Limite et dérivation

a marqué ce sujet comme résolu.

Bonsoir, en ce moment, j’étudie un peu plus en profondeur la dérivation.

Considérons une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I \subseteq \mathbb R$. Dans mon vieux bouquin il est écrit : $\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x) \iff \displaystyle \lim_{h\to 0} [\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} - f'(x)] = 0$.

J’ai du mal à comprendre cette équivalence, intuitivement, j’aurais écrit : $[\displaystyle \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h}] - f'(x) = 0$.

Cela veux t-il dire que, si $a$ et $l$ sont deux réels, $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = l \iff \displaystyle \lim_{x\to a} [f(x) - l] = 0$?

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Banni

On a $(\lim_{x \to a} f(x)) + (\lim_{x \to a} g(x)) = \lim_{x \to a} (f(x) + g(x))$. En particulier, si on prend $g(x) = -l$, on a $(\lim_{x \to a} f(x)) - l = \lim_{x \to a} (f(x) - l)$.

(Note : super, maintenant le latex fonctionne dans la prévisualisation.)

Désolé mais en l’occurrence ce dont a besoin Ozmox est beaucoup plus faible. Si $\lim f(x) = l$, alors par définition $\lim f(x) -l=0$. Cela vient du fait que $\lim f(x)$ est un nombre réel, et c’est exactement $l$.

Et tout comme $l-l=0$, on a $\lim f(x) - l=0$.

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Banni

@Holosmos : Mais Ozmox parle de $\lim (f(x) - l)$ et j’ai l’impression que tu parles de $(\lim f(x)) - l$, non ? Mais oui, ce dont a besoin Ozmox est plus faible, j’ai juste préféré dire que + est continue plutôt que juste x ↦ x+a pour chaque a.

Après réflexion, j’ai l’impression de ne pas trop comprendre où blo yhg veux en venir. Je ne comprends pas son post. Ni sa remarque : "j’ai juste préféré dire que + est continue plutôt que juste x ↦ x+a pour chaque a".

Holosmos, que veux-tu dire par : "ce dont il a besoin est plus faible"?

Tu peux expliquer?

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Ou bien le premier post a été modifié, ou bien j’ai mal lu.

Dans les deux cas je rejoins finalement blo yhg.

Mais il n’empêche que ce dont a besoin Ozmox est plus faible, c’est-à-dire moins général et exigent que le résultat général donné par blo yhg. Elegance semble avoir bien résumé la situation

que veux-tu dire par : "ce dont il a besoin est plus faible"?

Juste pour formaliser un peu par rapport à ce que dit elegance, si $a\Rightarrow b$ (et que la réciproque $b\Rightarrow a$ est fausse), alors $b$ exprime quelque chose de plus faible que $a$ et $a$ exprime quelque chose de plus fort que $b$.

Un exemple simple serait (avec $x$ et $y$ deux réels) $(x=y)\Rightarrow (x^2=y^2)$. La première proposition $x=y$ est plus forte que la seconde $x^2=y^2$.

Une façon de le comprendre plus intuitivement et expliqué avec les mains (donc des termes non rigoureux), c’est que la seconde proposition $x^2=y^2$ peut être vraie dans plus de cas de figures, si $x=y$ mais aussi si $x=-y$ par exemple. La proposition $x=y$ est donc plus "contraignante" à vérifier que $x^2=y^2$.

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Certes on peut comprendre l’expression « plus faible » par une implication, mais il me semble qu’on manque le sens de cette expression. Notamment parce que le cas général est toujours vrai et donc qu’une telle implication se simplifie jusqu’à ne plus dépendre de la condition suffisante.

En l’occurrence, j’exprimais le fait que la preuve du cas général est plus difficile que celle du cas nécessaire. Et donc que ce dont on a besoin est plus faible au sens des preuves : la preuve du cas général est plus forte.

En l’occurrence, j’exprimais le fait que la preuve du cas général est plus difficile que celle du cas nécessaire. Et donc que ce dont on a besoin est plus faible au sens des preuves : la preuve du cas général est plus forte.

Que la preuve du cas général est plus forte est toujours vraie (puisque la preuve du cas général implique celle du cas particulier). Par contre, c’est pas parce que la preuve est plus forte qu’elle est plus difficile, ce sont deux choses différentes.

Pour résumé, on utilise que : $\lim (f(x)) - \lim (g(x)) = \lim (f(x) - g(x))$. Mais finalement ça n’apporte pas trop de réponse à ma question, c’est justement ce que j’ai relevé. Maintenant, y-a-t-il une démonstration?

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Je pense que si on veut faire le tour complet de la question, on risque à un moment ou un autre de se poser cette autre question : est-ce que 2+2 = 4 ?

De façon plus constructive, dès qu’on a appris les définitions des limites, et les propriétés de base des limites, quelques semaines plus tard, on manipule cela comme des évidences. Qu’est-ce qui relève de la définition, et qu’est-ce qui relève des propriétés, c’est des choses qu’on oublie. Et je pense que selon les manuels, on doit pouvoir dire que la définition, c’est A, et par déduction, on démontre la propriété B. Alors que dans un autre manuel, on pourrait trouver : la définition, c’est B, et on démontre la propriété A.

Pour répondre précisément à ta question, il faudrait avoir ton bouquin sous les yeux.

Qu’est-ce qui relève de la définition, et qu’est-ce qui relève des propriétés, c’est des choses qu’on oublie.

Au contraire. De nombreuses théories se fondent justement après avoir examiné la différence entre définition et proposition et comment on démontre les théorèmes importants.

Donc non, il ne vaut mieux pas oublier ce qui relève d’une définition ou d’une preuve.

Ici ce n’est pas flagrant parce que la théorie est relativement simple. Mais si on commence par exemple à faire de la topologie algébrique, on se rend vite compte qu’il y a eu une axiomatisation croissante et que les diverses refondations étudient précisément le rapport des théorèmes aux définitions et propositions.

Je citerai par exemple Mayer-Vietoris, qui est immédiat dans le cadre des faisceaux et qui est un théorème dans le cadre de l’homologie simpliciale (par exemple). Je citerai aussi les approches plus modernes des classes caractéristiques comme axiomatisations dont la réalisation est un théorème, alors que la théorie de l’obstruction nous donne la construction des classes caractéristiques comme résultat d’un théorème.

Ouais enfin deux choses tout de même. $\lim f(x) - g(x) = \lim f(x) - \lim g(x)$ sont égales seulement si on prend la limite sur la même variable au même point, la notation est ambiguë là. Ensuite, potentiellement les limites $f(x)$ et $g(x)$ n’existe pas indépendamment, mais la limite de $f(x)-g(x)$ existe.

Si on suppose que les limites de $f(x)$, $g(x)$ et $f(x)-g(x)$ existent, on peut montrer ça facilement comme suit (mais la preuve ne serait pas dans ton livre?)

Soit $\epsilon > 0$. On note $\lim_{x \to \alpha} f(x) = \ell_0$ et $\lim_{x \to \alpha} g(x) = \ell_1$. On veut montrer que $\ell_0 - \ell_1 = \lim_{x \to \alpha} \underbrace{f(x) - g(x)}_{=: h(x)} =: L$.

Alors par définition, il existe $\delta_0 > 0$ tel que $\forall x, |x-\alpha| \leq \delta_0$, on a $|f(x)-\ell_0| < \epsilon/2$, et de même pour $\delta_1$. On pose $\delta = \max\{ \delta_0, \delta_1 \}$ (qui existe évidemment). Donc $\forall x, |x-\alpha| \leq \delta$, on a $|f(x)-\ell_0|+|g(x)-\ell_1| < \epsilon$. Mais $|f(x)-\ell_0|+|g(x)-\ell_1| = |f(x)-\ell_0|+|-g(x)+\ell_1| \geq |f(x)-g(x)-(\ell_0-\ell_1)|$ par l’inégalité triangulaire. Mais $|f(x)-g(x)-(\ell_0-\ell_1)|=|h(x)-(\ell_0-\ell_1)|$, donc $L = \ell_0-\ell_1$.

Merci beaucoup pour ta réponse dab. J’y reviendrais quand j’étudierais les limite en profondeur.

Non, la preuve n’est pas dans mon livre. Il se contente de passer d’une ligne à l’autre, c’est pour cela que j’appelle votre aide. :-)

Au passage, que signifie le symbole $=:$?

Bonne soirée!

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$A:= B$ ou $B=:A$ signifie exactement que $A$ est défini par $B$.

La subtilité avec l’égalité, c’est que $A=B$ est une proposition (qui peut être vraie ou fausse) alors que quand on définit $A$, il n’est pas censé avoir de valeur « par défaut » et donc une égalité $A=B$ pour définir $A$ n’aurait pas énormément de sens formel (du moins sans rajouter des choses en plus).

Par pure curiosité, quel est le livre en question ?

Oui, comme l’a dit Holosmos pour $:=$. Certains auteurs écrivent aussi $\triangleq$ ou $\overset{\text{déf}}=$. Après (probablement parce que c’est un peu plus lourd), on l’utilise surtout quand c’est ce n’est pas clair qu’il s’agit d’une définition. Dans le même ordre d’idée, on utilise aussi $:\!\iff$ pour dire "c’est équivalent par définition".

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