, dans un angle, tu ne comptes pas le nombre de tours complets (360°) et tu peux traduire tes angles dans une valeur comprise entre 0° et 359° : pour essayer de voir le lien avec le modulo, essaye de calculer combien de degrés vaut 730°, 250°, etc. Essaye sur un nombre suffisant d'exemples, avec si possible sur de grandes valeurs, tu vas rapidement comprendre.

Édité par anonyme

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@Wizix:

$$ 25 \equiv 33 (8) $$

Ça c'est valide oui. T'as le droit d'écrire ça ^^. Étant donné que l'on travail sur $Z/Z_8$ et que 25 (Attention, $3*8+1 = 25$) et 33 sont tous les 2 des écritures de la même classe d'équivalente du nombre 1 dans cet ensemble.

Arf, tu me poses une colle pour la trigo. J'ai toujours interpréter les modulo $2\pi$ comme une extension de l'opération modulo sur les réels. C'est à dire, on retire ou ajoute $2\pi$ tant que l'on est pas dans la borne 0 à $2pi$. Ou encore comme la traduction de l'expression "Invariant à l'ajout ou suppression de $2\pi$".

En gros $x [2\pi] \equiv \forall k \in N, x + 2\pi k $ Mais le passage de quelqu'un qui s'y connait mieux serrait souhaitable …

Édité par ache

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Auteur du sujet

Parce que le reste est forcément inférieur au diviseur. J'avais totalement oublié ! Du coup quand je dit $x$ modulo $n$ je sous-entend le reste de la division euclidienne de $x$ par $n$ ?

Je ne vois pas, par exemple :

$$ 730 = 2 * 359 + 12 \\ 250 = 0 * 359 + 250 \\ 1890 = 5 * 359 + 95 $$
Quel lien suis-je sensé voir ?

Merci de ta réponse rapide !

@Ache
Ah oui d'accord. Du coup je peux écrire ça (attention première tentative d'écriture mathématique) :

$$ x \equiv{9}\pmod{8}\\ \forall x \in \mathbb{Z}, x = n * 8 + 1, n \in \mathbb{N} $$

Ah mais du coup, si je retire $2\pi$ je retire un tour du cercle.. C'est pour ça ! Les formules mathématiques sont tellement plus clair que le texte (bon j'imagine que dans le supérieur on doit rêver de retrouver du texte… :D )

Merci beaucoup, je comprend un peu mieux la trigonométrie pour le coup! :ange:

EDIT : Que signifie : Étant donné que l'on travail sur $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{8}$ ? Il ne me semble pas l'avoir vu, du coup si j'arrive à le placer dans une copie ce sera le top du top !

Édité par Wizix

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Je sais que le modulo est le reste de la division euclidienne (merci à la programmation). Du coup, est-ce que ça c'est valide ?

En fait ce n'est pas ça mais c'est un cas plus précis de ce qu'est le modulo. Le « modulo n » est une relation d'équivalence, qui dit que deux nombres sont congrus modulo n si $\exists k \in Z, a = nk + b$. En conséquence on peut rejoindre la division euclidienne assez facilement et conclure qu'un nombre est toujours congru modulo n à son reste de division euclidienne par n. Mais la notion de congruence est plus générale que ça.

Autre petite question, si un nombre est modulo 9 (même moi je ne suis pas sûr de me comprendre), sera t-il forcément compris entre 0 et 8 ?

Cette phrase ne veut pas dire grand chose. Un nombre n'est pas modulo 9 mais est congru à un autre modulo 9. Comprends bien, une congruence (modulo n) est une relation d'équivalence entre deux nombres, dont une conséquence est qu'ils ont même reste de division euclidienne par n.

C'est le reste de la division euclidienne qui par définition est compris entre 0 et n. En revanche si un nombre est congru à 1 modulo 9, il veut valoir 10, 19 ou -8 etc… Ça veut juste dire qu'ils sont équivalents modulo 9, donc modulo un nombre entier de sauts de longueur 9.

Pour la trigo, tout a été dit. Au niveau graphique deux angles différents à $2k\pi$ près auront même allure, tout en étant différents. D'où la congruence modulo $2\pi$ ; si ça t'embrouille garde en tête voire écris plutôt que les angles sont égaux à $2k\pi$ près.

EDIT : On écrit $Z/nZ$ pour désigner l'ensemble particulier dans lesquels tous les nombres congrus entre eux modulo n sont égaux - pour simplifier. Par exemple, $Z/2Z$ ne contient que deux éléments, 0 et 1 ; mais je pourrais aussi dire qu'il contient uniquement 2 et 9, parce que dans cet ensemble 0 = 2 et 1 = 9 car ils sont congrus modulo 2. On tourne toujours autour de cette notion de congruence, que deux nombres équivalents égaux pour simplifier le problème dans lequel on se place et de reste de division euclidienne.

En gros x[2π]≡∀k∈N,x+2πk Mais le passage de quelqu'un qui s'y connait mieux serrait souhaitable …

Non ! Tu confonds un peu ; l'idée générale est un peu là mais mêlée à de grosses erreurs. Pour commencer, il faut bien préciser qu'on n'écrit jamais $x[2\pi]$ tout seul, ça n'a pas de sens. En revanche on peut écrire $y = x [2\pi]$. Mais $x[2\pi]$, on ne sait pas de quoi on parle, c'est exactement comme si tu écrivais $ = 3$. Qui est égal à 3 - on sait pas. Une congruence ça se balade pas tout seul.

Ensuite, ce n'est pas un $\forall$, mais son contraire, sa négation, $\exists k \in Z$. Parce qu'on ne dit pas que $y$ doit prendre toutes les valeurs congrues à x mod 2pi, mais que y est un nombre, bien défini, tel qu'il est congru à x ( $ y \equiv x [2\pi]$) donc $\exists k \in Z, y = x + 2k\pi$. La valeur exacte de l'angle ne peut être définie qu'à $2k\pi$ près, on ne sait pas laquelle, mais sa valeur est unique.

Et comme y'a plusieurs angles qui correspondent à ce critère, il y a plusieurs solutions. Mais qui sont toutes différentes, au sens de l'égalité entre deux nombres, tout en partageant un critère commun : ellles sont toutes congru entre elles.

Édité par Goeland-croquant

Ich bin très occupé cette année. Ne vous étonnez pas si je réponds par intermittence.

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Auteur du sujet

La même, merci ! C'est plus détaillé que mon cours de math, j'en apprend bien plus ici ! Du coup, j'ai réussi à m'en sortir dans mes exos !

Merci encore à vous tous!

Mon projet : OpenPlane, un utilitaire en Java pour les pilotes, les vrais !

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Deux remarques :

  • Parler de choses que l'on ne maîtrise pas, ce n'est pas nécessairement du meilleur effet. Ca claque, mais c'est prendre le risque de dire des énormités sans même s'en rendre compte. Par exemple, il est faux de dire que $1 \in \mathbb Z/ 2 \mathbb Z $ (même si par abus de notation, on se le permet quasi tout le temps). C'est ce qui m'amène à mon second point.
  • Dire que modulo 2, on peut écrire 1=7=9, ce n'est pas exact. En fait il serait plus juste de dire que les classes d'équivalence modulo 2 des nombres 1, 7 et 9 sont égales et donc que $\bar 1 = \bar 7 = \bar 9$. Il vaudrait donc mieux écrire $\bar 1 \in \mathbb Z/ 2 \mathbb Z $ que $1 \in \mathbb Z/ 2 \mathbb Z $, ce qui illustre mon premier point. La boucle est bouclée.

Édité par Kaji9

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Je ne suis pas d'accord avec Kaji9.

$1$ tout comme $7$ et $9$ appartiennent à la même classe d'équivalence pour la relation modulo $2$.
Si je suis bien d'accord qu'on note de manière générale une relation par $\mathcal{R}$ ou éventuellement ~, dans les faits on écrit '=' et si le contexte le nécessite, on précise pour quelle relation. J'ai donné l'exemple le plus classique d'analyse ici où deux fonctions qui sont dans la même classe d'équivalence sont simplement marqué '=' et l'on précise lorsque ce n'est pas évident 'presque partout'.

Quand à l'écriture d'appartenance, je ne vois pas bien ce que tu lui reproches car ces nombres appartiennent bien à $\frac Z {2Z}$ que tu peux voir simplement comme l'ensemble respectant la relation d'équivalence qui a servi à quotienter $Z$, par définition. Là encore, c'est la même que l'exemple que j'ai donné ailleurs.

Édité par KFC

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J'hésitais un peu à mettre mon message précédent que j'ai du coup masqué…

Une fois que l'on a construit un objet, on ne s'occupe plus des « détails d'implémentation » (même si la construction met à jour une propriété fondamentale dudit objet, c'est la propriété qu'on utilise). Je trouve ça assez moche de dire que $2\mathbb Z \in \mathbb Z / 2 \mathbb Z$. Par contre, je ne vois pas le problème d'avoir plusieurs représentations pour un même élément ("1" et "3" par exemple), ce que l'on peut penser comme les images de 1 et 3 (ceux de $\mathbb Z$) par un certain morphisme « choisi » de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ (là il n'en existe qu'un mais on pourrait prendre 3 au lieu de 2 et il faut faire un choix – edit : je parle du groupe, pas de l'anneau $\mathbb Z/(3)$).

Après, je pense qu'il ne faut pas penser à l'identité des objets comme quelque chose de fondamental… On a des notations (de préférence composables, etc.), et parfois on peut prouver que deux notations dénotent deux objets « égaux », dans un certain contexte. Je ne suis pas certain de bien m'exprimer… Ce que je veux dire, c'est que ça n'est même pas censé avoir de sens de demander si le 1 de $\mathbb Z/2 \mathbb Z$ est le même que le 1 de $\mathbb Z$, ou bien si le 1 de $\mathbb Z$ appartient au 1 de $\mathbb Z/2 \mathbb Z$.

Édité par Couard anonyme

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Je suis surpris par ces pouces rouges et ces remarques, je ne faisais que répondre à cette remarque :

EDIT : Que signifie : Étant donné que l'on travail sur $\mathbb{Z}/\mathbb{Z}_{8}$ ? Il ne me semble pas l'avoir vu, du coup si j'arrive à le placer dans une copie ce sera le top du top !

Wizix

En effet, on a généralement pour habitude d'écrire $1=3$ dans $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$. Mais nous le faisons parce que nous savons de quoi nous parlons, et nous gardons à l'esprit qu'il s'agit d'un abus de notation. Mais cela ne veut pas dire que ce soit juste et nous savons que sur une copie ou une publication, il faudrait prendre d'avantage de gants.

A priori, Wizix ne sait pas ce qu'est $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$, ni ce qu'est une classe d'équivalence. Je lui déconseille donc simplement de vouloir placer à tout prix des notations comme $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ ou des $1=3$ juste pour faire bon effet. Il est préférable qu'il note $1 \equiv 3 [2]$ ou $3 = 2 \times 1 + 1$ à bon escient que de prendre le risque de mal utiliser une notation qu'il ne maîtrise pas.

@Höd : Nous sommes bien d'accord que $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ est l'ensemble des classes d'équivalences modulo 2, non un ensemble de nombres entiers. Il s'agit d'une différence de nature, de type d'objets, même si j'admets évidemment qu'il s'agit ici de pinaillage (comme dit plus haut).

@Couard anonyme : désolé, je ne comprends pas bien ce que tu souhaitais dire.

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Staff

Mais nous le faisons parce que nous savons de quoi nous parlons, et nous gardons à l'esprit qu'il s'agit d'un abus de notation.

C'est plus un abus quand on a montré que $+$ et $\times$ passent au quotient et qu'on n'utilise que ces opérations.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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@Höd : Nous sommes bien d'accord que $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ est l'ensemble des classes d'équivalences modulo 2, non un ensemble de nombres entiers. Il s'agit d'une différence de nature, de type d'objets, même si j'admets évidemment qu'il s'agit ici de pinaillage (comme dit plus haut).

@Couard anonyme : désolé, je ne comprends pas bien ce que tu souhaitais dire.

Kaji9

Ça ne te gêne pas de dire qu'un élément de $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ est un ensemble ? Personnellement, j'ai juste envie d'avoir 0, 1, un +, un ×, etc. Je n'ai pas envie de parler de 0 ∪ 1 par exemple. Puisque tu parles de types, cette expression est censé être « mal typée ». Pour moi, $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$ n'est ni un ensemble de nombres entiers, ni une partition de $\mathbb Z$. Ensuite, il y a la question de savoir comment parler des éléments de $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$, et cf. ce que j'ai dit plus haut.

Est-ce que c'est encore obscur ?

Bon, après je ne dis rien côté pédagogie (même si je trouve ça pas très sain de vouloir placer un truc dans une copie).

Édité par Couard anonyme

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Mais cela ne veut pas dire que ce soit juste et nous savons que sur une copie ou une publication, il faudrait prendre d'avantage de gants.

A moins de travailler exactement sur le sujet, par exemple dans un cours sur les anneaux quotients, la norme est d'utiliser un représentant de classe pour parler de la classe. D'où l'abus constant de notation. Je n'ai personnellement jamais mis aucune distinction entre un représentant de classe et sa classe et jamais eu aucune remarque à ce sujet. Pas plus que quiconque que je connais.

J'en veux pour preuve que l'on ne pourrait pas dans ce cas écrire $f\in \mathcal{L}^p$.
En fait on le fait car il existe une surjection canonique d'un élément vers sa classe d'équivalence, ce qui justifie l'abus du coup pas très vilain.

Il faut voir aussi que derrière $\mathbb Z / 2\mathbb Z$ se cachent deux objets. D'une part l'anneau quotient où la notation désigne l'ensemble des classes d'équivalence, ce qui dans le fond te donne le droit de pinailler, et d'autre part, un simple ensemble quotienté et où la notation représente un sous-ensemble de l'ensemble des parties de $Z$, auquel cas, ta remarque ne tient plus.

Après c'est bien aussi de préciser et de le voir une fois dans sa vie. Je pense que les -1 viennent de (1) Parler de choses que l'on ne maîtrise pas, ce n'est pas nécessairement du meilleur effet. (2) Ca claque, mais c'est prendre le risque de dire des énormités sans même s'en rendre compte.

Où (1) n'est pas très gentil et (2) assez préremptoire au sens où je vois plus ta remarque comme du zèle, intéressant au demeurrant, mais qui ne corrige définitivement pas une énormité.

Édité par KFC

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Mais nous le faisons parce que nous savons de quoi nous parlons, et nous gardons à l'esprit qu'il s'agit d'un abus de notation.

C'est plus un abus quand on a montré que $+$ et $\times$ passent au quotient et qu'on n'utilise que ces opérations.

Holosmos

En effet, mais je conseille quand même pour des raisons pédagogiques aux gens qui ne sont pas encore familiers avec le concept de classe d'équivalence de se méfier un peu, et d'utiliser de préférence le symbole $\equiv$. Non pas que le symbole = soit incorrect, mais il faut un peu de temps pour comprendre précisément ce qu'il signifie. Et pendant la période de familiarisation, un surplus de prudence n'est jamais néfaste.

J'ajoute que le symbole = dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ a bien un sens : il représente une égalité ensembliste. 1 ne représente pas le nombre 1, mais la classe d'équivalence de 1 modulo $n$. Pour $n=2$, écrire 1=3 a donc du sens, du point de vue de l'égalité ensembliste.

J'ajoute que le symbole = dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ a bien un sens : il représente une égalité ensembliste. 1 ne représente pas le nombre 1, mais la classe d'équivalence de 1 modulo $n$. Pour $n=2$, écrire 1=3 a donc du sens, du point de vue de l'égalité ensembliste.

c_pages

Le couple $(1,2)$ n'est ni égal à $\{\{1\}, \{1,2\}\}$, ni à $\{\{2\}, \{\emptyset,1\}\}$. Sauf pour construire ℤ, personne n'a envie de dire que $-3 = \{(0,3), (1,4), \dots\}$. Bref, il y a plein d'exemples comme ça, et je ne vois pas pourquoi on devrait conserver les détails des constructions des objets (même si ces constructions se généralisent, sont intéressantes, etc.).

Je ne veux pas trop parler de pédagogie, mais franchement il n'y a par besoin de parler de classes d'équivalences (même si on devrait le faire) pour dire que 1 = 3 dans ℤ_2 (pour utiliser une notation « neutre » qui peut être comprise par tout le monde — et d'ailleurs je préférais cette notation quand je ne savais pas ce que voulait dire ℤ/3ℤ). On dit juste que l'on a deux éléments, le premier on l'appelle 0, ou 2, ou 4, bref il a plein de noms, et le deuxième 1, etc. En fait, on parle quand même de classes d'équivalences, mais on pourrait très bien donner comme nom au premier élément tous les nombres premiers, et à l'autre toutes les lettres de l'alphabet. Ce serait très moche mais on peut quand même le faire. Après, si vous avez des raisons psychologiques, etc. je dis pas (par exemple « il se peut qu'il y ait confusion entre les deux systèmes parce qu'on note pareil »).

Édité par Couard anonyme

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Staff

J'ajoute que le symbole = dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ a bien un sens : il représente une égalité ensembliste. 1 ne représente pas le nombre 1, mais la classe d'équivalence de 1 modulo $n$. Pour $n=2$, écrire 1=3 a donc du sens, du point de vue de l'égalité ensembliste.

c_pages

De toute façon $=$ est toujours une égalité ensembliste puisqu'en théorie des ensembles … tout est ensemble :P.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Bon je ne vais pas m'acharner pour un point de détail. J'ai déjà dit que, moi le premier, on note généralement $1$ au lieu de $\bar 1$. Nous sommes tous bien d'accord sur ce point-là. Je faisais simplement remarquer à Wizix qu'utiliser ces notations impliquait de maîtriser d'avantage de concepts (car contrairement à toi Höd, je me suis déjà fait saquer pour avoir confondu un représentant et sa classe, pas qu'une seule fois, et je n'étais pas le seul non plus).

Maintenant, si cela vous semble naturel qu'un élève (visiblement de Terminale) utilise des notations post-bac sans avoir connaissance de tout ce que vous racontez depuis mon premier poste, libre à vous, je ne vous reproche rien. Perso, j'estimais normal de le mettre en garde et ne pensais pas me faire lyncher pour si peu :( . Mais bon, je me tais, je me tais, je me tais … Mea maxima culpa.

Édité par Kaji9

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