Limite et dérivation

Bonsoir, en ce moment, j’étudie un peu plus en profondeur la dérivation.

Considérons une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I \subseteq \mathbb R$. Dans mon vieux bouquin il est écrit : $\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x) \iff \displaystyle \lim_{h\to 0} [\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x)] = 0$.

J’ai du mal à comprendre cette équivalence, intuitivement, j’aurais écrit : $[\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}] - f'(x) = 0$.

Cela veux t-il dire que, si $a$ et $l$ sont deux réels, $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = l \iff \displaystyle \lim_{x\to a} [f(x) - l] = 0$?

Je comprends pas ce qui te gêne. Tu mets des parenthèse en plus, pourquoi pas, mais de toute façon $f'(x)$ ne dépend pas de $h$.

On a $(\lim_{x \to a} f(x)) + (\lim_{x \to a} g(x)) = \lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$. En particulier, si on prend $g(x) = -l$, on a $(\lim_{x \to a} f(x)) - l = \lim_{x \to a} (f(x) - l)$.

(Note : super, maintenant le latex fonctionne dans la prévisualisation.)

Ce qu’explique blo yhg est ce sont j’avais besoin, tout simplement. Au passage, utilises \displaystyle.

Merci.

Désolé mais en l’occurrence ce dont a besoin Ozmox est beaucoup plus faible. Si $\lim f(x) = l$, alors par définition $\lim f(x) -l=0$. Cela vient du fait que $\lim f(x)$ est un nombre réel, et c’est exactement $l$.

Et tout comme $l-l=0$, on a $\lim f(x) - l=0$.

Oui mais ce que blo yhg expliquait c’est que $(\lim f(x)) - l = \lim (f(x) - l)$, non?

@Holosmos : Mais Ozmox parle de $\lim (f(x) - l)$ et j’ai l’impression que tu parles de $(\lim f(x)) - l$, non ? Mais oui, ce dont a besoin Ozmox est plus faible, j’ai juste préféré dire que + est continue plutôt que juste x ↦ x+a pour chaque a.

Après réflexion, j’ai l’impression de ne pas trop comprendre où blo yhg veux en venir. Je ne comprends pas son post. Ni sa remarque : "j’ai juste préféré dire que + est continue plutôt que juste x ↦ x+a pour chaque a".

Holosmos, que veux-tu dire par : "ce dont il a besoin est plus faible"?

Tu peux expliquer?

Ou bien le premier post a été modifié, ou bien j’ai mal lu.

Dans les deux cas je rejoins finalement blo yhg.

Mais il n’empêche que ce dont a besoin Ozmox est plus faible, c’est-à-dire moins général et exigent que le résultat général donné par blo yhg. Elegance semble avoir bien résumé la situation

Certes on peut comprendre l’expression « plus faible » par une implication, mais il me semble qu’on manque le sens de cette expression. Notamment parce que le cas général est toujours vrai et donc qu’une telle implication se simplifie jusqu’à ne plus dépendre de la condition suffisante.

En l’occurrence, j’exprimais le fait que la preuve du cas général est plus difficile que celle du cas nécessaire. Et donc que ce dont on a besoin est plus faible au sens des preuves : la preuve du cas général est plus forte.

En l’occurrence, j’exprimais le fait que la preuve du cas général est plus difficile que celle du cas nécessaire. Et donc que ce dont on a besoin est plus faible au sens des preuves : la preuve du cas général est plus forte.

Que la preuve du cas général est plus forte est toujours vraie (puisque la preuve du cas général implique celle du cas particulier). Par contre, c’est pas parce que la preuve est plus forte qu’elle est plus difficile, ce sont deux choses différentes.

Pour résumé, on utilise que : $\lim (f(x)) - \lim (g(x)) = \lim (f(x) - g(x))$. Mais finalement ça n’apporte pas trop de réponse à ma question, c’est justement ce que j’ai relevé. Maintenant, y-a-t-il une démonstration?

Je pense que si on veut faire le tour complet de la question, on risque à un moment ou un autre de se poser cette autre question : est-ce que 2+2 = 4 ?

De façon plus constructive, dès qu’on a appris les définitions des limites, et les propriétés de base des limites, quelques semaines plus tard, on manipule cela comme des évidences. Qu’est-ce qui relève de la définition, et qu’est-ce qui relève des propriétés, c’est des choses qu’on oublie. Et je pense que selon les manuels, on doit pouvoir dire que la définition, c’est A, et par déduction, on démontre la propriété B. Alors que dans un autre manuel, on pourrait trouver : la définition, c’est B, et on démontre la propriété A.

Pour répondre précisément à ta question, il faudrait avoir ton bouquin sous les yeux.

Pour le coup, ce sera, je pense, un chouia plus simple de démontrer la forme faible. Prends la définition que tu connais de $\lim_{x\to a} f(x) = l$. Essaye d’en déduire $\lim_{x\to a} (f(x) - l) = 0$.

Qu’est-ce qui relève de la définition, et qu’est-ce qui relève des propriétés, c’est des choses qu’on oublie.

Au contraire. De nombreuses théories se fondent justement après avoir examiné la différence entre définition et proposition et comment on démontre les théorèmes importants.

Donc non, il ne vaut mieux pas oublier ce qui relève d’une définition ou d’une preuve.

Ici ce n’est pas flagrant parce que la théorie est relativement simple. Mais si on commence par exemple à faire de la topologie algébrique, on se rend vite compte qu’il y a eu une axiomatisation croissante et que les diverses refondations étudient précisément le rapport des théorèmes aux définitions et propositions.

Je citerai par exemple Mayer-Vietoris, qui est immédiat dans le cadre des faisceaux et qui est un théorème dans le cadre de l’homologie simpliciale (par exemple). Je citerai aussi les approches plus modernes des classes caractéristiques comme axiomatisations dont la réalisation est un théorème, alors que la théorie de l’obstruction nous donne la construction des classes caractéristiques comme résultat d’un théorème.

Merci beaucoup pour ta réponse dab. J’y reviendrais quand j’étudierais les limite en profondeur.

Non, la preuve n’est pas dans mon livre. Il se contente de passer d’une ligne à l’autre, c’est pour cela que j’appelle votre aide.

Au passage, que signifie le symbole $=:$?

Bonne soirée!