Mon raisonnement est-il valable (arithmétique)?

Salut les filles (et les garçons)!

Il y a des fois en math, où on conjecture, on trouve un truc qui semble valable mais on ne sait pas vraiment si le raisonnement suit. C'est un peu le cas aujourd'hui…

Voici l'énoncé : On a $(a,b) \in \mathbb N^2$ avec $a > b > 0$ et $d = a - b$, comparer les restes et les quotients obtenus dans les divisions euclidienne de a et b par d.

On rappelle la définition de la division euclidienne de deux naturels a et b :

$\forall (a,b) \in \mathbb N \times \mathbb N^*, \exists ! (q,r) \in \mathbb N^2, a = bq + r, b > r$.

On a donc $a = dq_0 + r_0$ et $b = dq_1 + r_1$. Comme $d = a - b$, on a $b = a - d \Leftrightarrow b = dq_0 + r_0 - d$ avec $0 \leq r_0 - d < d$.

Or, ce n'est pas une division euclidienne car comme $r_0 < d$ dans $a = dq_0 + r_0$, $r_0 - d < 0$. Donc on diminue le quotient et on augmente le reste, ainsi :

$b = d (q_0 - 1) + r_0$ puisque $0 \leq r_0 < d$.

De ce fait, $q_1 = q_0 - 1$ donc $q_1 < q_0$ et $r_0 = r_1$.

En fait, je trouve le passage "Donc on diminue le quotient et on augmente le reste (…)" un peu bancal, y a t-il d'autres moyens de résoudre ce problème?

Merci.

Ah oui, de la même manière, si $b = dq_0 + r_0 - d$ alors $b = d(q_0 - 1) + r_0$ donc c'est bon en fait.

Un bien facile exercice, finalement!

Je ré-ouvre le sujet, il y a un exercice qui me semble trop simple en effet, vous pouvez m'indiquer svp?

Est-ce que la somme des quotients dans les divisions euclidiennes de deux naturels a et b par c (avec a > c et b > c) est égal au quotient dans la division euclidienne de a+b par c?

Si on considère $a = cq_0 + r_0$ et $b = cq_1 + r_1$ alors on a $a + b = cq_0 + r_0 + cq_1 + r_1 = c (q_0 + q_1) + r_0 + r_1$ si $0 \leq r_0 + r_1 < c$.

La seule subtilité est là, et tu l'as trouvé.

T'as une bonne piste pour un contre-exemple, il faut que la somme des restes soit plus grande que $c$.

Prends par exemple $a = 7,b=7$ et $c = 4$. On a $a/c=b/c=1$ et $(a+b)/c = 3$.

edit : grillé par un corbeau

Oki daqui (ça ne s'écrit certainement pas comme cela, mais est-ce que ça s'écrit en dehors d'une BD des Simpsons, en fait?), je vous remercie pour votre attention!

En généralisant avec n entiers naturels (où le dernier terme joue le rôle du diviseur), peut-on dire que :

$\sum_{i = 0}^{n-1} a_i = a_n (\sum_{i = 0}^{n-1} q_i) + \sum_{i = 0}^{n-1} r_i$ si $0 \leq \sum_{i = 0}^{n-1} r_i < a_n$ ?

Non justement, pourquoi veux-tu généraliser un truc faux ? Je pense que tu as quelque chose de juste derrière la tête, mais c'est pas ce que tu as écrit. Il y a bien un lien entre la somme des restes et le reste de la somme.

(tu t'es trompé de 1 dans les indices, il y a n entiers entre 0 et n-1)

Non justement, pourquoi veux-tu généraliser un truc faux ?

Il a explicitement écrit la condition, somme des restes inférieure au diviseur, sous laquelle c'est juste.

Ozmox, deux petites erreurs, de copie je pense :

• si tu commences à 0, et que tu as n éléments, il faut s’arrêter au n-1ième ;
• tu as mis a_n au lieu de c.

@Gabbro: Ok, j'ai lu son « avec » comme un « et » et pas comme un « si » ou « dès que ». Concernant le c et le a_n, j'ai l'impression que le a_n joue le rôle du diviseur justement, il est dans $\mathbb{N}^*$.

J'ai écrit dans mon avant-dernier post "si".

Oui, a_n joue le rôle du diviseur.

Il semble que blo yhg n'est pas été d'accord avec ma réponse à la deuxième question, que ce passe t-il alors?

Il semble que blo yhg n'est pas été d'accord avec ma réponse à la deuxième question, que ce passe t-il alors?

Si si, je me suis trompé en lisant. Désolé.

Ok, alors du coup on a de 0 à n-1 dividendes, et le dernier terme $a_n$ est le diviseur (ce qui fait bien n éléments)? Ou alors il faut revoir la chose?

Non non, comme ça, c'est bon.

D'accord, blo ygh m'a très sympathiquement proposé une correction. Je tacherais d'être plus rigoureux la prochaine fois.

J'ai édité le post.

Voici ce que j'avais dit à Ozmox par mp.

Tiens, elegance te dit la même chose que moi : « on comprend » ce que tu veux dire (ou pas, ou mal…), mais en tout cas c'est rédigé de manière bizarre ! C'est pas juste une question de rigueur pour la rigueur. Et puis faire les choses dans les détails ne s'oppose pas du tout à l'intuition, ce sont deux aspects complémentaires et nécessaires des maths [qui se nourrissent l'un l'autre]. Pour te faire une comparaison, c'est un peu comme si tu écrivais en SMS, que tu oubliais des points, etc.

D'ailleurs c'est pour ça que j'avais mal compris ton message.

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Voici ce que ça donne si on écrit bien ton message :

Soit $c \in \mathbb{N}^*$ et $(a_1,\cdots,a_n) \in \mathbb{N}^n$. Pour tout $i$ entre $1$ et $n$, soit $q_i$ et $r_i$ respectivement les quotient et reste de la division euclidienne de $a_i$ par $c$. Si $\sum_{i=1}^n r_i < c$, alors le reste de la division euclidienne de $\sum_{i=1}^n a_i$ par $c$ est $\sum_{i=1}^n r_i$.

Si on reformule, tes hypothèses sont

• pour tout $i$ entre $1$ et $n$, on a $a_i = cq_i + r_i$ avec $0 \leq r_i < b$ et
• $0 \leq \sum_{i=1}^n r_i < c$.

Ta conclusion est

• $\sum_{i=1}^n a_i = c\sum_{i=1}^n q_i + \sum_{i=1}^n r_i$ et
• $0 \leq \sum_{i=1}^n r_i < c$.

La première conclusion est simplement la somme de la première hypothèse sur $i$. La deuxième conclusion est la deuxième hypothèse.

Avec ton edit, ton message n'est plus ambigu mais alors, comme le dit elegance, la condition qui suit ton « si » ne sert à rien pour ta conclusion (comme expliqué dans mon mp). Pour que ta propriété soit intéressante, il faut la formuler avec le mot « reste » sans revenir à sa définition (et justement, pour la prouver, tu reviens à la définition).

Merci Blo yhg… on est aligné. @Ozmox. Tu as édité ton message d'hier 20h01… mais la dernière formulation n'est pas franchement mieux. En tout cas, je ne vois pas la différence. Bon, il s'agit d'une question, et par définition, une question n'est pas une affirmation.

Normalement, à ce niveau là de la discussion, on devrait voir apparaître le mot 'modulo'.

Je vous remercie pour vos conseils. Dans ce cas, comment devrais-je être plus rigoureux en maths? De nos discussions, blo yhg me le reproche souvent. Après, je me rappelle avoir écris quelques preuves de manière concise quand même.

Je reformule, mais s'il y a des problèmes, s'il-vous-plaît indiquez moi avec précision ce qui ne va pas. @blo yhg, je pense que tu as inséré un 'b' au lieu du diviseur c dans $0 \leq r_i < c$ ou alors je ne sais pas d'où il sort…

Soit $c \in \mathbb N^*$ et $(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \mathbb N^n$. Soit un naturel i qui se trouve entre 1 et n.

On effectue plusieurs divisions euclidiennes de $a_i$ par c. Nous avons ainsi : $a_i = cq_i + r_i$ avec $q_i$ et $r_i$ les quotients et restes de la division euclidienne de $a_i$ par c. Donc $0 \leq r_i < c$.

Si $\sum_{i=1}^n r_i < c$, $\sum_{i=1}^{n} a_i = (cq_1 + r_1) + (cq_2 + r_2) + \dots (cq_n + r_n) = c (\sum_{i=1}^{n} q_i) + \sum_{i=1}^{n} r_i$.

Donc $(\sum_{i=1}^{n} a_i) \equiv (\sum_{i=1}^{n} r_i) [c]$.