Différentielle d'une fonction

Bonsoir, j’ai deux petites questions concernant la différentielle d’une fonction. Pour ce post, on considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $I$.

• Pour $x_0 \in I$, on peut écrire $\tau(x_0, x_0+h) = f'(x_0) + \epsilon(h)$ où $\epsilon(h)$ tend vers 0 avec h. De ce fait, on a $\Delta y = f(x_0 + h) - f(x_0) = hf'(x_0) + h . \epsilon(h)$ où $h . \epsilon(h)$ est négligeable devant $hf'(x_0)$ ($\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{h . \epsilon(h)}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0} \epsilon(h) = 0$ d’où $h . \epsilon (h) \ll h \simeq hf'(x_0)$).

Alors, on forme le rapport $\frac{\Delta y}{hf'(x_0)} = 1 + \frac{\epsilon(h)}{f'(x_0)}$ qui tend vers 1 lorsque h tend vers 0.

Donc $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\Delta y}{hf'(x_0)} = 1$ (1). Dans mon livre il est écrit que la ligne précédente permet de déduire $\Delta y \simeq hf'(x_0) = dy$.

D’une part, je ne suis pas sûr de ce que j’ai écrit pour dire que $h . \epsilon(h)$ est négligeable devant $hf'(x_0)$. Ensuite, dans $dy = hf'(x_0)$, si on s’en tient à la relation (1), h doit-il un infinitésimal?

• Il est écrit un peu plus loin dans le livre que pour l’application identité on a $id'_x = 1$ d’où $dy = h$ et puisque l’on peut définir $id$ par $y = x$, on a $dx = h$. Ensuite, ils disent que l’on peut en déduire que $dy = f'(x)dx \iff f'(x) = \frac{dy}{dx}$ mais ce qui est écrit un peu avant (avec $id$) ne semble pas tenir comme une démonstration, ça ressemble plutôt à un exemple. En effet, si je prend la fonction cube par exemple, on a $y \neq x$…

Merci de bien vouloir m’éclairer!

Je vois un peu où tu veux en venir, je pense qu’il faut avoir fais un minimum de topologie/géométrie différentielle pour se pencher sur le sujet. En fait, j’ai fait de la chimie ce week-end, et lors du chapitre de cinétique chimique, il y a des $dtruc$ partout. Et puis je me suis rappelé qu’un de mes livres abordait la chose de manière certes assez peu conventionnelle, mais je voulais au moins avoir une petite définition mathématique en tête afin de faire le rapprochement avec la dérivée.

Mais finalement, si $dy$ est une approximation de l’accroissement $\Delta y$ de $f$ alors on peut considérer cela comme de petites quantités de $f(x)$, physiquement parlant.

C’est parce que la fonction cube n’est pas la fonction identité.

Dans ce cas, pourquoi la relation $d_x = h$ tient toujours?

Alors quoi?

Hum, j’ai un petit peu de mal à comprendre.

C’est parce que la fonction cube n’est pas la fonction identité.

Dans ce cas, pourquoi la relation $d_x = h$ tient toujours?

Je comprends pas ce que tu écris. C’est quoi $d_x$ ?

$dx$, j’ai mal écrit.

Et pourquoi on aurait encore $dx = h$ ?

Et bien il est écrit que pour la fonction identité, $dy = h$ et puisque $y = x$, on peut écrire $dx = h$. Ensuite, il y a une généralisation en disant que pour toute fonction $f$ définie et dérivable sur $I$, $\forall x \in I, dy = f'(x)dx$. Mais pour f la fonction cube par exemple, on n’aurait pas $dx = h$…

Je pense que tu n’as pas compris la preuve. Mais pour te l’expliquer il faudrait que je sache ce qui est pris pour définitions. C’est quoi d’après ton bouquin $dx$ et $dy$ ?

J’ai compris la preuve pour $dy$. C’est une approximation de l’accroissement de $f$, $\Delta y$, produit de la dérivée par un infinitésimal $h$. Ce que je ne comprends pas, c’est que le livre prend un exemple avec id pour lequel $dy = dx = h$, puis généralise.

Écoute, va falloir que tu me fasses un minimum confiance. Je peux t’aider mais il faut que tu me précises ce dont j’ai besoin pour te faire une preuve.

Je pense que c’est un exemple (mais je voie pas ce qu’il apporte donc je me plante peut être).

A partir du moment ou tu as montré que $dy = hf'(x_0)$ (et $dx=h$ par définition) alors il s’ensuit que $ dy = f'(x_0)dx $ ou de manière équivalente : $ f'(x_0) = \frac{dy}{dx} $

Par contre pour la fonction cube tu as $dx=h$, cette relation est tous le temps vrai. Le principe de la dérivée c’est que $x$ augmente par une quantité "définis" et puis de regarder comment varie $y$, du coup $dy \neq h$

En relisant ton message le soucis vient peut être de la : il n’est jamais définis $dx$, c’est ça ? Le seul moment ou il commence à en parler c’est avec l’identité ?

Oui.

Écoute, va falloir que tu me fasses un minimum confiance. Je peux t’aider mais il faut que tu me précises ce dont j’ai besoin pour te faire une preuve.

$dy$ est une approximation de l’accroissement $\Delta y$ de la fonction $f$ selon l’accroissement $h$ de la variable x. C’est le produit de la dérivée de $f$ en $x_0 \in D_f$ par un infinitésimal h. Il suffit pour cela d’étudier la limite quand x tend vers 1 du rapport : $\frac{\Delta y}{hf'(x_0)}$.

$dx$ est introduit comme étant égal à l’accroissement de la variable x (h) mais j’ai l’impression que la preuve utilisée (celle avec l’identité) n’est qu’un exemple et c’est sur ce point que j’ai besoin d’aide.

Si ça suffit à Holosmos…

Pour moi tu n’as pas de définition, mais juste une idée informelle des objets en jeu … Mais c’est bien toute la difficulté de la chose.

En effet, c’est une notion qui semble assez difficile d’accès quand on débute dans la discipline mais qui est pourtant tellement utilisée en physique/chimie! Si tu as donc une autre preuve plus formelle, au passage… Mais je souhaiterais tout de même comprendre la chose avec l’identité.

Dans le pire des cas, tant que j’ai pas vraiment le niveau, je considère dx et dy comme deux nombres que je manipule dans $\mathbf R$ (ce que tu as écris au-dessus).

Après, je comprend tout-à-fait ce que tu dis quand tu parle d’une idée informelle, j’ai pas non plus l’impression d’avoir totalement saisis le concept, étant donné les notions sous-jacentes mises en jeu. Comme je t’ai dis, j’essaye d’avoir une idée du concept et de comprendre comment l’aborde mon livre.

Enfin ça serait sympa si quelqu’un peut se manifester pour m’expliquer l’histoire de l’identité. C’est en fait ce qu’a relevé Vayel.