Exercice : réunion de parties indéxées

Soit la suite $(U_n)_n$ définie par $U_n = 1 - \frac{1}{n}$.

D’après la définition de la limite d’une suite, dire que $\displaystyle (1 - \frac{1}{n})\xrightarrow[n\to+\infty]{}1$ revient à dire que pour tout réel strictement positif $\epsilon$ on ait $1 - \epsilon \leqslant U_n \leqslant 1 + \epsilon$ à partir d’un certain rang. Donc pour tout $\epsilon > 0$, il existera toujours un rang $n$ tel que $U_n$ soit une valeur approchée de 1 à $\epsilon$ près.

Ainsi, puisque $x \in [0, 1[$, on peut dire qu’il existera toujours un rang $n$ tel que $x \leqslant U_n < 1$.

Sinon, il suffit d’utiliser la technique (efficace) de blo yhg :

Je souhaite montrer que pour tout $x \in [0, 1[$, il existera toujours un rang $n$ tel que l’on ait $x \leqslant 1 - \frac{1}{n} < 1$.

D’une part on sait que quelque soit $n \in \mathbb N^*$, $1 - \frac{1}{n} < 1$.

D’autre part, si on prend par exemple $n = \frac{1}{- x + 1}$, alors $1 - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{(\frac{1}{- x + 1})} = 1 + x + 1 = x + 2 \geqslant x$. De ce fait, il existera bien toujours un rang $n$ tel que pour tout $x \in [0, 1[$, $1 - \frac{1}{n} \geqslant x$.

C’est édité pour les quantificateurs.

Et mince, j’avais oublié pendant un moment que $n$ était un entier… Encore une erreur à la con de ma part, il va falloir que je réfléchisse un peu.

Quant au post au-dessus (celui qui utilise la définition de la limite en + l’infini d’une suite)?

Devrais-je utiliser la fonction partie entière?

$1 - \frac{1}{n} > x \iff \frac{1}{n} > 1 - x \iff n > \frac{1}{1 - x}$.

Donc à partir du rang $n = \left\lfloor \dfrac{1}{1-x} \right\rfloor + 1$ on a bien $1 - \frac{1}{n} \geqslant x$.

Je n’exclus aucune erreur de calcul évidement.

$1 - \frac{1}{n} > x \iff \frac{1}{n} > 1 - x \iff n > \frac{1}{1 - x}$.

(Petite erreur dans l’étape intermédiaire.)

Donc à partir du rang $n = \left\lfloor \dfrac{1}{1-x} \right\rfloor + 1$ on a bien $1 - \frac{1}{n} \geqslant x$.

Oui, c’est bon.

Très bien. Merci pour votre aide.