Jusqu'où réduire/développer une dérivée?

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

A vrai dire je ne vois pas d'identité remarquable non plus dans cette forme. Il est toujours possible de factoriser un peu, mais ça ne nous avance pas beaucoup :

$\dfrac{2e^{-2x} - 2e^{2x} + 4}{(1+e^{2x})^2}\cdot \dfrac{e^{2x}}{e^{2x}}=\dfrac{-2e^{4x}+4e^{2x}+2}{(e^{2x}+1)^2\cdot e^{2x}}=\dfrac{(e^{2x}-1+\sqrt{2})(e^{2x}-1-\sqrt{2})}{(e^{2x}+1)^2\cdot e^{2x}}$

+1 -0

mais ça ne nous avance pas beaucoup

Si tu cherches les 0, ce sera nettement plus facile comme ça. ;)

(Je ne vois pas non plus d'identité remarquable. Je suis déçu, de loin, j'aurais dit…)

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De manière similaire à $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$, le cosinus hyperbolique est définit comme $\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ (et de façon similaire pour les sinus). Je suis en train de penser que tu es encore au lycée si je me trompe pas, donc tu n'as probablement pas encore vu tout ça, en fait… Désolé.

Hum, je ne savais pas qu'on pouvait aboutir à des fonctions trigonométriques, tu peux expliquer?

Ozmox

Tout simplement en partant des définitions des sinus et cosinus hyperboliques :)

$\sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$ et $\sinh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$

Petit moyen mémo-technique que j'utilise: le cosinus est la "corde" (cf. graphe) ce qui correspond à la moyenne des deux exponentielles. Voir ici pour plus d'infos.

Edit: Trop tard :p

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