@blo yhg, je pense que tu as inséré un 'b' au lieu du diviseur c dans $0 \leq r_i < c$ ou alors je ne sais pas d'où il sort…
En effet.
T'as encore des trucs rédigés bizarrement.
Soit le naturel i qui se trouve entre 1 et n.
« le » ?
On effectue les divisions euclidiennes successives de $a_i$ par c.
Successives ? Ça voudrait éventuellement dire que tu décomposes ai en base c, pas que tu fais la division pour chaque i. Tu as fixé un indice i, alors que tu veux faire quelque chose pour chaque i.
Bah oui, en fait c'était juste la question que je me posais au début, elle est logique. Donc pourquoi en faire une preuve concrète? Peut-être n'ais-je pas était clair dans ce que j'ai voulu dire : dites-moi, je ne comprends pas!
Je ne sais pas trop ce que tu veux prouver. « Preuve concrète » ? Tu peux prouver ce que dit Holosmos, mais ce n'est pas exactement ce que tu avais écrit au-dessus. Tu avais écrit que le reste de la somme est la somme des restes, sous une certaine condition. Ici tu changes et tu prouves que la somme est congrue à la somme des restes, ou encore, en reformulant, que le reste de la somme est le reste de la somme des restes ((a+b)%c = (a%c + b%c)%c contre (a+b)%c = a%c + b%c).
Si $\sum_{i=1}^n r_i < c$, $\sum_{i=1}^{n} a_i = (cq_1 + r_1) + (cq_2 + r_2) + \dots (cq_n + r_n) = c (\sum_{i=1}^{n} q_i) + \sum_{i=1}^{n} r_i$.
Reprenons.
- Définition. On dit que $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $c$ si $a \equiv r \mod c$ et que $0 \leq r < c$.
- Propriété. Si pour tout $i$, $a_i \equiv r_i \mod c$, alors $\sum_i a_i \equiv \sum_i r_i \mod c$.
Si on suppose que les $r_i$ sont les restes des $a_i$, la propriété nous dit que leur somme est congrue à la somme des $a_i$. Ton hypothèse que $0 \leq \sum_i r_i < c$ permet alors de dire, d'après la définition, que $\sum_i r_i$ est le reste de $\sum_i a_i$ dans la division euclidienne par $c$ (et pas seulement congru).
).
). Mais tu as raison.