Comment choisir son raisonnement?

Bonjour, je suis confronté à un exercice où la réponse semble évidente mais où je n'arrive pas à trouver de "bon" raisonnement.

O, A, B étant trois points, montrer que les deux vecteurs $OB \times \vec{OA} + OA \times \vec{OB}$ et $OB \times \vec{OA} - OA \times \vec{OB}$ sont portés par les bissectrices de l'angle AOB.

Premier raisonnement : Dans la base $(\vec{OA}, \vec{OB})$ ($\vec{OA}$ et $\vec{OB}$ ne sont pas nécessairement unitaires, le repère $(O; \vec{OA}; \vec{OB})$ est quelconque), les deux vecteurs ont pour coordonnées $\begin{pmatrix}OB \\ OA\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}OB \\ -OA\end{pmatrix}$. C'est comme si l'affixe du second vecteur était le conjugué de l'affixe du premier dans le plan complexe. Logiquement, ils sont tous deux portés par la bissectrice de l'angle AOB.

Second raisonnement : Soit le plan x0y. On fait la somme des deux vecteurs :

$(OB \times \vec{OA} + OA \times \vec{OB}) + (OB \times \vec{OA} - OA \times \vec{OB}) = 2 OB \times \vec{OA}$. Ce vecteur est bien porté par l'axe Ox' du plan, on peu directement conclure ou pas?

Voilà grosso-modo la situation :

Merci de votre aide.

Aucun de tes deux raisonnements ne me paraît complet. Il faudrait que tu prennes une direction (n'importe à ce stade là) et que tu ailles plus loin dans les détails.

Par exemple, tu peux commencer à décrire analytiquement la conclusion que tu veux atteindre.

Je viens de relire plus attentivement et vis-à-vis de ton second raisonnement, il est vraiment très faux.

En général, il est très périlleux de procéder ainsi. Pourquoi ? Parce que sommer deux vecteurs fait perdre beaucoup d'information. Par exemple, n'importe quel vecteur $v$ vérifie $v-v=0$ et $0$ est bien porté par la bissectrice, en revanche n'importe quel vecteur $v$ n'est pas porté par la bissectrice.

D'accord, de toute manière je voyais bien que mes deux raisonnement ne tenaient pas du tout la route.

Dans ce cas, comment devrais-je procéder… Si je prend l'idée de elegance et que je montre séparément que chacun des deux vecteurs est porté par l'angle AOB, je n'arrive pas à trouver par quoi commencer.

Par exemple, tu peux commencer à décrire analytiquement la conclusion que tu veux atteindre.

En l'état parler de bissectrice, c'est très géométrique mais aussi peu utilisable dans un raisonnement d'algèbre linéaire. Donc commence par écrire en termes d'algèbre linéaire la conclusion que tu veux.

Dans le livre que je lis, les méthodes de géométrie analytique (équation de droites, de cercles…) sont abordées plus loin, je pense que je dois me réduire à de simples manipulation vectorielles.

Ok… OK… Je réfléchis. (J’éditai quand j'aurai trouvé)

Je suis désolé, mais je n'arrive pas à visualiser une bissectrice d'un point de vue vectoriel. J'ai l'impression d'avoir le cul entre deux chaises, la solution me paraît en effet trop logique mais je n'ai pas le chemin pour y accéder (comme si je l'apercevais au loin comme un mirage…).

Avez-vous un indice?

Je n'ai pas la solution, car je ne sais pas ce que tu es sensé savoir ou pas pour faire cet exercice. Tu as souligné que OA OB n'était pas nécessairement normé ; si OA OB était un repère normé, est-ce que ça aiderait ?

En fait, je n'ai pas plus d'information que toi, c'est pour ça que je trouve que c'est une question très ouverte et pourtant une solution qui semble évidente.

Déjà, on ne parle pas de repère mais de trois points O, A et B du plan. Maintenant, si on se place dans le repère $(O; \vec{OA}; \vec{OB})$, rien ne nous indique qu'il est normé (ou orthonormé). Si le repère est orthonormé, dans ce cas, on sait d'après le théorème de la bissectrice (qui dit simplement que la a bissectrice d'un angle est l'ensemble des points à égale distance des côtés de cet angle, d'après wiki) qu'une bissectrice de AOB porte un vecteur dont les composantes vectorielles sont $\vec{OA}$ et $\vec{OB}$.

Connais-tu une définition de « bissectrice » ? Désolé, je me tais.

Voilà … tu as donc un élément qui te permet de bâtir une bissectrice… il n'y a plus qu'à se mettre dans les bonnes conditions pour utiliser ce théorème.

La bissectrice porte un vecteur $\vec{B} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}$. Si le repère OA OB est normé, le vecteur $\vec{V} \begin{pmatrix}OB \\ OA\end{pmatrix}$ est colinéaire à $\vec{B}$ puisque $det(\vec{V}, \vec{B}) = OB - OA = 0$ car dans notre cas $OA = OB$. Si maintenant le repère est quelconque, ça change la donne. Et puis même là, je sais pas si mon raisonnement tient la route…

Tu as un théorème qui marche quand tu as un repère normé. Donc, à partir de tes 3 points OAB quelconques (non alignés), construis un repère OCD normé.

Je ne comprends pas bien où tu veux en venir.

Merci pour ton aide, je vois maintenant tout le cheminement. En revanche, je ne comprend pas trop les notations en fait, dans "OC = OB * Vect(OA)" tu parle certainement du vecteur OC? Sinon, il faut m'expliquer.

Sinon, avec $\vec{OC} = OB \times \vec{OA}$ et $\vec{OD} = OA \times \vec{OB}$, on a : $||\vec{OC}|| = OB \times ||\vec{OA}|| = OA \times ||\vec{OB}|| = ||\vec{OD}||$.

C'est quoi la différence entre la longueur OC et $||\vec{OC}||$?

Ensuite, on peut dire que les droites OE et OF sont des bissectrices de l'angle COD (et donc de l'angle AOB).