J’ai un problème que je cherche a résoudre depuis pas mal de temps déjà : trouver une équation horaire de la vitesse et de la position d’un corps qui chute et qui est soumis a une force de frottement.
Je connais les bonnes formules, on les trouve assez facilement sur Internet, mais je ne comprends pas comment on arrive à ce résultat.
Donc, on part d’abord de l’accéleration du corps, qui vaut $ a(t) = g - Cv^{2} $, et de là, on peut tenter d’integrer en fonction du temps, pour trouver la vitesse. (A noter que j’ai un niveau TS, donc à partir de là ça devient dur pour moi.)
Donc je tombe sur ce resultat pour la vitesse, $ v(t) = gt - Ctv^{2} $ , qui est très probablement faux, et c’est là que j’ai besoin de vous, car je ne sais pas simplifier cette equation, et l’intégration me paraît foireuse.
Connais tu les dérivées, les primitives, les équations différentielles ?
Si tu as l’impression que je parle chinois, alors, il faut apprendre le chinois. Et si ça te parle, alors, normalement, tu connais les outils pour résoudre ton problème.
@Elegance : mouai, enfin y a une différence entre connaitre la notion d’équation différentielle et de primitive et de pouvoir résoudre n’importe quelle equa diff et n’importe quelle intégrale.
@Sami : A ton niveau tu peux facilement déduire la vitesse maximum atteinte par l’objet. C’est al vitesse pour laquelle l’accélération est…
Si tu veux résoudre l’équation différentielle :
$$ m\vec{a} = \vec{P} + C |v| \vec{v}$$
C’est possible (mais à ton niveau difficile).
Ici comme c’est une chute libre l’accélération selon $x$ et $y$ est nul on a juste l’équation selon $z$ (il faut aussi faire l’hypothèse que la vitesse initial est nul selon x et y). On peut alors écrire :
$$ m a_z = -mg + Cv^2$$
(ce que tu as déjà écrit)
ou
$$ \frac{dv}{dt} = -g + \frac{C}{m}v^2$$
Et à partir de la tu peux séparer ton équation une partie vitesse et une partie temporelle :
$$ \frac{1}{\frac{C}{m}v^2-g} dv = dt$$
Tu peux ensuite déterminer la primitive de chaque coté. Pour un Term S c’est (très) dur je pense.
Donc des indices :
changements de variable
$\frac{1}{1-x^2}$ ne serait pas la dérivée d’une fonction connu ?
@elegance : alors je connais seulement les dérivées/primitives mais je ne sais pas faire d’équations différentielles, j’irai me renseigner
@Vael : en effet, déterminer la vitesse limite est à ma portée
Merci bien pour la primitive de cette fonction, j’étais totalement bloqué, mais c’est vrai que cette façon là de faire a plus de sens physiquement (j’ai l’impression)
Et merci pour les indices ! Je m’attelle à l’exercice dès que j’ai un peu de temps libre ! Merci également de ne pas avoir dévoilé toute la réponse directement, c’est sympa de me laisser un peu de travail
Je vais faire un peu de pub, mais ça pourrait t’intéresser.
J’ai écrit un tutoriel dont l’exemple principal est une chute avec frottement. Il s’agit là de résoudre numériquement des équations différentielles. Ce qui pourrait être intéressant pour toi, c’est d’adapter mon exemple à ton problème, et comparer la solution analytique à la solution numérique.
Juste histoire de donner une méthode quasi équivalente (équivalente même en fait) mais pour t’éviter une séparation des variables et un changement de variable, tu peux écrire ton équation sous cette forme :
Une nouvelle fois, cette méthode est strictement la même que celle proposée par Veil, mais cette approche est plus TS que l’intégration à variables séparées je pense
EDIT : Aabu, je viens de voir ton tutoriel, ne penses-tu pas qu’il serait intéressant de parler d’odeint comme méthode alternative à celle d’Euler qui est un peu plus précise ? (Désolé du HS)
Bon je vais encore pas mal galérer je pense, j’ai pas vraiment compris le sens de la résolution d’équations différentielles, ça fait encore un peu magie noire pour le moment (d’ailleurs si vous avez de bons tutos sous la main, n’hésitez pas !)
@Vael : Je ne suis pas sûr de comprendre la dernière équations finalement :
$$
\frac{1}{\frac{C}{m}v^2-g} dv = dt
$$
C’est –en gros – une constante fois l’inverse de la vitesse au carré fois la dérivée de la vitesse qui est égale à la dérivée du temps : comment ce n’est pas une équation différentielle ?
@Aabu : merci pour le tuto, j’y ai jeté un oeil, il est plutôt sympa ! En fait la méthode d’Euler est ce que j’utilise quand je veux trouver la bonne réponse : avec un pas assez faible, on trouve quasiment tout le temps la bonne réponse avec une bonne précision, mais j’ignorais totalement qu’il s’agissait d’une approximation d’équations différentielles (la plupart du temps en tout cas.)
@BunshinKage : Bonsoiiir, en effet ça fait longtemps ! Bon en fait je suis plus sûr d’avoir le niveau de TS, à vrai dire x)
D’après mes recherches, $ tan^{-1}(x) $ est une primitive de $ \dfrac{u'}{u^{2} + 1} $, mais je sais pas si ça marche pour $ \dfrac{u'}{u^{2} - 1} $. (je ne pense clairement pas)
Bon je tente de trouver un peu des trucs, je profiterai de votre aide pour la correction.
Pour trouver une primitive de $\displaystyle x\mapsto\frac{1}{x^2-1}$ facilement, tu peux faire ce qu’on appelle une décomposition en éléments simples :
Et grâce à ça tu devrais pouvoir trouver une primitive facilement, puis tu pourras généraliser à $\displaystyle\frac{u'}{u^2-1}$.
Au passage, dans le tutoriel que t’as donné Ozmox :
Un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ est un ensemble tel que, pour $x$ et $y$ dans $E$ et $\lambda\in\mathbb{R}$, $x+\lambda\,y\in E$ (m’en voulez pas les puristes :D)
Un espace vectoriel est dit de dimension $2$ quand tu peux trouver $x$ et $y$ dans $E$ tels que $y$ ne puisse pas s’écrire sous la forme $\eta\,x$ avec $\eta\in\mathbb{R}$ et tels que tout élément $z$ de $E$ s’écrive comme combinaison linéaire de $x$ et $y$ (donc $z=\lambda\,x+\mu\,y$ avec $\lambda$ et $\mu$ réels). On dit alors que $(x,y)$ est une base de $E$. Par exemple, l’ensemble $\mathbb{C}$ des complexes est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $2$, car tout élément de $\mathbb{C}$ s’écrit comme combinaison linéaire de $1$ et $\mathrm{i}$ et l’on ne peut pas écrire $\mathrm{i}=\lambda\times1$ avec $\lambda\in\mathbb{R}$
Dès lors, si l’on considère par exemple l’équation différentielle $y''+y=0$, l’ensemble des solutions est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension 2 qui a pour base $(\sin,\cos)$. Cela signifie que toute fonction $f$ vérifiant cette équation différentielle s’écrit sous la forme $f=\lambda\,\sin+\mu\,\cos$ avec $\lambda$ et $\mu$ réels
Je suis conscient que ça fait beaucoup d’un coup, mais je pense que c’est l’essentiel à retenir et à comprendre sur les espaces vectoriels pour aborder ce cours, et je ne crois pas qu’il devrait y avoir d’autres points à problème que tu n’aurais pas abordé en TS
Btw :
@Vael : Je ne suis pas sûr de comprendre la dernière équations finalement :
$$
\frac{1}{\frac{C}{m}v^2-g} dv = dt
$$
C’est –en gros – une constante fois l’inverse de la vitesse au carré fois la dérivée de la vitesse qui est égale à la dérivée du temps : comment ce n’est pas une équation différentielle ?
Tout comme $\mathrm{d}t$ n’est pas la dérivée du temps, $\mathrm{d}v$ n’est pas la dérivée de la vitesse. En fait, ça s’appelle des différentielles, et tu peux voir ça comme "une petite variation de". La dérivée de la vitesse par rapport au temps, ce n’est pas $\mathrm{d}v$ mais $\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$. Ici, on sépare les variables temporelles et… de vitesse (quelle aisance !) pour pouvoir intégrer plus facilement en trouvant une primitive des deux côtés. Par contre je ne pense pas avoir le niveau pour te justifier ça mathématiquement, perso je sais juste que ça marche ^^’ C’est aussi un peu pour ça que je t’ai donné l’autre méthode d’ailleurs.
Pour $\mathrm{d}t$ et $\mathrm{d}v$, tu peux voir ça comme ça :
En posant $h=\mathrm{d}t$, même si c’est très moche, tu as l’idée : c’est une variation très petite de temps. De même, $\mathrm{d}v=v(t+\mathrm{d}t)-v(t)$ est un très petite variation de la vitesse.
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