Exercices sur les limites de suites

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Du coup rédigé on a ça :

Nous souhaitons déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ de terme général $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$. Notons que $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$, ainsi comme $\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$ tend vers plus l’infini, son inverse tend vers 0. On conclut que $\lim_{n \rightarrow + \infty} u_n = 0$.

La consigne suivante est identique mais est pour $v_n = \frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$, ça ressemble pas mal à une précédente question du coup on aurait :

Nous cherchons la limite de la suite $(v_n)_{n\ge 1}$ de terme général $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$. Or nous savons que la fonction sinus est minorée et que le logarithme naturel tend vers plus l’infini ainsi $\sin n + \ln n$ tend vers plus l’infini. Or comme la fonction cosinus est majorée par 1, $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$ tend vers 0. Donc $\lim_{n\rightarrow + \infty} v_n = 0$.

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Ok, cela nous donne donc :

Nous cherchons la limite de la suite $(v_n)_{n\ge 1}$ de terme général $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$. Or nous savons que la fonction sinus est minorée et que le logarithme naturel tend vers plus l’infini ainsi $\sin n + \ln n$ tend vers plus l’infini. Or comme la fonction cosinus est bornée par -1 et 1, $\frac{\cos n}{\sin n + \ln n}$ tend vers 0. Donc $\lim_{n\rightarrow + \infty} v_n = 0$.

Le dernier exercice à la même consigne avec $w_n = \frac{n!}{n^n}$. Là je vois bien que ça tend vers 0 puisqu’on a

$$\frac{n!}{n^n} = \frac{\prod_{i=1}^{n}i}{\prod_{i=1}^{n}n} = \frac{1}{n} \times \frac{2}{n} \times \frac{3}{n} \times \dots \times \frac{n-2}{n} \times \frac{n-1}{n} \times \frac{n}{n} $$

où, hormis $\frac{n}{n}$ qui peut-être enlevé, tous les termes tendent vers zéro.mais je ne trouve pas comment le formaliser, j’ai commencé par simplifier en $\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}$ mais après ça bloque.

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On souhaite déterminer la limite de la suite $(w_n)_{n \ge 1}$ de terme général $\frac{n!}{n^n}$. Notons que $\frac{n!}{n^n} = \frac{n!}{n^{n-1}} \times \frac{1}{n}$ ainsi du fait que $n! \le n^{n-1}$, $\frac{n!}{n^{n-1}}$ est borné par 0 et 11. Or $\frac{1}{n}$ tend vers zéro donc $\lim_{n \rightarrow + \infty} w_n = 0$.

  1. borné entre 0 et 1 ça veut rien dire ? ↩

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Bon on a tout fait après ce sera sur les exemples remarquables de suite mais je ferais un autre sujet.

Merci beaucoup à toi Holosmos pour ton aide, tes remarques et ta patience.

Et merci aussi à Ozmox qui est passé par là et qui m’a passé ce cours :).

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