Exercices sur les limites de suites

Salut à tous,

je suis en train de faire les exercices de la page 8 de ce cours sur les suites et étant donné qu’ils ne proposent pas de corrections j’aimerais bien que vous me corrigeriez.

J’ai commencé avec cet énoncé :

Trouver la limite de la suite $(u_n)$ de terme général:

$$u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{1+n+n^2}$$

Considérons les suites $(v_n)$ et $(w_n)$ tel que $v_n = 2 + \frac{1}{1+n+n^2}$ et $w_n = 2 - \frac{1}{1+n+n^2}$. alors pour tous $n$ entier naturel, $w_n \leqslant u_n \leqslant v_n$. Or $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{1}{1+n+n^2} = 0$ et donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} v_n = \lim_{n \rightarrow + \infty} w_n = 2$. Ainsi par le théorème des gendarmes $u_n$ converge et $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = 2$.

Merci d’avance pour votre aide

Ok merci.

Par contre pour le suivant l’énoncé est :

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n = \frac{2n+1}{n+2}$. En utilisant la définition de limite montrer que $\lim{n \rightarrow + \infty} u_n = 2$. Trouver explicitement un rang à partir duquel $1,999 \leqslant u_n \leqslant 2,001$

Est-ce qu’il suffit de résoudre l’inéquation $1,999 \leqslant u_n \leqslant 2,001$ ?

Ok, je n’avais pas remarqué cette forme mais du coup on a par la définition de limite $|2-\frac{3}{n} -2| \leqslant 0,001$ de laquelle on conclu que $n \geqslant 3000$ et du coup pour le lien on peut dire que comme $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{3}{n} = \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{3}{n+2} = 0$ et $\forall n \in \mathbb{N}, \frac{3}{n} \geqslant \frac{3}{n+2}$, $(u_n)$ converge plus vite vers 2 et donc que $1,999 \leqslant u_{3000} \leqslant 2,0001$.

C’est terriblement mal dit, mais la valeur est bonne (dommage).

Je dois t’avouer que je ne sais pas trop comment rédiger le lien entre les 2 suites et que je voulais pas rédiger vainement quelque chose qui est faux étant donné que j’ai actuellement que 9 doigts pour taper au clavier ce qui n’est pas très pratique.

Il n’y a pas de questions bêtes, que des réponses bêtes…

Donc si je reprends depuis le début ça fait :

On veut montrer que la limite pour $n$ qui tend vers l’infini de $u_n = \frac{2n+1}{n+2} = 2 - \frac{3}{n+2}$ vaut 2. Considérons $v_n = 2 - \frac{3}{n}$ nous avons alors $2 - v_n \ge 2 - u_n \ge 0$ de plus par la définition de limite nous avons

Et donc $0.001 \ge 2 - v_{3000} \ge 2 - u_{3000} \ge -0.001$

Pour le suivant je vois pas comment faire, voici l’énoncé

Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de terme général $\frac{n+\cos{n}}{n- \sin{n}}$ et trouver un entier $N$ tel que si $n \geqslant N$, on ait $|u_n - l| \leqslant 10^{-2}$

Il faut utiliser une identité trigonométrique ?

Ta conclusion correspond pas. Tu veux montrer quoi ? Que la limite de $u_n$ c’est $2$ ?

Non. Observe que $n+\cos n = (n-\sin n)+(\cos n+\sin n)$

Oui il faut montrer que $\lim_{n\rightarrow + \infty} u_n = 2$

On est d’accords qu’il ne s’agit pas du même sujet, hein ?

edit : ah oui j’avais pas vu la première partie. Bah ça il faut que tu le fasses proprement comme le tout premier

Ah donc il suffit de remarquer que comme $\lim_{n\rightarrow + \infty} \frac{3}{n+2} = 0$¹ alors $\lim_{n\rightarrow + \infty} 2 - \frac{3}{n+2} = 2$

Pour moi c’est clair. Mais visiblement l’exercice demande de revenir à la définition de limite. C’est-à-dire pour un $\epsilon>0$ donné, trouver $n_0$ de sorte que blablabla

Je vois pas pourquoi il faudrait repasser par la définition de limite alors qu’on a des propositions qui suffisent largement. On peut dire que $\lim_{n \rightarrow + \infty} n +2 = +\infty$ donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{1}{n+2} = 0$ et $\lim_{n \rightarrow + \infty} 3 \times \frac{1}{n+2} = 3 \times 0 = 0$ et enfin $\lim_{n \rightarrow + \infty} 2 - \frac{3}{n+2} = 2 - 0 = 2$

Pas moi qui ait écrit l’exercice

Simple constatation, ce n’était pas contre toi

Hum, du coup j’ai $u_n = 1+\frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}$ et je vois pas trop, faut-il continuer de développer l’expression pour en sortir une forme plus expressive, encadrer la suite comme le premier exo ou est-ce que je pourrais déjà conclure ?

C’est bon je pense avoir trouvé, reprenons la forme précédemment citée, id est $u_n = 1 + \frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n}$. Du fait que l’ensemble des images des fonctions trigonométriques est l’intervalle $[-1;1]$ on peut dire que $\exists N \in \mathbb{N}, \forall n \in \mathbb{N}, (n \ge N \implies n - \sin n \ge \cos n + \sin n)$ et que donc à partir de ce rang $N$, $\frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n} \le 1$ et donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\cos n + \sin n}{n - \sin n} = 0$ ainsi $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = 1$.