Exercices sur les limites de suites

Ouais j’y pensais un peu mais du coup j’ai trouvé les propositions qui peuvent aider.

Prenons la forme $u_n = 1 + \frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}$. Du fait que l’ensemble des images des fonctions trigonométriques est l’intervalle $[-1;1]$ on peut dire que $\exists N_1 \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, (n \ge N_1 \implies n - \sin n \ge \cos n + \sin n)$ et que donc à partir de ce rang $N_1$, $\frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n} \le 1$, or comme $(-\sin n)$ est minorée et que obviously $\lim_{n \rightarrow + \infty} n = + \infty$ alors $\lim_{n \rightarrow + \infty} n - \sin n = + \infty$, on peut donc dire $\forall \epsilon > 0, \exists N \ge N_1, \forall n \in \mathbb{N}, (n \ge N \implies |\frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}| \le \epsilon$ ce qui équivaut à dire $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n} = 0$. Ainsi $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$.

On cherche la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de terme général $\frac{n+\cos n}{n - \sin n}$.

Notons que $n + \cos n = (n-\sin n) + (\cos n + \sin n)$ nous avons alors $u_n = 1 + \frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}$, or du fait que l’ensemble des images des fonctions trigonométriques est l’intervalle $[-1;1]$, $\cos n + \sin n$ varie dans $[-2;2]$ et $n - \sin n$ tend vers plus l’infini. Ainsi $\frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}$ tends vers 0 et donc $u_n$ tend vers 1.

Le suivant c’est :

La suite $(u_n)$ de terme général $(-1)^n e^n$ admet-elle une limite ? Et celle de terme $\frac{1}{u_n} ?

On remarque que $e^n$ tend vers l’infini et que $(-1)^n$ varie entre 1 et -1 ainsi $u_n$ n’est ni majorée ni minorée et ne peut donc pas accepter de limite.

Par contre pour la suite je vois bien que sa tend vers 0 mais comment expliquer que le $(-1)^n$ n’a pas d’importance ?

Considérons $|u_n|$ du fait que $|e^n|$ tends vers plus l’infini et que $|(-1)^n|$ est constante, $|e^n| \times |(-1)^n|$ qui est égal à $|(-1)^n e^n|$ tend vers plus l’infini et donc $\frac{1}{|u_n|}$ tend vers 0. Ainsi comme $\frac{1}{|u_n|}$ admet une limite, alors $\frac{1}{u_n}$ en admet une aussi.

Ah, j’essayerais de reformuler demain

On souhaite prouver que la suite $(v_n)$ de terme général $\frac{1}{(-1)^n e^n}$ admet une limite.

Nous savons que pour $n$ qui tend vers plus l’infini $e^n$ tend vers plus l’infini, ainsi $|v_n|$ tend vers $0$ et donc $v_n$ admet une limite et $\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n = 0$.

Le but de l’exercice suivant est de déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ de terme général $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$. Je pense avoir trouvé (et j’en suis assez content ).

Nous souhaitons déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ de terme général $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$. Notons que $n+1 = n(1+\frac{1}{n})$ nous avons alors $u_n = \sqrt{n(1+\frac{1}{n})} - \sqrt{n}$ or comme $\frac{1}{n}$ tend vers 0, $\sqrt{n(1+\frac{1}{n})}$ tend vers $\sqrt{n}$¹ et donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} \sqrt{n(1+\frac{1}{n})} - \sqrt{n} = 0$.

Hum, et comment je reviens au problème initial ? Il faut considérer la limite de $\sqrt{n} \left (\left(1+\frac{1}{n}\right) - 1 \right)$ ?

T’es pas loin du tout, poursuis le calcul

Edit : ah bah sans l’erreur c’est tout de suite moins direct…

Wait, y a une erreur, j’ai oublié la racine pour $1+\frac{1}{n}$ du coup on a $\sqrt{n} \left(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1 \right)$. C’est valide de dire que du faite que $\sqrt{n}$ tend vers plus l’infini et $\sqrt{1+\frac{1}{n}} - 1$ tend vers 0, le produit des 2 tend vers 0 ?

Je dois t’avouer que je suis un peu dérouté là.

Effectivement, on trouve $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$ or comme $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ tend vers plus l’infini, son inverse tend vers 0.

Du coup rédigé on a ça :

Nous souhaitons déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ de terme général $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$. Notons que $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$, ainsi comme $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ tend vers plus l’infini, son inverse tend vers 0. On conclut que $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = 0$.

La consigne suivante est identique mais est pour $v_n = \frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$, ça ressemble pas mal à une précédente question du coup on aurait :

Nous cherchons la limite de la suite $(v_n)_{n\ge 1}$ de terme général $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$. Or nous savons que la fonction sinus est minorée et que le logarithme naturel tend vers plus l’infini ainsi $\sin n + \ln n$ tend vers plus l’infini. Or comme la fonction cosinus est majorée par 1, $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$ tend vers 0. Donc $\lim_{n\rightarrow + \infty} v_n = 0$.