Question sur une assertion mathématique

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour, j'ai une petite question, donc la réponse ne me servira pas tout de suite mais surement un peu plus tard lors. Ici je part du principe que l'assertion en-dessous est fausse (ça serait absurde vu qu'il n'existe pas un réel $y$ pour tout réel $x$ qui vérifie la condition $x + y > 0$ (exemple pris sur le site Exo7math) ).

Cette assertion : $\exists y \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, x + y > 0$

…équivaut-elle à l'assertion : $\forall x \in \mathbb R, \exists ! y \in \mathbb R, x + y > 0$?

Si non, quelqu'un peut m'expliquer rapidement? :D

Merci!

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Une assertion mathématique (c-à-d une affirmation) peut avoir deux valeurs logiques : vrai ou faux.

Deux assertions sont équivalentes quand elles ont la même valeur logique, et en particulier si les deux sont fausses. Cela vient du fait que faux implique faux, par définition de l'implication.

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Soit P une assertion. Ce que j'appelle la valeur logique de P, c'est sa valeur de vérité (i.e. vrai ou faux).

Avec le cadre logique usuel des mathématiques, toute assertion peut prendre exactement deux valeurs de vérité : le vrai ou le faux. Il n'y a pas d'autre valeur possible, et une assertion ne peut pas être à la fois vraie est fausse.

À partir de ce principe, qui s'appelle le tiers exclu, on peut faire plein de choses avec les assertions. Soient P et Q deux assertions. On peut définir, à partir de P et de Q, plein d'assertions : - la conjonction de P et Q, notée (P et Q), qui est vraie lorsque P et Q sont simultanément vraie ; - la disjonction de P et Q, notée (P ou Q), qui est vraie lorsque P est vraie, ou Q est vraie, ou les deux à la fois ; - l'implication P implique Q, notée $P\Rightarrow Q$, définie par ((non P) ou Q) ; - l'équivalence Q équivaut à Q, notée $P\Leftrightarrow Q$, définie par ($(P\Rightarrow Q)$ et $Q\Rightarrow P)$).

Et toutes ces assertions ont une existence autonome et à ce titre elles peuvent elles-mêmes prendre des valeurs de vérité à leur tour.

Pour revenir sur ton cas particulier, tu as deux assertions P et Q, qui sont toutes les deux fausses. Et deux assertions fausses sont bien sûr équivalentes. Je te propose de démontrer dans les lignes qui suivent que deux assertions P et Q fausses sont équivalentes. Soient donc P et Q deux assertions fausses. Pour montrer ($P\Leftrightarrow Q$), il faut et il suffit de montrer que ($P\Rightarrow Q$ et $Q\Rightarrow Q$.

  • Montrons $P\Rightarrow Q$. Par définition, P est fausse donc (non P) est vraie, donc (non P ou Q) est vraie, donc l'implication est vraie.
  • Montrons $Q\Rightarrow P$. Par définition, Q est fausse donc (non Q) est vraie, donc (non Q ou P) est vraie, donc l'implication est vraie.

Bref, les deux assertions ont la même valeur logique. Elles sont donc équivalentes, c'est la définition.

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Je commencer à me remémorer cette leçon, que j'avais vu pour la première fois en seconde. La démonstration n'est pas très compliquée en soit, en utilisant les tables de vérités par exemple.

Maintenant, je vois l'erreur dans la formulation de ma question : si je demande cette fois-ci si l'assertion $\exists y \in \mathbb R, \forall x \in \mathbb R, x + y > 0$ exprime la même chose que l'assertion $\forall x \in \mathbb R, \exists ! y \in \mathbb R, x + y > 0$?

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Je pense avoir compris ta question, même si elle n'a pas tellement de sens. Elles expriment la même chose, puis qu'elles sont toutes les deux fausses. Mais cette remarque n'est pas très éclairante pour toi, avec je vais quand même commenter un peu.

Ta première assertion affirme qu'il existe un nombre réel, noté $y$, tel que pour tous les réels $x$, on ait $x+y>0$. C'est faux, bien sûr, mais formellement le réel $y$ que tu choisis ne dépend pas de $x$ : c'est le même pour tous les $y$.

De l'autre côté, la deuxième assertion dit que pour tous les réels $x$, tu peux trouver un unique $y$ dépendant de $x$, tel que $x+y>0$. Le réel $y$ dépend de $x$, car l'ordre compte dans les assertions formelles. Note quelque chose de rigolo : l'assertion avec l'unicité de $y$ est fausse ; mais si tu de demande pas l'unicité de $y$, elle devient vraie (en effet, il est vrai que pour tout réel $x$, il existe $y$ réel tel que $x+y>0$. Ceci montre bien que l'ordre des quantificateurs est important.

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Je vois bien la chose maintenant, et tu m'a fait rappeler les démonstrations et les tables de vérités, merci pour tes commentaires. Tout s'éclaire maintenant! :D

Au passage, j'ai effacé ce que j'ai marqué dans mon deuxième message mais c'était à peu près la même chose (notamment si tu enlève l'unicité de $y$), ce qui montre que je n'ai pas tellement confiance en moi.

Attention dans le deuxième paragraphe de ton dernier message, tu parle bien de tout les $x$ et pas de tout les $y$? ;-)

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Oui, oui, mon message me semble correct.

J'ai repris tes notations, et en fait, elles ne sont pas très bien choisies. :-° Parce qu'entre le premier et le deuxième énoncé, tu as échangé les places de $x$ et $y$. Dans les phrases formelles, les variables sont muettes donc on peut sans risque échanger leurs noms. Mais malgré tout, il faut essayer de bien nommer les objets pour éviter que les notations ne deviennent une source de difficulté.

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Oui, volontiers. Pour des raisons de pédagogie qui vont devenir claires au fur et à mesure de la lecture de ce message, je vais un peu modifier ta deuxième assertion, pour qu'elle devienne vraie. Modulo la petite modification que j'ai apportée, nous avons donc les deux énoncés suivants :

$$ (P): \quad \exists y\in\mathbb R, \forall x\in\mathbb R, \; x+y>0\\ (Q): \quad \forall x\in\mathbb R, \exists y\in\mathbb R, \; x+y>0 $$

L'assertion (P), comme nous l'avons vu, est fausse. Mais (Q) est vraie. Pour autant, je trouve qu'il est difficile de comparer le sens de (P) et de (Q) avec cette manière de les écrire ; c'est notamment lié au fait qu'il est difficile de comparer les rôles de $x$ et de $y$ dans les deux énoncés. Et pour cause, ils sont intervertis ! Il est possible de réécrire (Q) comme suit :

$$ (Q): \quad \forall y\in\mathbb R, \exists x\in\mathbb R, \; x+y>0 $$

Ce n'est qu'un changement de notation, puisque dans les phrases formelles, les variables sont muettes. Mais pourtant, il devient beaucoup plus aisé de comparer les significations de (P) et de (Q), parce que les noms des variables sont mieux choisis : $x$ et $y$ apparaissent à la même place dans (P) et (Q).

Conclusion : du point de vue de la signification des énoncés, on peut mettre absolument ce que l'on veut dans les phrases formelles, mais il faut faire attention lorsque l'on compare deux énoncés parce que des notations mal choisies peuvent induire en erreur.

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J'aimerais revenir un peu sur l'histoire des notations. L'avantage de ne pas intervertir les réels $x$ et $y$ dans les deux propositions, c'est qu'on peut dire :

Dans la proposition $(P)$ le réel $y$ ne dépend pas du réel $x$ alors que dans la proposition $(Q)$, il en dépend. Je comprend donc l'idée, mais finalement, n'est-il pas plus pratique de laisser écrit comme ceci pour comparer les deux propositions?

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