Bonsoir , voila le problème en détail et ce que j'ai arriver a prouver jusqu’à le moment , le but c’est de montrer qu’une solution de base réalisable de (P=) si et seulement si est un point extrémal de ∑ , et que toute solution optimale est sur le bord ∑ .et que c’est un point extrême.
1)
Γ = { x∈ Rⁿ ;Ax≤b,x≥0 }
Montrer que Γ est un ensemble convexe !
Soit x,y deux solution de Γ
Ax ≤ b , x ≥ et Ay ≤ b , y ≥ 0
Ax - Ay + y ≤ b – b ⟺ Ax +(1- A)y ≤ b – b≤ 0
Soit z = Ax +(1- A)y (z est un point appartient au segment [x,y] ).
Alor Az=b donc z ∈ Γ et z≥ 0.
Donc Γ est un ensemble convexe.
2)
Montrer que Γ est un ensemble fermé!!
(il suffit de montrer que toute suit convergente de Γ converge vers un point de Γ)
Γ est un sous ensemble de Rⁿ
Soit une suite xn ∈ Γ, xn ≤ x , Axn ≤ Ax Axn ≤ b , xn ≥ 0 passage a la limite on aura Ax ≤ b , x ≥ 0 d’où x ∈ Γ , alors Γ est un ensemble fermé
3)
