Pour répondre à la deuxième question :
Pourquoi utilise t-on le nombre pi et pas une autre constante par ex pour ce genre de calculs ?
Comme l’a expliqué elegance, depuis les Grecs on utilise pi, et depuis c’est une habitude. Cela dit, plusieurs personnes militent pour utiliser $\tau$ (tau) plutôt que $\pi$, avec $\tau = 2\pi$. L’idée est que plein de formules font intervenir $2\pi$, et que ce serait beaucoup plus joli si on utilisait $\tau$ à la place.
Cela dit, utiliser pi ou tau, ça ne change rien de fondamental, donc la plupart des mathématiciens utilisent pi, parce que c’est lui qui est arrivé en premier. 
Looping : Après il y a des fois où c’est clairement pas évident de voir où intervient le cercle. Par exemple pour reprendre l’exemple de Demandred, $\int_0^\infty e^{-t^2}dt$, tu as une intégrale avec une exponentielle, et pouf, le résultat fait intervenir $\pi$. Certes comme une des résolutions passe par les coordonnées polaires, tu peux t’attendre à pi, mais perso je trouve que c’est plus un "hasard de calcul" qu’une explication.
Pareil pour la probabilité que deux nombres inférieurs à $N$ soient premiers entre eux, quand $N$ tend vers l’infini la probabilité tend vers $\frac 6 {\pi^2}$, même si c’est assez bien expliqué sur Wikipedia (et que de mémoire le $\pi$ de $\zeta(2)$ peut s’expliquer via les séries de Fourier), lier arithmétique et cercle, ça me semble pas intuitif. Et le pire, c’est que des formules comme ça il y en a plein : formule de Stirling, des fractions continues cheloues, etc. 
