Je voulais dire $\epsilon$. Mais pas d’importance …
J’ai du mal à comprendre l’exemple que tu donne en fait… Pourquoi aurait-on $H_n = H = [0,1]\cup \{2\}$ alors que $0 \leq H_n < 1$?
Peux-tu ré-expliquer s’il-te-plaît?
Pourquoi $n\to +\infty$ ne s’aligne pas avec $\lim$?
Parce que tu écris des maths in-line. Avec la même commande mais en doublant les sigils (symbole dollar) on obtient un code out-line soit :
Et en utilisant \displaystyle il vient $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} 1/n = 0$, ce qui te permet d’écrire comme en out-line, mais en in-line.
Cf ici. 
Au passage, tu peux utiliser \frac qui te permet d’utiliser les fractions. Ainsi, le code $$\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0$$ donne :
PS: Désolé de m’incruster, mais si j’ai bien compris là où veut t’emmener Holosmos, est-ce que tu pourrais écrire la définition avec des quantificateurs de $\displaystyle u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}\ell$ ?
J’ai compris ton exemple Holosmos. 
Pour répondre à mon vdd :
Soit la suite $(U_n)$ définie pour tout naturel $n$, deux réels positifs non-nuls $r$ et $r'$ et un naturel $n_0$.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} U_n = l \iff \exists l \in \mathbb R$ tq $\forall n \geq n_0, U_n \in I = ]l-r, l+r'[$.
BunshinKage aime les définitions avec des quantificateurs, moi j’ai les phrases avec des verbes et des compléments. Et dans ta proposition, je trouve qu’il y a beaucoup de verbes par rapport au nombre de sujets ou de compléments : le verbe "appartient" et le verbe "égale" se téléscopent, et du coup, la phrase ne veut rien dire.
J’ai compris ton exemple Holosmos.
Pour répondre à mon vdd :
Soit la suite $(U_n)$ définie pour tout naturel $n$, deux réels positifs non-nuls $r$ et $r'$ et un naturel $n_0$.
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} U_n = l \iff \exists l \in \mathbb R$ tq $\forall n \geq n_0, U_n \in I = ]l-r, l+r'[$.
Ta définition est mauvaise.
Indice : le $n_0$ est mal déposé.
@elegance : je trouve aussi bizarre le $u_n \in I = \left]l-r,l+r'\right[$, mais je trouve que c’est un abus de langage encore acceptable (bien que pas conventionnel placé dans une proposition ainsi, on le voit souvent dans « soit $x \in I := \left]a,b\right[$).
Soit la suite $(U_n)$ définie pour tout naturel $n$, deux réels positifs non-nuls $r$ et $r'$ et un naturel $n_0$.
Une suite est toujours définie pour tout réel, sinon ce n’est pas une suite. ^^ Ah, ok, j’ai compris ce que tu voulais dire, tu veux dire que $U_n$ est défini pour tout entier naturel $n$. On écrit ça « Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite. ». On omet parfois l’ensemble indexant $\mathbb{N}$, ce qui donne « Soit $(u_n)_n$ une suite. ».
$\displaystyle\lim_{n\to+\infty} U_n = l \iff \exists l \in \mathbb R$ tq $\forall n \geq n_0, U_n \in I = ]l-r, l+r'[$.
Tu n’as pas introduit $l$, et donc $\lim_{n\to+\infty} U_n = l$ n’a pas de sens. Supposons que tu l’aies introduit plus haut. Dans ce cas, pas de $\exists l$ dans la deuxième partie de l’équivalence.
Il y a un autre problème de formulation : ta définition de $\lim_{n\to+\infty} U_n = l$ dépend de paramètres qui n’apparaissent pas dans l’écriture de l’objet que tu définis : il s’agit de $n_0$, $r$ et $r'$. La propriété « la suite $(u_n)_n$ tend vers $l$ » ne doit dépendre que de $(u_n)_n$ et de $l$.
On peut éventuellement donner du sens à ta définition en disant « $u_n$ converge vers $l$ si il existe $r$, $r'$ et $n_0$ tels que [ta définition] », mais ce n’est pas juste (par exemple $(-1)^n$ convergerait vers $0$ ; toute suite bornée convergerait vers tout réel…).
Pour éviter l’absence d’espace après le signe "=" dans $I = ]a,b[$, on peut écrire I = \left]a,b\right[, ce qui donne $I = \left]a,b\right[$.
Merci pour vos remarque, je pense pouvoir apporter une rectification :
Soit la suite $(U_n)_{n \in \mathbb N}$ et un réel $l$. On dit qu’elle a pour limite $l$ lorsque n tend vers $+ \infty$ lorsque :
$\forall (r, r') \in \left]0, +\infty\right[ \times \left]0, +\infty\right[, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \in \mathbb N, (n \geq n_0 \Rightarrow U_n \in I : = \left]l-r, l+r'\right[)$.
Mais j’ai vu qu’il est aussi commode et plus rapide d’écrire :
$\forall \epsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb N, \forall n \in \mathbb N, (n \geq n_0 \Rightarrow |U_n - l| \leq \epsilon)$.
La deuxième formulation est la plus utilisée, et est certainement correcte.
La première formulation m’a l’air ok, mais je comprends pas bien l’introduction de $I$ et de deux nombres $r,r'$.
En revanche, oublie les « tq », c’est moche et ça sert à rien (on prononce déjà « tel que » après un quantificateur d’existence). Si tu veux introduire de l’espacement, mets des virgules.
Ok, il me semble en effet que la seconde formulation est bien plus correcte et compréhensible. Pour les "tq", oui c’est moche mais j’ai toujours l’impression que l’usage d’une simple virgule rend la phrase plus difficile à lire intuitivement…
Enfin bref, reste à réfléchir à la suite de l’exercice.
Ok, il me semble en effet que la seconde formulation est bien plus correcte
Les deux formulations sont correctes (et permettent différentes généralisations), même si la deuxième est plus pratique en général pour les réels.
D’après la définition de la limite d’une suite, dire que $\displaystyle (1 - \frac{1}{n})\xrightarrow[n\to+\infty]{}1$ revient à dire qu’il existera toujours un naturel $n$ tel que la distance entre $U_n$ et $1$ soit la plus petite possible.
Comme dans l’exercice on suppose que x se trouve dans $[0, 1[$, on peut dire d’après la définition de la limite que l’on peut rapprocher indéfiniment $1 - \frac{1}{n}$ de 1 et donc qu’il existera toujours un rang n tel que $x \leq 1 - \frac{1}{n} < 1$.
Un petit ’up’ peut-être? 
Ton phrasé est encore maladroit. Puisque tu le sais, tu devrais préférer une écriture formelle qui sera plus précise et plus claire que ce que tu fais actuellement.
Typiquement des expressions comme :
soit la plus petite possible.
ou
on peut rapprocher indéfiniment
sont périlleuses.
Il est vrai que cela déstabilise un peu ma conclusion. Mais suis-je sur la bonne piste déjà? Parce qu’intuitivement j’ai l’impression de l’être maintenant, si je fais fausse route, inutile de chercher plus loin.
De toute manière, je tiens à vous prévenir, je dois rattraper de la physique en ce moment. Je reviendrais à l’exercice un peu plus tard, désolé pour le retardement (j’ai fait pleins d’autres choses en maths, je ne suis pas resté bloqué sans rien faire jusqu’ici, je tiens simplement à prévenir… 
).
J’ai besoin d’un coup de pouce. Intuitivement, j’ai l’impression d’être sur la bonne route mais je ne vois pas quoi faire pour conclure.
Je ne vois pas ce qu’il manque. Idéalement, c’est à toi de voir si tu es satisfait avec ce niveau de détail, si tu veux écrire de manière plus formelle… Ok, donc il existe $n$ tel que $0 \leq x < 1 - \frac{1}{n}$. Reviens à ce que tu voulais montrer pour conclure. Peux-tu expliciter un tel $n$ ?
Autre exercice : montrer qu’un ensemble $I \subseteq \mathbb{R}$ est un intervalle1 si et seulement si $[a,b] \subseteq I$ pour tout $a, b \in I$. Se servir de cette caractérisation pour montrer que toute union d’intervalles tel qu’aucun ne soit disjoint d’aucun autre est encore un intervalle.
De la forme $[x,y]$, ou $[x,y[$, etc. ↩
Que veux-tu dire par ’expliciter’? Comment écrire de manière plus formelle?
Que veux-tu dire par ’expliciter’?
Trouver une expression explicite d’un $n$ qui fonctionne pour un $x$ donné. C’est ce que tu as fait pour montrer que $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ en disant que si $n > \frac{1}{\varepsilon}$, alors $\frac{1}{n} < \varepsilon$. Ça permet d’enlever le concept de limite de la preuve. D’ailleurs, n’importe quel concept et théorème peut en théorie être « éliminé » en revenant aux définitions et preuves (cf. l’élimination des coupures). Je trouve ça intéressant de faire ce « dépliage ».
Comment écrire de manière plus formelle?
Vois-tu que « la plus petite possible » ne veut rien dire ici ? Au contraire justement, il n’y a pas de $n$ tel que la distance entre $U_n$ et $1$ soit la plus petite possible : il suffit de prendre $n+1$ pour réduire la distance.
Alors à la place, écris ce que veut dire « $1 - \frac{1}{n}$ tend vers $1$ » : tu prends une des deux définitions que tu as donnée, et tu remplaces dedans $l$ par $1$ et $u_n$ par $1 - \frac{1}{n}$. Laquelle choisis-tu ?
Ce que tu obtiens commence par un « pour tout ». À quoi choisis-tu d’appliquer ce « pour tout » ? (Tu dois donner soit deux réels $r$ et $r'$, soit un réel $\varepsilon$.)
Tu obtiens une nouvelle proposition « il existe un N tel que … ». Donc maintenant, tu disposes d’un certain naturel N et tu sais que la proposition qui suit le « il existe » est vérifiée. Qu’en fais-tu ? Etc.
Il est aussi important de savoir faire tous ces détails. Est-ce que ça te pose problème ?
Je n’aurais certainement pas du écrire : "tel que la distance entre Un et 1 soit la plus petite" mais plutôt "tel que la distance entre Un et 1 soit très petite". Cela n’est pas que ça me convient, simplement que la correction semble ne pas aller aussi loin et simplement s’arrêter là où je m’étais arrêter dans mon premier post.
Mais c’est en forgeant que l’on devient forgeron alors, autant détailler autant que je le puisse, ça ne me pose pas de problème.
"tel que la distance entre Un et 1 soit la plus petite" mais plutôt "tel que la distance entre Un et 1 soit très petite"
À mon sens c’est pire. Mais bon, les deux sont de mauvaises expressions, alors à partir de là …
Cela n’est pas que ça me convient, simplement que la correction semble ne pas aller aussi loin et simplement s’arrêter là où je m’étais arrêter dans mon premier post.
Parce que la correction s’adresse à des gens qui savent déjà développer, ce qui n’est pas ton cas.
Cela n’est pas que ça me convient, simplement que la correction semble ne pas aller aussi loin et simplement s’arrêter là où je m’étais arrêter dans mon premier post.
Parce que la correction s’adresse à des gens qui savent déjà développer, ce qui n’est pas ton cas.
Oui, c’est certainement cela…
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