Principe d'incertitude

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Bonjour à tous,

J’ai vu aujourd’hui en cours plus formellement le principe (ou théorème…) d’incertitude d’Heisenberg et la démonstration de celui-ci à une dimension. J’ai eu du mal à comprendre comment il a dériver cette expression. Tout d’abord, il commence par définir deux opérateurs quelconques ${\hat A}$ et ${\hat B}$ pour ensuite définir les espérances $\langle A\rangle = \int {{\psi ^*}(x)\hat A} \psi (x)dx$ et $\langle B\rangle = \int {{\psi ^*}(x)\hat B} \psi (x)dx$ (où $\psi $ est, je suppose, trivialement la fonction d’onde associée et $A$ et $B$ les observables, i.e. les valeurs propres).

Ensuite, on a $\Delta A = \sqrt {\langle {A^2}\rangle - {{\langle A\rangle }^2}} $ (écart-type) et de même pour $B$. Jusque là ça va assez bien. Puis, il définit $\hat \bar A = \hat A - \langle A\rangle $ et $\hat \bar B = \hat B - \langle B\rangle $ . Déjà ici je vois pas ce que ça signifie / d’où ça vient. Il dit par la suite que $\Delta {A^2} = \langle {{\bar A}^2}\rangle $ et $\Delta {B^2} = \langle {{\bar B}^2}\rangle $ (OK, par définition).

Finalement, il part à définir $\hat C = \hat \bar A + i\lambda \hat \bar B$ et son conjugué $\hat C* = \hat \bar A - i\lambda \hat \bar B$ et calcule ensuite l’espérance du produit des deux:

$$\langle CC*\rangle = \langle (\bar A + i\lambda \bar B)(\bar A - i\lambda \bar B)\rangle = \langle ({{\bar A}^2} + {\lambda ^2}{{\bar B}^2} - i\lambda \left[ {A;B} \right]\rangle \ge 0$$

Encore une fois, je vois pas comment on peut définir cet opérateur et pourquoi il calcule son espérance…

Nommons ensuite $\langle ({{\bar A}^2} + {\lambda ^2}{{\bar B}^2} - i\lambda \left[ {A;B} \right]\rangle = f(\lambda )$ et calculons $\frac{{df(\lambda )}}{{d\lambda }} = 0 \Leftrightarrow {\lambda _{\min }} = \frac{{i\left[ {A;B} \right]}}{{2\Delta {B^2}}}$ afin d’avoir un minimum.

Finalement, il remplace et calculer $f({\lambda _{\min }})$ et obtient $\Delta {A^2}\Delta {B^2} \ge - \frac{1}{4}{\langle \left[ {A;B} \right]\rangle ^2} = - \frac{1}{4}{(\int {\psi *(x)\left[ {A;B} \right]} \psi (x)dx)^2}$. On peut ensuite prendre les opérateurs de la quantité de mouvement et de la position $x$ pour obtenir l’équation désirée.

Si quelqu’un pouvait donc m’expliquer plus en détail la "démonstration" (probablement peu rigoureuse mathématiquement ayant été faite en 10 minutes) à partir du moment où il définit ${\hat \bar A}$ ça m’aiderait grandement ! :)

Merci d’avance!

Edit: Je remarque que le LaTex ne passe pas avec une barre et un chapeau.. Je laisse quand même comme ceci, ça sera je pense plus simple pour comprendre sinon on risque de confondre avec le reste.

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Tu parles de $\hat{\bar{A}}$ ? (il faut des accolades avec, sinon TeX s’emmêle les pinceaux, donc \hat{\bar{A}}$).

Bon, au delà de ça, ton prof à l’air d’être parti sur la version de Robertson–Schrödinger (je savais pas que ça s’appelait comme ça), qui essaye de faire le parallèle avec de la statistique, et donc essaye de définir une variance. La démonstration de Wikipédia (celle du cadre gris) est du coup assez claire (à un ou deux détails près), donc on peut partir là dessus, et tu peux nous dire ce que tu ne comprend pas dans celle là :)

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Banni

Déjà ici je vois pas ce que ça signifie / d’où ça vient.

Pour le $\hat{\bar{A}}$, c’est simplement le vecteur dont la norme est appelée écart-type. L’espérance projette orthogonalement une variable aléatoire sur l’espace des variables constantes. La distance d’une variable aléatoire au sous-espace des variables constantes est l’écart-type.

Imagines en 2d, tu tires à pile ou face et ta variable aléatoire va prendre une valeur $x$ si tu tires pile et une valeur $y$ si tu tires face. L’espérance (la moyenne de $x$ et $y$), c’est la projection sur la droite $x=y$. L’écart-type, c’est la distance à cette droite, soit la distance à la projection.

Ensuite je ne sais pas ce qu’est l’incertitude de Heisenberg.

+1 -0

C’est une formulation maladroite (enfin je trouve)…

Si tu as accès au Cohen-Tannoudji tu as exactement la même démonstration mais faite de manière plus adroite.

L’objectif de la démonstration est de montrer que deux opérateurs d’observable $A$ et $B$ quelconque vérifie la relation suivante :

$\Delta A \Delta B \geq \frac{1}{2} \mid \langle [A,B] \rangle \mid $

Ou $\Delta A$ est l’écart type

Ça veux dire que cette relation si elle est vrai pour l’opérateur impulsion et position et donne la célèbre relation, l’est également pour les composantes de l’impulsion, la position, le moment cinétique etc. (puisqu’ils ne commutent pas entre eux !).

L’idée de la démonstration plus clair c’est de dire soit un opérateur $A + i\lambda B$ avec A et B des opérateurs quelconque.

De pauser $\mid \phi \rangle = A + i\lambda B \mid \psi \rangle$ de calculer juste comme ça pour voir … $\langle \phi \mid \phi \rangle $.

De réaliser que $\langle \phi \mid \phi \rangle = \langle A^2 \rangle + \lambda^2 \langle B^2 \rangle+ i\lambda \langle [A,B] \rangle$

par dentition $\langle \phi \mid \phi \rangle \geq 0 $

Donc si on considère l’expression précédente comme un polynôme en $\lambda$ on sait que son discriminant est négatif ou au mieux zéro. D’ou:

$-\langle [A,B] \rangle^2 -4 \langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \geq 0 $

En d’autre terme : $\langle A^2 \rangle \langle B^2 \rangle \geq -\frac{1}{4} \langle [A,B]^2 \rangle$

Puis deux/trois bidouille et tu obtiens la relation d’incertitude.

On remarque que $\langle [A,B] \rangle $ doit nécessairement être complexe (pour le passage à la racine). En faite c’est une propriété des opérateurs hermitien leur commutateur est nécessairement un opérateur hermitien multiplié par un imaginaire pur.

edit: latex un peu plus lisible…

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Merci pour vos réponses. J’ai pris du temps pour répondre car j’ai regardé le Cohen-Tannoudji pour voir comment il la démontre et c’est effectivement plus propre et clair. Au final c’est quand même très beau mais je me demande comment ils ont pu imaginer poser $A + i\lambda B$…

Du coup, j’ai plus vraiment de questions sur le sujet car j’ai assez bien compris je pense. Simplement @Vael, quand tu notes $\left| {\left. \phi \right\rangle } \right.$ ça veut dire "opérateur" ? Et $\left\langle {\left. {\phi \left| \phi \right.} \right\rangle } \right.$ représente l’espérance ou quoi..? Juste question de m’habituer à vos notations aussi parce que je pense que j’aurai pas mal d’autres questions les semaines à venir :p

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Ben en général, $|A\rangle=\int A d\tau$, $\langle A|=\int A^\star d\tau$ ou $A^\star$ est le complexe conjugué de $A$

pierre_24

Heu c’est quand même formellement faux, même si je comprend l’idée, tu ne trouveras nul part cela.

par contre tu peux trouver :

$$|\phi\rangle=\int f(\nu)\mid u_{\nu} \rangle d\nu$$

dans le cas d’une base continue.

Mais je pense pas que ça éclair l’OP ^^

En faite en mécanique quantique il y a deux formalismes équivalent: le "formalisme ondulatoire" et le "formalisme de Dirac".

Dans la notation de Dirac on ne se préoccupe pas de la base (x ou p) de la fonction d’onde, la fonction d’onde est noté sous forme de vecteur. On ne parle plus de fonction d’onde mais de vecteur d’état ou "ket" : $ \mid \phi \rangle$

Et le produit scalaire entre deux vecteur d’etat comme ceci : $ \langle \psi \mid \phi \rangle$

Les fonction d’onde sont maintenant des vecteurs d’un espace vectoriel : l’espace vectoriel des états. En faite elles le sont aussi dans le formalisme ondulatoire, dans un espace vectoriel fonctionnel, mais c’est rarement introduit comme ça dans les premiers cours de mécanique quantique.

Dans le cas d’un espace munis d’une base discrète $ \mid u_i \rangle $ un vecteur d’état s’écrit :

$$\mid \phi \rangle = \sum_i \alpha_i \mid u_i \rangle $$

Dans le cas d’une base continu la même formule mais "intégrale" c’est celle que j’ai donné au dessus.

La valeur moyenne d’une observable (espérance de l’opérateur donc) s’écrit : $\langle A \rangle = \langle \phi \mid A \mid \phi \rangle $

Le formalisme de Dirac a l’avantage d’être plus léger.

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Oui mai c’est différent que d’écrire :

Ben en général, $|A\rangle=\int A d\tau$, $\langle A|=\int A^\star d\tau$

pierre_24

En l’occurrence $d \tau$ ça représente ici soit $dx^3$ soit $dp^3$ et A c’est soit $A(x)$ ou $A(p)$ donc si tu fait $\int A(x) dx^3$, tu calcul un genre de densité volumique qui ne contient pas d’info (unité en $m^{3/2}$). A partir du moment ou tu intègres simplement (sans rajouter une autre variable comme quand tu veux passer de r à p par exemple) tu écrases ton info et la perd, ça ne peut bien sur pas être un vecteur d’état !

Par contre avec

$\langle \Psi |\hat H| \Psi \rangle = \int \Psi^\star \hat H \Psi d\tau$. M

pierre_24

C’est différent, c’est toujours un nombre mais il a un intérêt ! C’est la valeur moyenne de H. Comme $\Psi$ peut être exprimer sur la base des fonctions de propre de $H$, notons $\Phi_i$ de valeur propre $\lambda_i$, disons que la base est discrète (mais ça change rien dans le fond)  : $\Psi(x) = \sum_i \alpha_i \Phi_e$

Et donc :

$\langle \Psi |\hat H| \Psi \rangle = \int \Psi^\star \hat H \Psi d\tau = \sum_i \lambda_i\mid\alpha_i \mid^2$

puisque les $\Phi_i(x)$ sont orthogonaux entre eux. Finalement ça représente bien la valeur moyenne de l’opérateur $H$.

Pour être un peu plus formel en notation ondulatoire on travail dans l’espace des fonctions de carré sommable. Les observables nous donnes des bases de cet espace (définition d’une observable), les fonctions d’onde (qui sont en faite des vecteurs dans cet espace vectoriel) se décomposent sur les vecteurs de base (qui sont les fonctions propre des observables)

Et on munis cet espace du produit scalaire : le produit scalaire de deux vecteurs $A(x)$ et $B(x)$ se note $(A,B) = \int A^*(x) B(x)dx^3 $

En notation Dirac on travail également dans un espace de Hilbert mais ce n’est pas un espace de fonction, c’est un espace abstrait, les vecteurs sont des… vecteurs et on peut pas aller plus loin ^^

En pratique comme en mécanique quantique on mélange allégrement notation Dirac et notation ondulatoire ça peut porter à confusion parfois. (comme ici je pense)

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Hum, d’accord je vois ! Pas trivial du tout cette notation de Dirac je trouve. Les notations que j’utilise dans mon premier post sont donc pas très formelles?

D’ailleurs je vous vois écrire $d\tau$ . Mon prof l’écrit toujours aussi mais on est d’accord que c’est équivalent à dire qu’on intègres sur le volume (d’où j’écris toujours $dV$ c’est plus clair…)

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Les notations que j’utilise dans mon premier post sont donc pas très formelles?

ZDS_M

Non ! non ! Il y a juste deux notations équivalente ! La notation ondulatoire que tu utilises, qui manipule des fonctions d’onde qui sont des fonctions de $\vec{x}$ ou de $\vec{p}$. C’est à dire on travail avec des fonction d’onde qu’on écrit usuellement : $ \psi(\vec{x}) $1 (ou $ \psi(\textbf{x}) $, les lettres en gras sont des vecteurs). D’ailleurs dans mes messages précédent j’ai oublié le vecteur donc c’est pas bien…

On peut également travailler avec le formalisme de Dirac, c’est strictement équivalent. On utilise alors des vecteurs d’état (équivalent de la fonction d’onde) qu’on note : $\mid \psi \rangle$

Il n’y en a pas une méthode plus formelle que l’autre. C’est juste des notations différentes qui ont leurs avantages et inconvénients. Comme mes messages précédant ne t’étais pas directement destiné ça n’est pas étonnant qu’ils t’embrouillent un peu :p .

En fait je pense que le mieux et de te limiter aux notations de ton prof, il introduira la notation de Dirac (bra-ket) en temps voulu. J’ai utilisé la notation de Dirac dans mon premier message (par habitude) sans penser que tu ne la connaissais pas. Mais le raisonnement marche même en notation ondulatoire ^^ .

D’ailleurs je vous vois écrire $d\tau$ . Mon prof l’écrit toujours aussi mais on est d’accord que c’est équivalent à dire qu’on intègres sur le volume (d’où j’écris toujours $dV$ c’est plus clair…)

ZDS_M

Ben chez moi, ça veut dire aussi le volume (ça m’arrive aussi de noter $d\mathbf{x}$ ou $d\vec{x}$). Ceci dit, pour pas dire de bêtises, j’attends la réponse de Vael :p

pierre_24

Ok, ca pour le coup c’est vraiment juste des notations. Si j’ai précisé c’était juste pour que ce soit bien clair pour tous le monde de quoi on parle. En faite moi j’ai pas l’habitude des $d\tau$.

Du point de vu de l’apprentissage je pense qu’il est important de noter quelque chose qui clairement indique la notion de volume (si on est dans le cas 3D), et encore mieux si ça indique la variable donc $dx^3$ (équivalent de dxdydz en plus compact) ou $dV_x$.

Et Pierre_24 va pas être content mais je suis pas pour $d\mathbf{x}$ ou $d\vec{x}$ :-° (pas taper, pas taper !). Qui usuellement représente un vecteur et non un volume, ce qui peux rajouter de la confusion ^^. Donc quand on a l’habitude et que dans sa tête l’objet manipulé est parfaitement identifié on peut bien utiliser la notation qu’on veux (bien que je pense ce soit une bêtise, ça va forcement conduire un moment à des erreurs), mais à partir du moment ou ça rentre dans une discussion avec plusieurs personnes et notamment des débutants, ça peut vraiment créer de la confusion.

Par exemple comme j’ai dit, j’ai omis par négligence le vecteur dans mes notations intégrale avec ensuite un $dx^3$, c’est con mais ça peux embrouiller.

  1. généralement on utilise les lettres $\psi$ et $\phi$, mais c’est notations ça n’a pas d’importance, tu peux utiliser $f$ si tu veux. Ce qui est important c’est de comprend que l’objet est une fonction de $\textbf{x}$ (ou de $\textbf{p}$) ↩

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Juste pour info, c’est quand même assez courant d’écrire $d p$ pour signifier $d p_1 + \dots + d p_n$.

À ma connaissance, quand on veut une forme volume, i.e. $dp_1\wedge dp_2\wedge dp_3$, on évite la notation $dp^3$. En effet, dans ce système de notations :

$$ dp^3 = (dp_1+dp_2+dp_3)^3 = (dp_1+dp_2+dp_3)\wedge \underbrace{(dp_1\wedge dp_2 + dp_1\wedge dp_3 + dp_2 \wedge dp_1 + dp_2\wedge dp_3 + dp_3\wedge dp_1 + dp_3\wedge dp_2)}_{ = 0} $$

En revanche si $\omega$ est une forme symplectique sur $M^{2n}$, alors localement on a $\omega = dp\wedge dq$ et $\omega^n$ est une forme volume. Ça permet d’écrire une forme volume comme $\omega^n$, mais attention au fait que $\omega$ n’est généralement pas exacte (c’est jamais le cas si $M$ est compacte), donc on ne peut pas écrire $dx^n$ très souvent.

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@pierre_24 : mais non, faut pas ^^ . @Holsmos : La vérité c’est que je voulais écrire $d^3x$… :honte: Notation qui est la notation généralement utilisé (enfin dans mes références, pour certain c’est $d \tau$ visiblement ! ^^ )

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Développe ton propos en terme compréhensible par les non-mathématiciens si tu veux échanger dessus…

Sinon de faite c’est une notation communément utilisé en physique quantique pour designer dxdydz (ou $dx \wedge dy \wedge dz$ si tu veux l’exprimer comme une forme différentielle).

Peut être que cette notation en mathématique signifie autre chose (peut être pas aussi, je ne sais pas). Pour moi c’est une bonne notation car elle rappelle qu’on travail à trois dimensions sur les variables de positions (respectivement d’impulsion si on utilise $d^3p$)

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En cohomologie (de De Rham) on préfère noter $d$ la différentielle extérieure. C’est un opérateur qui envoie une $n$-forme différentielle sur une $(n+1)$-forme différentielle.

Cette différentielle extérieure, c’est la différentielle usuelle lorsque $n=0$, c’est-à-dire pour les fonctions numériques.

En revanche, elle a des propriétés plus spéciales en dimensions supérieures, notamment le fait que $d^2 = d\circ d= 0$. (C’est ce qui permet de faire de la cohomologie.)

L’intérêt géométrique de cette notion, c’est que dans la formule de Stokes :

$$ \int_{\partial M} \omega= \int_M d\omega $$

le $d$ qui apparaît est celui de la différentielle extérieure. (La formule de Stokes est vraie pour toutes les $n$-formes différentielles, pas seulement les fonctions).

Quand on veut parler des dérivées successives, par exemple de la hessienne, c’est assez usuel d’utiliser un $D$ majuscule pour désigner la jacobienne (différentielle usuelle). Parce que, bien sûr, une hessienne, $D^2 f$, n’est pas toujours nulle contrairement à la $2$-forme différentielle $d^2 f$.

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