Exemple de normes non-équivalentes

De la dimension finie vers la dimension infinie.

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonsoir,

Commençons par animer un petit peu ce forum dédié aux sciences. Je propose un petit exercice très classique d'analyse fonctionnelle dont le but est d'exiber des normes non-équivalentes. En effet, on commence la topologie en travaillant très souvent dans des espaces de dimensions finies auquel cas énormément de concepts se mélangent.

Citons alors qu'une partie A d'un ensemble E qui est totale dans E est également génératrice. De même toutes les normes sont équivalentes. Et l'on pourrait continuer la liste longtemps.

Pour ceux qui apprennent à travailler dans les espaces de dimensions infinis, trouver des contre-exemples ou mettre en lumière précisemment ces différences n'est pas forcément naturel. C'est pourquoi je propose ce petit exercice dont voici l'énoncé.

Exemple de normes non-équivalentes

On pose $E = C[0,1]$ l'espace des fonctions continues sur l'intervale $[0,1]$. On munit $E$ de la norme suivante : $\forall f\in E,~ ||f||_p=(\int_0^1|f(x)|^pdx)^{\frac 1 p}$, avec $1\leq p< \infty$.

Démontrer que si $p<q$ on $||.||_p < ||.||_q$ puis que si $p\neq q$ les deux normes ne sont pas équivalentes. Déduire l'ordre d'inclusion des espaces $L^p$ de la première partie.

Comme je suis sympathique et que j'ai promis que cela ne serait pas trop dur, on utilisera pour la première partie l'inégalité de Hölder :

$\frac 1 p + \frac 1 q = 1$
On dit que $p$ et $q$ sont conjugués.

Soit deux fonctions $f$ et $g$ d'un espace mesuré et $p$ et $q$ satisfaisant la relation de conjugaison précédente, alors $||fg||_1 < ||f||_p||g||_q$.

Édité par KFC

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Staff

Je pense que ton exercice est bien, mais que le topic a du mal à trouver un public.

Soit la personne qui lit a déjà fait une fois dans sa vie cet exercice et du coup n'a pas envie de prendre le temps de faire la rédaction, soit la personne qui lit n'a pas vu cette partie dans ses cours passés et donc n'a pas vraiment d'idée sur la démonstration.

Au final j'ai du mal à savoir qui pourrait répondre :/

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Auteur du sujet

Après la difficulté est de jauger ce qu'on attend. Un exercice comme celui-ci ne demande pas quelque chose de nouveau, requiert juste tout au plus quelques notions basiques que l'on peut acquérir en cherchant le vocabulaire sur internet si jamais on ne l'a pas.

Je peux proposer un exercice plus difficile qui demande de la réelle recherche (sans être un problème ouvert) et un investissement particulier mais je ne suis pas sur de trouver public ici (ni ailleurs sur internet par ailleurs).

Ca m'intéresse bien d'animer ce forum avec des exercices réguliers, dans différents domaines pour illustrer différents concepts, avec différentes difficultés mais il faudrait me dire exactement quoi cibler en tant que le « niveau » de difficulté ou autres critères.

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Staff

Je comprends ton envie, et d'ailleurs je trouve ça très bien !

Pour le niveau, je sais pas ce qu'il faudrait viser mais un niveau accessible à un TS me paraît une règle raisonnable.

Il faut aussi prendre en compte que tout le monde n'a pas l'habitude de réellement chercher, creuser, trouver des idées. À mon avis il faudrait prendre un peu plus par la main (du moins au début).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Sinon c'est juste que c'est chiant et que ca ne branche personne : c'est ultra scolaire, perso et dehors des cours je me trippe pas a faire des que je pourrais faire dedans… On dirait du parascolaire pour BAC+3

Des défis/énigmes orientées maths sur des thématiques différentes (genre ca ou encore démontrer des relations surprenantes aurait AMA beaucoup plus de succès.

Bref, faire des choses différentes, pas des cours

Édité par Davidbrcz

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Auteur du sujet

Tu n'es pas très gentil. :(
Je trouve ça passionnant, pas tellement pour les 3 lignes de calculs et le contre-exemple presque évident pour résoudre le problème mais plus pour l'exemple de normes non-équivalentes et comment le passage d'une dimension finie à infinie change complètement les choses « usuelles » que l'on a l'habitude de manipuler. Sans oublier que tout le monde n'a pas de cours d'analyse fonctionnelle et peut pourtant être intéressé par cette distinction.

Si tu veux on peut toujours donner des exercices concrets du genre « déterminer la stratégie optimale pour le jeu de Pierre-Feuille-Ciseau », mais est-ce que ça change réellement le fond du problème dans le sens où la réponse ne changera pas que je le présente de cette manière ou que je guide en donnant le formalisme par « trouver la stratégie mixte optimale sur la matrice de jeu suivante » ?

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Tu n'es pas très gentil. :(

https://www.youtube.com/watch?v=oLxFqzumFrc

Je trouve ça passionnant,

Le sujet prouve que tu es bien seul sur ce point

comment le passage d'une dimension finie à infinie change complètement les choses « usuelles » que l'on a l'habitude de manipuler.

Dans ce cas, il ya peut être des manières moins arides et plus ludiques de mettre ca en évidence ? (voir plus bas)

Si tu veux on peut toujours donner des exercices

Il est la le soucis, tu veux donner des exercices. Un exercice ca suppose un cours préalable, sur lequel on a envie de travailler. On peut alors approfondir ses connaissances en montrant des sujets plus exotiques que des trucs archi-classiques (et je ne my connais pas assez en analyse fonctionnelle pour avoir un exemple concret de truc exotique). Enfin, lancer un exo n'est pas spécialement ce qui permet de lancer une conversation. Ya de tres bons pdfs et livres qui trainent pour ca

Ou alors, totalement en dehors des cours, on peut avoir envie d’élargir ses connaissances en général ou de plancher sur des trucs différents. Et ca peut être le bon endroit pour faire des ateliers thématiques.

Par exemple sur l'infini : Saviez vous qu'il y autant d'entiers pairs que d'entiers naturels ? Mais comment peut on le prouver ? Comment dénombrer N,Z,Q,…

Pour le coup du sous marin, le but n'est pas de subir les assauts du formalismes mais au contraire, de laisser ca légèrement informel et de laisser les gens qui le veulent formaliser le sujet.

Pour le coup des normes tu pourrais appeler ton sujet ; Une question de dimension et avoir comme fil directeur les différences qu'il y a entre les SEV de dim fini et ceux de dim infinie.

Tu pourrais rappeler avec les mains ce qu'est SEV, montrer des exemples de EV dim finie/infinie, mettre en exergue une suite qui va se comporter différemment en fonction de la norme, demandez au gens de construire des exemples et/ou contre exemples a tes remarques, et éventuellement a la fin, laisser comme approfondissement l'exo brut de décoffrage que tu donnes…

Bref, rendre ca plus ludique, moins aride, plus accessible de sorte que même si tu saches pas faire l'exo, tu ais appris un truc (une notion, un contre exemple,…)

PS : un truc con qui m'a choque, c'est le conditionnement des matrices. Voir qu'un truc qui est formellement parfait va faire du caca numériquement, je trouve ca magique et je pense que ca pourrait être un sujet a creuser par exemple.

Édité par Davidbrcz

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Staff

Par exemple sur l'infini : "Saviez vous qu'il y autant d'entiers pairs que d'entiers naturels ? Mais comment peut on le prouver ? Comment dénombrer N,Z,Q,…".

Davidbrcz

C'est d'autant plus scolaire que ce qui est proposé ici …

AMHA je préfère un exercice moins appliqué que ce que tu proposes. La question que tu donnes permet pas grand chose derrière, alors que l'exercice proposé ici permet d'étendre ce genre de réflexion à d'autres cas de figures (dont certains sont mis en exemple).

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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C'est d'autant plus scolaire que ce qui est proposé ici …

AMHA je préfère un exercice moins appliqué que ce que tu proposes. La question que tu donnes permet pas grand chose derrière, alors que l'exercice proposé ici permet d'étendre ce genre de réflexion à d'autres cas de figures (dont certains sont mis en exemple).

Quand tu abordes BAC+2 oui. Au lycée, c'est clairement pas trivial et ca peut aller contre l'intuition de beaucoup de gens alors que ca peut clairement être explique a des lycéens (et ce n’était qu'un exemple)

Édité par Davidbrcz

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Staff

Beaucoup de sujets intéressants peuvent être abordés par des lycéens. Une introduction à la topologie est assez simple à faire et on peut rapidement arriver à de jolies choses par exemple.

Si c'est pour en finir à parler du nombre d'or, non merci. On a le droit à cette bêtise beaucoup trop alors que c'est insignifiant par rapport au temps consacré.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

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Beaucoup de sujets intéressants peuvent être abordés par des lycéens. Une introduction à la topologie est assez simple à faire et on peut rapidement arriver à de jolies choses par exemple.

Ah mais je ne demande qu'a voir =)

Si c'est pour en finir à parler du nombre d'or, non merci. On a le droit à cette bêtise beaucoup trop alors que c'est insignifiant par rapport au temps consacré.

Toutafe d'accord

Édité par Davidbrcz

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Bonjour Hod, Je vais proposer une solution dont je ne connais pas la véracité.

En premier lieu, on peut remarquer que pour tout p et x supérieurs à 1, on a |fx|_p = |f|_px x. On va forcer l'application de l'inégalité de Holder. Soit p et q tel que p<q. En particulier on a 1/q < 1/p On définit r tel que l'on a 1/q + 1/r = 1/p. Maintenant, on multiplie par p. Et on obtient p/q + p/r = 1. On peut alors utiliser Holder. Néanmoins, p/r nous gêne mais on peut le faire disparaite en le mettant dans l'évaluation de l'Identité. De fait, on a

|f| < |f|_p/q

|fq| < |fq|_p/q

|f|_q q < |f|_p q

On obtient alors quelque chose. Mais ce n'est pas ce qui est voulu !

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Je trouve ça passionnant,

Le sujet prouve que tu es bien seul sur ce point

Je ne suis pas d'accord avec toi. L'absence de réponses ne veut pas dire que c'est le seul à trouver cela intéressant, mais seulement qu'il est le seul à poster (pour le moment) à ce sujet.

Bref, rendre ca plus ludique, moins aride, plus accessible de sorte que même si tu saches pas faire l'exo, tu ais appris un truc (une notion, un contre exemple,…)

Je ne sais pas si le but est l'accessibilité. Le but est, je pense, de parler de maths et de faire des exercices rigolos et pas si compliqués (niveau dernière lycée / première année uni) pour des gens qui ont perdu de vue les maths, mais qui aiment ça quand même. Rigolo, ça l'est! Mais faut aimer les maths, c'est sûr.

Pour revenir sur le sujet : plouf. J'ai tenté une approche vite faite, mais ça n'a pas donné grand chose. (Pas généralisable.)

Soit f(x) = $x^{2}$, t $\in \mathbb{N} - \{0\}$. Alors $\int_0^1 \! f(x)^{t} \, \mathrm{d}x = \left. \frac{x^{2t+1}}{2t+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2t+1}.$

Donc, comme p < q, on a $\sqrt[p]{\frac{1}{2p+1}}$ < $\sqrt[q]{\frac{1}{2q+1}}$.

Maintenant, il faudrait montrer ce résultat pour tout f in E. Mmmh. Un indice pour un gars qui n'a plus fait de maths depuis longtemps?

D.W. "All problems in CS can be solved by another level of indirection" K.H. "…except for the problem of too many layers of indirection."

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Je ne suis pas d'accord avec toi. L'absence de réponses ne veut pas dire que c'est le seul à trouver cela intéressant, mais seulement qu'il est le seul à poster (pour le moment) à ce sujet.

Le but n'est pas de basher Hod et sa bonne volonté que je salue mais de critiquer pour qu'il ait plus de succès a l'avenir.

Mais il faut bien avouer que les 2 premiers messages montrent un certain d'esprit face aux exos d'Hod (:o non pas encore, oui ca marche toujours pas).

De plus, quand un tel sujet intéresse quelqu'un (surtout dans un petit forum comme ZDS), on peut attendre a ce qu'il se manifeste. Donc, oui j’interprète (peut être a tord) l'absence de messages comme un désintéressement sur ce sujet [1]

Je ne sais pas si le but est l'accessibilité. Le but est, je pense, de parler de maths et de faire des exercices rigolos et pas si compliqués (niveau dernière lycée / première année uni) pour des gens qui ont perdu de vue les maths, mais qui aiment ça quand même. Rigolo, ça l'est! Mais faut aimer les maths, c'est sûr.

C'est vrai que c'est vachement accessible comme exo au lycée ca quand les notions abordées sont bac+3… Cet exo (oriente schémas numériques, avec en prime le même exo qu'ici !), a connu un échec assez similaire sur PDP. alors que ces exo (1 et 2) mi maths-mi infos ont eu un peu plus de succès. Peut être faudrait il renouveler l’expérience d'exo mixtes maths/info.


1 : je reconnais que mon argumentation peut être contre balancée justement par la jeunesse de ZDS qui n'a pas atteint une certaine masse critique pour avoir assez de participants potentiellement intéressé, d’où une certaine léthargie possible. Mais je n'y adhère pas et persiste a croire qu'un tel sujet ne branche personne ou du moins pas beaucoup beaucoup de monde.

Édité par Davidbrcz

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Auteur du sujet

Bonjour Hod, Je vais proposer une solution dont je ne connais pas la véracité.

En premier lieu, on peut remarquer que pour tout p et x supérieurs à 1, on a $|f^x|_p = |f|_px ^x$.

fuijiy

Je ne comprends pas bien tes notations mais c'est faux de toute manière.

Attention à ne pas confondre la valeur absolue de la fonction, en un point donné $x$, que l'on note $|f(x)|$ et qui définit une norme sur $\mathbb{R}$, et la norme d'une fonction que l'on note $||f||$ qui cette fois va être une norme sur un espace de fonction (la valeur de la norme d'une fonction ne change pas en fonction de l'évaluation d'une fonction en un point, seul la définition de la fonction importe).

En l'occurrence, lorsque l'on parle de la norme $p$ de $f$, fonction continue de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$, on parle de : $||f||_p = (\int_0^1 f(x)^pdx)^{\frac 1 p}$.

Sinon, tu peux utiliser $\LaTeX$ en entre \$ tes équations. Cela sera beaucoup plus lisible. Aussi, pour écrire une fraction, on utilise \frac{}{}.

On va forcer l'application de l'inégalité de Holder. Soit p et q tel que $p<q$. En particulier on a $1/q < 1/p$ On définit r tel que l'on a $1/q + 1/r = 1/p$. Maintenant, on multiplie par p. Et on obtient $p/q + p/r = 1$.

C'est la bonne idée à avoir. Il s'agit d'appliquer Hölder en remarquant que $\int_0^1 f(x)^pdx = \int_0^1f(x)^pg(x)^{u}dx$ avec $g(x) = 1$ et $u$ que je vous laisse déterminer à partir de la relation de conjugaison.

On peut alors utiliser Holder. Néanmoins, p/r nous gêne mais on peut le faire disparaite en le mettant dans l'évaluation de l'Identité. De fait, on a

$|f| < |f|_p/q$

$|f^q| < |f^q|_p/q$

$|f|_q ^q < |f|_p ^q$

On obtient alors quelque chose. Mais ce n'est pas ce qui est voulu !

fuijiy

C'est faux malgré la bonne idée. Tu as du te tromper dans les calculs que tu devrais détailler.

Pour revenir sur le sujet : plouf. J'ai tenté une approche vite faite, mais ça n'a pas donné grand chose. (Pas généralisable.)

Soit f(x) = $x^{2}$, t $\in \mathbb{N} - \{0\}$. Alors $\int_0^1 \! f(x)^{t} \, \mathrm{d}x = \left. \frac{x^{2t+1}}{2t+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2t+1}.$

Donc, comme p < q, on a $\sqrt[p]{\frac{1}{2p+1}}$ < $\sqrt[q]{\frac{1}{2q+1}}$.

Maintenant, il faudrait montrer ce résultat pour tout f in E. Mmmh. Un indice pour un gars qui n'a plus fait de maths depuis longtemps?

Tom Tenv

La bonne idée a été trouvé (cf. un peu plus haut dans mon message). Il suffit donc d'appliquer Hölder et de poursuivre avec une ou deux lignes de calculs basiques.

Pour la seconde question, il s'agit de trouver une suite de fonctions de $C[0,1]$ tel que la suite converge pour la norme $p$ mais diverge pour une norme $q$. Il s'agit donc d'un contre-exemple montrant que les normes ne sont pas équivalentes.

C'est vrai que c'est vachement accessible comme exo au lycée ca quand les notions abordées sont bac+3… Cet exo (oriente schémas numériques, avec en prime le même exo qu'ici !), a connu un échec assez similaire sur PDP. alors que ces exo (1 et 2) mi maths-mi infos ont eu un peu plus de succès. Peut être faudrait il renouveler l’expérience d'exo mixtes maths/info.

Je n'ai jamais clamé que cela était accessible à un élève du lycée. Par contre, le soucis que je vois dans ton argumentaire, c'est que les deux exemples que cites en les qualifiant de « mi-maths, mi-info » ne sont pas à mon sens « mi-maths mi-info » mais totalement « info » (si ce n'est la question supplémentaire de l'exercice de combinatoire). Sauf que cette question était tellement basique qu'elle est tombée sans recherche, sans démonstration, en moins de 1h. Est-ce que c'est ce que l'on attend d'un exercice en règle générale ?

Édité par KFC

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Bonjour Hod,

J'ai modifié le brouillon que j'ai fait (tu es vachement rapide !)…

En premier lieu, on peut remarquer que pour tout $p$ et $x$ supérieurs à $1$, on a $||f^x||_p = ||f||_{px} ^x$. On va forcer l'application de l'inégalité de Holder. Soit p et q tel que p<q. En particulier on a $1/q < 1/p$ On définit r tel que l'on a $1/q + 1/r = 1/p$. Maintenant, on multiplie par $p$. Et on obtient $p/q + p/r = 1$. On peut alors utiliser Holder. Néanmoins, $p/r$ nous gêne mais on peut le faire disparaite en le mettant dans l'évaluation de la fonction constante égal à 1. De fait, on a

$||f|| < ||f||_{q/p}$

$||f^p|| < ||f^p||_{q/p}$

$||f||_p ^p < ||f||_q ^p$

Par stricte croissance de la fonction racine p-ieme, on a l'énoncé.

Pour rentrer dans la polémique, cet exo est instructif mais il demande des trucs méga-balèses genre intégrale de Lebesgue (et co), et de la topologie, des trucs de tarés quoi ! En plus, l'inégalité d'Holder est admise. C'est peut-être un classique mais même en ayant fait l'exo, je sens que je n'ai pas fait grand chose au sens où comprendre déjà les prérequis théoriques à cet exo est dix mille fois difficile par rapport au fait de comprendre que la dimension infinie brise l'équivalence des normes. Hod, tu mets la barre assez hautes pour moi en tous cas ! Mais l'échange de l'exo, c'est sympa !

Merci

Édité par fuijiy

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Auteur du sujet

Salut,

Je vais essayer de rendre cette réponse aussi complète et intéressante que possible.

En premier lieu, on peut remarquer que pour tout $p$ et $x$ supérieurs à $1$, on a $||f^x||_p = ||f||_{px} ^x$.

Si cela est vrai, cela n'est pas très intéressant (à ma connaissance).

Cela me fait penser par contre à quelque chose d'intéressant qui est l'égalité suivante : $$||f^n|| \leq ||f||^n$$

Mais attention, quand on écrit $f^n$, on parle ici de la composition $n$-fois de la fonction $f$ qui permet de donner une premier approximation de la norme d'une composition d'opérateurs.

Dans l'exercice, on parle d'espace de fonction qui prennent comme argument des points de $[0,1]$ et redonne une valeur dans $\mathbb{R}$. $C[0,1]$ est un espace fonctionnel, très intéressant, mais on peut faire encore plus sympathique. On note $\mathcal{L}_c(E,F)$ les formes linéaires continues de $E$ dans $F$ et l'on peut prendre par exemple $E=F=C[0,1]$ (et on notera $\mathcal{L}(E)$).

On peut alors définir quelque chose comme :

$$\begin{array}{r r c l} T : & C[0,1] & \to & C[0,1] \\ & f & \mapsto & Tf \end{array}$$

Avec $Tf(x) = \int_0^x k(x,y)f(y)dy$, pour un $k : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$.

On appelle $k$ le noyau de l'opérateur $T$ et l'on parle plus généralement des opérateurs qui ont cette forme comme des opérateurs à noyau. Il faut bien comprendre ce qui se passe : $T$ fait correspondre à une fonction $f$ non pas une valeur « scalaire » ou « vectorielle » mais une autre fonction (ici dans le même espace que celui de départ). Les « points » de notre espace d'arrivé et de départ pour notre opérateur $T$ sont des « fonctions ».

L'étude de ces espaces est d'autant plus intéressante qu'au lieu d'associer une bête valeur statique en fonction des paramètres que l'on reçoit, elle renvoie un objet dynamique qui peut lui même agir et possède ses propres propriétés.

Une application très intéressante de l'étude de ces espaces est la résolution d'équation différentielle fonctionnelle de manière très rapide et facile. L'autre grande idée derrière ces espaces et l'unification de certaines transformations comme la convolution, transformée de Legendre, de Laplace, de Fourier, etc. En effet, dans ce dernier cas, il suffit de remarquer que la transformée de Fourier n'est que la définition de $T$ (mais sur $L^2$ ou $L^1$ au lieu de $C[0,1]$) avec un noyau $k(x,y) = e^{-2i \pi xy}$.

Et du coup, quel est le rapport avec l'inégalité donné plus haut ?

Et bien on peut munir $\mathcal{L}_c(C[0,1])$ d'une norme : $$\forall T\in \mathcal{L}_c(C[0,1]), ||T|| = min \{c>0; ||Tf|| \leq c||f||\}$$.

La définition est tout de même incomplète ou plutôt imprécise : qu'est-ce que $||Tf||$ et $||f||$. Il s'agit évidemment d'une norme sur $C[0,1]$, que l'on se fixe selon l'étude, le problème ou nos envies. Usuellement on choisit la norme uniforme (c'est à dire $||f||_u = \underset{x\in [0,1]}sup(f(x))$) ou une norme induite par un produit scalaire quelconque, par exemple la norme usuelle de $L^1$ (c'est à dire $||f||_1 = \int_0^1 f(x)^2dx$). Et donc évidemment, même dans le cas où ces normes sont équivalentes, la norme de $||T||$ va être modifiée.

Mais quelle est l'interprétation de la norme de $||T||$ ? C'est très simple !

On rappelle que si $g$ est une fonction continue, alors on a la caractérisation suivante :

$$\exists c > 0,~ ||g|| \leq c||x||$$

En d'autres termes, la norme de notre fonction est contrôlée par la norme de son paramètre (et dans une certaine mesure, selon la norme, la fonction $g$ est contrôlé par son paramètre).

Ainsi, la norme de $T$ correspond à la plus petite valeur de $c$ qui rende $Tf$ continue, pour tout $f$.

En pratique, déterminer $||T||$ n'est pas très souvent faisable et dépend grandement de la forme du noyau. En général, on estime cette valeur en donnant un encadrement. On s'interroge souvent sur la norme de l'itéré d'une opérateur, i.e. $||T^n||$, auquel cas on peut commencer par $||T^n|| \leq ||T||^n$, dont l'égalité n'est vérifié que si $T$ est un opérateur unitaire.

On va forcer l'application de l'inégalité de Holder. Soit p et q tel que p<q. En particulier on a $1/q < 1/p$ On définit r tel que l'on a $1/q + 1/r = 1/p$. Maintenant, on multiplie par $p$. Et on obtient $p/q + p/r = 1$. On peut alors utiliser Holder. Néanmoins, $p/r$ nous gêne mais on peut le faire disparaite en le mettant dans l'évaluation de la fonction constante égal à 1. De fait, on a

$||f|| < ||f||_{q/p}$

$||f^p|| < ||f^p||_{q/p}$

$||f||_p ^p < ||f||_q ^p$

Par stricte croissance de la fonction racine p-ieme, on a l'énoncé.

Voici ma correction détaillée et dans un espace plus général que $C[0,1]$ qu'est un espace mesuré $(X,B,\mu)$ (avec $B$ les parties mesurables de $X$ et $\mu$ la mesure sur $X$).

On remarque que $\int_X f^p d\mu = \int_X f^p 1$. On note $r$ le conjugé de $\frac p q$ et l'on obtient d'après l'égalité de conjugaison $r = \frac{q}{q - p}$.

En appliquant Hölder à $\int_X f^p d\mu$, on obtient :

$$\int_0^1 f^p d\mu \leq ||1||_r ||f^p||_{\frac q p}$$

Il reste à expliciter $||1||_r$ et $||f^p||_{\frac q p}$.

$$||1||_r = (\int_X 1^r d\mu)^{\frac 1 r} = \mu(X)^{\frac 1 r} = \mu(X)^{1-\frac p q}$$

$$||f^p||_{\frac q p} = (\int_X (f^p)^{\frac p q} d\mu)^{\frac p q} = (\int_X f^q d\mu)^{\frac p q}$$

Et donc, $\int_0^1 f^p d\mu \leq \mu(X)^{1-\frac p q} (\int_X f^q d\mu)^{\frac p q}$.

En passant à la puissance $\frac 1 p$-ième, on obtient le résultat :

$$||f||_p \leq \mu(X)^{\frac 1 p-\frac 1 q} ||f||_q$$

Evidemment, cela n'a un intérêt que si $\mu(X)^{\frac 1 p-\frac 1 q} < +\infty$, ce qui est le cas sur $[0,1]$ avec la mesure usuelle de Lebesgue, auquel cas $\mu(X) = 1$.

Pour le contre-exemple afin de montrer que les normes ne sont pas équivalentes, je donne juste la suite à considérer et je vous encourage à rédiger pour vous en apercevoir vous même : $f_n(x) = a_nx^n,~ a_n > 0$. Il faudra évidemment déterminer les $a_n$ de manière à ce que cela marche.

Il suffit d'écrire la norme $p$ et $q$ de $f_n$ (simplifier un peu avec des équivalents si on ne veut pas s'embêter) et trouver des valeurs de $a_n$ telles que la norme $p$ converge et la norme $q$ de $f_n$ diverge.

En quoi est-ce important ? C'est important en terme de difficulté. En dimension finie, les normes sont toutes équivalentes, ce qui signifie que si l'on a convergence d'une fonction pour une norme, on a également la convergence pour n'importe quelle autre norme. En pratique, il suffit donc de prendre la norme qui nous arrange en fonction du problème pour obtenir des résultats de convergence et autres propriétés qui peuvent en découler.

En dimension infinie, ce n'est pas le cas et on observe de problèmes d'existences ou de propriétés qui dépendent entièrement de la norme considérée. Dans des domaines aussi appliqué que l'optimisation, l'existence d'un minimum n'est plus aussi certain à cause d'un phénomène de « fuite à l'infini » qui dépend de la norme utilisée, etc.

Pour rentrer dans la polémique, cet exo est instructif mais il demande des trucs méga-balèses genre intégrale de Lebesgue (et co), et de la topologie, des trucs de tarés quoi ! En plus, l'inégalité d'Holder est admise. C'est peut-être un classique mais même en ayant fait l'exo, je sens que je n'ai pas fait grand chose au sens où comprendre déjà les prérequis théoriques à cet exo est dix mille fois difficile par rapport au fait de comprendre que la dimension infinie brise l'équivalence des normes. Hod, tu mets la barre assez hautes pour moi en tous cas ! Mais l'échange de l'exo, c'est sympa !

Merci

fuijiy

Je ne suis pas d'accord avec toi. D'une part, il ne demande pas de connaitre les intégrales de Lebesgue car j'ai fait exprès de me placer dans un espace de fonction continue donc mesurée et donc intégrable, à la fois chez Lebesgue comme chez Riemann, même si je me suis fais plaisir à généraliser aux espaces simplement mesurables dans ma correction. Le second point est que l'intégrale de Lebesgue n'est pas un truc « mega-balèze ». Cela simplifie la vie au niveau des applications, c'est beaucoup moins bourrin et bancal que la théorie de l'intégration de Riemann qui est un outil archaïque dépassé et qu'on ne devrait plus enseigner (parce qu'on a besoin de presque rien comme pré-requis supplémentaire, que l'intégration de Lebesgue englobe celle de Riemann et que en pratique il faut connaitre 3 choses : théorème de la convergence dominée, lemme de Fatou et théorème de convergence monotone).

La seule difficulté et c'est probablement de ma faute, c'est que je n'ai pas explicité des notations qui me paraissent vraiment usuelles, notamment sur la définition des normes (quoique j'ai donné la principale, celle dont notre $E$ est muni).

Autrement, regarde la correction que je donne : à partir manipuler des puissances pour me ramener à la définition de la norme donné par l'énoncé, je ne fais rien. :)

Édité par KFC

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