Jusqu'où réduire/développer une dérivée?

Bonjour,

Une minuscule question en math :

Soit f définie et dérivable sur $\mathbb R$. Si $f(x) = e^{x^2+x}$ alors on note plutôt (sauf erreur de ma part) $\dfrac{df}{dx} = (2x+1)e^{x²+x}$ ou on simplifie de la sorte : $\dfrac{df}{dx} = e^{x^2+x} + 2x e^{x^2+x}$? Je ne pense pas que ce développement influe le domaine de définition de f.

Merci d'avance.

Coucou,

Ça veut dire quoi pour toi « simplifier » ? Perso quand je parle de simplifier, c'est lorsqu'on a une fraction et qu'on supprime tous les diviseurs communs du numérateur et dénominateur.

Pour ta fonction, je vois pas en quoi la deuxième version est simplifiée, je dirais que tu as juste effectué la forme factorisée.

Je m'exprime mal, je parle de réduire ou bien développer une expression!

D'accord, donc il faut réduire selon la manière la plus simple d'étudier la dérivée, ce qui semble logique.

Je n'arrive pas à calculer la dérivée de la fonction f définie et dérivable sur $\mathbb R$ avec $f(x) = \dfrac{1-e^{-2x}}{1+e^{2x}}$… Il se fait trop tard, je pense.

Déjà, $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{2e^{-2x}(1+e^{2x}) - 2e^{-2x}(1-e^{-2x})}{(1+e^{2x})^2}$. Y a t-il un truc qui ne va pas? Devrais-je ensuite factoriser avec $2e^{-2x}$?

et si besoin explicite (et je n'ai pas de cas typique qui me vient à l'esprit), on développe

Je vois deux cas possibles. Soit on doit rentrer l'expression de la dérivée dans un code et on est dans un cas où la forme développée est plus stable numériquement, soit on est dans un cas où l'expression développée est plus facilement tractable pour d'autres calculs analytiques.

EDIT: je vois au moins une erreur de signe dans ta dérivée.

Quel idiot, on ne peut pas factoriser! Vu que c'est $2e^{2x}$ le second facteur. Du coup, le reste de la dérivée doit se calculer assez facilement.

Mon ancien prof de math a toujours dit de ne jamais développé au dénominateur lorsque l'on dérive un quotient. Pourquoi en fait? Cela change l'ensemble de définition de la fonction?

Quel idiot, on ne peut pas factoriser! Vu que c'est $2e^{2x}$ le second facteur. Du coup, le reste de la dérivée doit se calculer assez facilement.

Ça ne t'empêche pas de factoriser cela dit, c'est juste que l'utilité est fortement amoindrie.

Développer ne change pas l'ensemble de définition. Par contre, on étudie souvent le signe de la dérivée. Or, pour peu que tu étudies des fonctions à valeurs réelles, garder le dénominateur sous forme d'un carré permet d'en connaître le signe très facilement. Par exemple, le signe de $(x-1)^2$ est évident au premier coup d'œil. Celui de $x^2-2x+1$, un peu moins si tu ne vois pas l'identité remarquable.

C'est pas très cool de casser le suspense comme ça…

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Arg! Oui. C'est pas grave, y'en aura d'autres.

En réfléchissant un peu, j'aboutis à $\dfrac{df}{dx} = \dfrac{2e^{-2x}(1+e^{2x}) - 2e^{2x}(1-e^{-2x})}{(1+e^{2x})^2} = \dfrac{2e^{-2x} - 2e^{2x} + 4}{(1+e^{2x})^2}$.

Je n'arrive pas à voir l'identité remarquable au numérateur.

EDIT : J'ai oublié un terme.

Tu as perdu un terme en route au numérateur.

C'est édité. Je vois toujours pas… Après je vais prendre le temps de réfléchir mais là, je suis fatigué.

Tu y veras peut-être mieux en multipliant le tout par $\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}}$.

C'est édité. Je vois toujours pas…

Pense que $e^{2x}=(e^x)^2$.

J'ai toujours du mal à trouver, même avec vos conseils. Finalement, la forme suivante ne suffit-elle pas?

$\dfrac{df}{dx} = \dfrac{2e^{-2x} - 2e^{2x} + 4}{(1+e^{2x})^2}$

C'est exactement celle que j'obtient avec deux logiciels : géogebra et xcas.

A vrai dire je ne vois pas d'identité remarquable non plus dans cette forme. Il est toujours possible de factoriser un peu, mais ça ne nous avance pas beaucoup :

$\dfrac{2e^{-2x} - 2e^{2x} + 4}{(1+e^{2x})^2}\cdot \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}}=\dfrac{-2e^{4x}+4e^{2x}+2}{(e^{2x}+1)^2\cdot e^{2x}}=\dfrac{(e^{2x}-1+\sqrt{2})(e^{2x}-1-\sqrt{2})}{(e^{2x}+1)^2\cdot e^{2x}}$