Exercice : réunion de parties indéxées

Bonjour, je dois résoudre un problème en me basant sur cette vidéo. Cependant, il n’y a aucune correction, je poste donc ma réponse dans ce topic, en espérant que des âmes charitables pourront me corriger.

Je dois montrer que : est un intervalle et le calculer.

Dans un premier je pose $H_n = [0, 1-\dfrac{1}{n}]$ pour $n \in \mathbb N^*$ et $H = \bigcup _{n \geqslant 1} H_n$.

Je construit sur une droite réelle les quatre premiers termes et je trouve graphiquement que $H = [0, 1[$ où le 1 est exclut puisque pour $n \geqslant 1$, $0 \leqslant 1-\dfrac{1}{n} < 1$.

Il s’agit maintenant de le montrer. Comme dans la vidéo, on raisonne par double inclusion. La ligne au dessus nous permet d’écrire que $H_n \subset [0, 1[$ donc $\bigcup _{n \geqslant 1} H_n = H \subset [0, 1[$.

Ensuite, montrons que $[0, 1[ \subset H$ soit $\forall x, x \in [0, 1[ \Rightarrow x \in H$. On raisonne par implication directe ici : supposons $x \in [0, 1[$. Alors on a $x \geqslant 0$ et il existera toujours un rang n tel que $x \leqslant 1 - \dfrac{1}{n} < 1$. Donc $x \in H_n$ d’où $x \in \bigcup _{n \geqslant 1} H_n = H$. De ce fait, $[0, 1[ \subset H$.

Comme $[0, 1[ \subset H$ et $H \subset [0, 1[$, on a $H = \bigcup _{n \geqslant 1} H_n = [0, 1[$.

CQDF??

Merci d’avance.

et il existera toujours un rang n tel que

Le seul argument est celui-là. Donc centre plutôt ta preuve sur cette chose, et souligne pourquoi on peut trouver un tel $n$ tel que $x\leq 1-1/n$.

Sinon le reste est bon.

Merci pour ton retour.

C’est étrange car dans la vidéo le gars ne semble pas insister dessus. J’ai du mal à voir comment souligner en fait, mais il est vrai que jusqu’ici, j’ai plutôt l’impression d’appliquer la méthode et de ne pas trop souligner la réponse. Tu peux m’aiguiller un peu de ce côté là?

Si on voulait aller dans le détails (ce qui me semble être la seule chose intéressante ici), il faut revenir au fait que $1/n$ tend vers 0 (le montrer au passage, c’est pas un mauvais exercice), et que par définition de la limite, tu peux trouver un tel $n$.

J’arrive à voir où tu veux en venir. Je vais tenter le monter la limite.

Soit la suite $(U_n)$ définie par $U_n = \dfrac{1}{n}$ pour tout entier naturel $n$ non-nul.

$\lim_{n\to +\infty} U_n = 0$ si pour deux réels positifs non-nuls $r$ et $r'$ et pour tout naturel n non-nul à partir d’un certain rang, $U_n \in ]-r, r'[$

Pour notre démonstration on utilise que $U_n \in ]-r, r'[ \iff -r < \dfrac{1}{n} < r' \iff \dfrac{1}{n} + r > 0$ et $\dfrac{1}{n} - r' < 0$.

D’une part, comme pour tout $n \geqslant 1$ on a $\dfrac{1}{n} > 0$, on peut écrire $\dfrac{1}{n} + r > 0$ puisque r est strictement positif.

D’autre part, $\dfrac{1}{n} - r' < 0 \iff n > \dfrac{1}{r'}$.

Donc à partir du rang $\left\lfloor \dfrac{1}{r'} \right\rfloor + 1$ nous avons $\dfrac{1}{n} \in ]-r, r'[$.

De ce fait, $\lim_{n\to +\infty} 1/n = 0$.

Bon déjà pour alléger un peu la chose, commence par remarquer que $1/n>0$, donc t’as juste à regarder une inégalité (et pas deux).

Ensuite, t’as commencer avec $r$ et $r'$ et c’est vite devenu $r$. C’est un peu confus.

Ton premier système d’équivalence est faux. $1/n<-r$ est certainement pas équivalent à $-r-1/n<0$. Et $1/n<-r$ est certainement pas équivalent à $n<-1/r$.

Même remarque pour l’autre système.

Même si les deux conclusions sont bonnes, ton raisonnement est faux, dommage.

Ensuite, une fois que tu as $n>1/r$ et bien tu devrais comprendre que tu arrives à la fin de ta preuve. Mais pour comprendre ça, il faut que tu reviennes à ta définition de limite.

Désolé pour les incohérences et les équivalences, j’ai écrit directement en mathjax sans passer sur feuille…

J’ai édité.

Ta définition est mal posée, il faut quantifier sur $n$. Mais grossièrement ta réponse est juste, tu peux passer à la suite.

"Ta définition est mal posée, il faut quantifier sur n."

Tu peux expliquer?

EDIT n°1 : Corrigé.

EDIT n°2 : Je préfère corriger ça avant de passer à la suite, tu peux m’aider?

Donne la définition générale d’une limite finie, tu devrais voir par toi même ce qui me gêne dans ce que tu as écrit.

Tu veux dire lorsque je définis de la sorte : $(U_n)_{n \in \mathbb N^*}$?

Devrais-je dire que la suite $U$ est définie par $U_n = 1/n$ pour tout entier naturel $n$ non-nul?

J’ai édité mon post.

Pour revenir à la définition d’une limite finie, on peut dire que quelque soit l’intervalle ouvert $I$ de $\mathbb R$ contenant $0$, on a $\dfrac{1}{n} \in I$ à partir d’un certain rang.

C’est quoi ta définition abstraite d’une limite finie ? Abstraite, c’est-à-dire sans dépendance directe de l’expression $1/n$. En toute généralité quoi.

Une suite $(U_n)$ définie pour tout naturel $n$ admet une limite $l \in \mathbb R$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle ouvert $I$ contenant $l$ contient tout les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Ta définition est mauvaise (par exemple $(-1)^n$ appartient à plein d’intervalles ouverts, mais la suite ne converge pas). Il faut vraiment que tu sois précis sur ce genre de choses, sinon tu vas aller dans le mur à la moindre subtilité.

Pardon pour la précision, j’ai édité, j’espère que c’est la bonne.

EDIT : L’idiot, le problème était pourtant noir sur blanc. C’est les vacances, j’essaye de faire des maths pour le plaisir mais je suis manifestement trop flemmard pour me concentrer plus d’une demi-heure, d’où mon discernement sur certains points.

J’ai édité la démonstration.

On peut passer à la suite?

Ok pour moi. Fais la suite

C’était les fêtes, désolé pour mon absence.

Comme $\lim_{n\to +\infty} 1/n = 0$, on a $\lim_{n\to +\infty} (1 - (1/n)) = 1$ donc lorsque n tend vers $+\infty$, la borne supérieure de $H_n$ se rapproche de 1.

$\eps$?

Je voulais dire $\epsilon$. Mais pas d’importance …