A vrai dire je ne vois pas d'identité remarquable non plus dans cette forme. Il est toujours possible de factoriser un peu, mais ça ne nous avance pas beaucoup :
Je pensais à $e^{-2x}-e^{2x}=(e^{-x}+e^x)(e^{-x}-e^x)$ permettant d'aboutir à $4(1-2\sinh(x)\cosh(x))$ au numérateur, mais en fait c'est idiot parce que $4(1-\sinh(2x))$ est plus simple à étudier de tout façon…
De manière similaire à $\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$, le cosinus hyperbolique est définit comme $\cosh x=\dfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}$ (et de façon similaire pour les sinus). Je suis en train de penser que tu es encore au lycée si je me trompe pas, donc tu n'as probablement pas encore vu tout ça, en fait… Désolé.
Tout simplement en partant des définitions des sinus et cosinus hyperboliques
$\sinh x = \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{2}$ et $\sinh x = \frac{{{e^x} + {e^{ - x}}}}{2}$
Petit moyen mémo-technique que j'utilise: le cosinus est la "corde" (cf. graphe) ce qui correspond à la moyenne des deux exponentielles.
Voir ici pour plus d'infos.
Oui, début de TS. Je n'ai pas encore abordé les complexes, ni les fonctions trigo. Je voudrais bien m'avancer mais je ne pense pas avoir le temps aujourd'hui. Sujet résolu!
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