Limite de n * sin(x/n) lorsque n tend vers l'infini

Démonstration douteuse

Le problème exposé dans ce sujet a été résolu.

Salut,

J’ai conjecturé que $\forall x \in \mathbb{R}, \displaystyle \lim_{n \to \pm \infty} n \sin\left(\frac{x}{n}\right) = x$.

J’ai trouvé une démonstration mais je suis pas sûr que j’ai le droit de faire ces opérations. De plus, je suis pas bien sûr de savoir comment rédiger ce genre de truc, donc tout conseil de rédaction est aussi la bienvenue.

Voici la démonstration en question:

Soient $x$ et $n$ des réels.

Si $x = 0$, on a $\displaystyle \lim_{n \to \pm \infty} n \sin \left( \frac{0}{n} \right) = 0 = x$

Sinon, si $x \neq 0$, on a $\displaystyle \lim_{N \to 0} \frac{\sin N}{N} = 1$ avec $N = \frac{x}{n}$.

On en déduit que $\displaystyle \lim_{\frac{n}{x} \to \pm \infty} \frac{\sin \left(\frac{x}{n}\right)}{\frac{x}{n}} = \lim_{\frac{n}{x} \to \pm \infty} \frac{n \sin\left(\frac{x}{n}\right)}{x} = 1$

On a donc $\displaystyle \lim_{\frac{n}{x} \to \pm \infty} n \sin \left( \frac{x}{n} \right) = x$

Or, $x$ est considéré comme une constante non nulle ici, donc $\displaystyle \lim_{\frac{n}{x} \to \pm \infty} n \sin \left( \frac{x}{n} \right) = \displaystyle \lim_{n \to \pm \infty} n \sin \left( \frac{x}{n} \right) = x$.

Ma question c’est est-ce que j’ai le droit de manipuler des limites de cette manière ?

Merci d’avance,

felko

+0 -0

Dans la ligne où tu introduis N, la formulation ne me plait pas. Tu dis Lim ( sin(N)/N )=1, avec N = x/n.

Le mot Avec ne me plait pas du tout.

Tu peux rappeler le résultat supposé connu Lim ( sin(N)/N )=1 Quand N tend vers 0.

Puis tu utilises ce résultat  : Posons n = x/N ( et non l’inverse N = x/n)

Avec ce changement de variable, le résultat connu devient … … et tu arrives à ce que tu voulais démontrer.

Ainsi tu as un cheminement bien linéaire du résultat connu jusqu’à l’égalité que tu voulais démontrer.

+0 -0

De plus, je suis pas bien sûr de savoir comment rédiger ce genre de truc, donc tout conseil de rédaction est aussi la bienvenue.

Qu’est-ce que tu as comme bagage ?

Une façon plus directe consiste à dire qu’un développement limité de $\sin(X)$ en $0$ à l’ordre $1$ est $X+o(X)$. De sorte que :

$$ n\sin \frac xn = n \frac xn + n o(x/n) = x + o(x)$$

et pour $x$ fixé, quand $n$ tend vers l’infini, $o(x)=o(1)$ tend vers $0$ et donc ça conclut.

+4 -0

La version sans bagage :

Si tu supposes que tu sais que $\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin\left(y\right)}{y} = 1$

Ben le cas x = 0 est trivial et par composition des limites tu as $\forall x \in \mathbb{R^*}, \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{x} \sin\left(\frac{x}{n}\right) = 1$

Et tu obtiens le résultat voulu en multipliant par $x$ de chaque côté.

Le théorème de composition des limites stipule:

Soit $f : D \to E$ et $g : E \to \mathbb{R}$, $a \in \bar{D}$, $b \in \bar{E}$, $c \in \bar{R}$.

Si $\displaystyle \lim_{a} f = b$ et $\displaystyle \lim_{b} g = c$

Alors $\displaystyle \lim_{a} g \circ f = c$

Ici, $f : z \mapsto z$ et $g : z \mapsto \frac{x}{z}$

Encore reste t-il à prouver que $\displaystyle \lim_{y \to 0} \frac{\sin\left(y\right)}{y} = 1$.

La version avec bagage :

Si $x = 0$ c’est trivial, et sinon comme

$\displaystyle sin(y) \sim_{y\to 0} y$

Donc $\displaystyle sin(\frac{x}{n}) \sim_{n \to +\infty} \frac{x}{n}$

Et en multipliant par $n$ tu as le résultat voulu (être équivalent ou tendre vers x est pareil lorsque $x$ est un réel non nul)

+2 -0

Ben par composition des limites tu as

Pour $x$ nul ça marche pas, il faut faire une distinction de cas comme le PO l’avait proposé.

Certes, je vais la rajouter.

Le théorème de composition des limites stipule:

L’hypothèse de continuité manque

Holosmos

Non, elle n’est pas nécessaire.

+0 -0
Banni

Si on pense à la limite en un point comme un prolongement de la fonction par continuité en ce point, c’est juste que la composée de fonctions continues est continue. Ça me rappelle un truc à ce propos, concernant la définition de limite au lycée : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf. Suivant la définition épointée, cela n’est plus vrai.

+1 -0

@Holosmo tu as oublié de multiplier le petit $o$ par $n$ dans ta preuve.

Les hypothèses s’écrivent

$$ \forall \epsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 \quad \forall x \in D \qquad |x-a| < \alpha \implies |f(x)-b| \leq \epsilon \\ \forall \epsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 \quad \forall x \in E \qquad |x-b| < \alpha \implies |g(x)-c| \leq \epsilon $$

Soit $\epsilon > 0$.

Soit $\alpha > 0$ tel que

$$ \forall y \in E \qquad |y-b| < \alpha \implies |g(y)-c| < \epsilon $$

Soit $\eta > 0$ tel que

$$ \forall x \in D \qquad |x-a| < \eta \implies |f(x)-b| < \alpha $$

On a donc trouvé $\eta > 0$ tel que

$$ \forall x \in D \qquad |x-a| < \eta \implies |f(x)-b| < \alpha \implies |g(f(x))-c| < \epsilon $$
+0 -0

@Holosmo tu as oublié de multiplier le petit o par n dans ta preuve.

Yep je corrige ça, bien vu.

Les hypothèses s’écrivent

$$ \forall \epsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 \quad \forall x \in D \qquad |x-a| < \alpha \implies |f(x)-b| \leq \epsilon \\ \forall \epsilon > 0 \quad \exists \alpha > 0 \quad \forall y \in E \qquad |x-b| < \alpha \implies |g(x)-c| \leq \epsilon $$

Soit $\epsilon > 0$.

Soit $\alpha > 0$ tel que

$$ \forall y \in E \qquad |y-b| < \alpha \implies |g(y)-c| < \epsilon $$

Soit $\eta > 0$ tel que

$$ \forall x \in D \qquad |x-a| < \eta \implies |f(x)-b| < \alpha $$

On a donc trouvé $\eta > 0$ tel que

$$ \forall x \in D \qquad |x-a| < \eta \implies |f(x)-b| < \alpha \implies |g(f(x))-c| < \epsilon $$
x4rkz

Ok vu comme ça je suis d’accord. Mais c’est simplement parce que l’hypothèse de continuité est incluse, donc c’est bien nécessaire, bien que déjà présent.

C’est par réflexe que j’ai dit que l’hypothèse de continuité manquait parce que selon les auteurs, les définitions des limites peuvent plus ou moins varier, et que de toute façon après (i.e. plus tard dans les études) on manipule rarement des limites mais plutôt des données topologiques plus générales.

+0 -0

Je viens de voir qu’il y avait une autre définition.

En effet sous cette définition cache l’hypothèse de continuité mais pas totalement, en effet, $a$ peut simplement ne pas être dans $D$ par exemple (la continuité en a n’a aucun sens puisqu’elle n’y est même pas définie.

Cette autre définition est elle répandue ? Je trouve ça bizarre de dire que ça tend vers quelque chose en $a$ si ça n’a même pas cette valeur en $a$.

+0 -0

Cette autre définition est elle répandue ? Je trouve ça bizarre de dire que ça tend vers quelque chose en a si ça n’a même pas cette valeur en a.

C’est en fait plus proche de ce qu’on entend par "tendre". Quand on "tend" vers un objet, c’est assez naturel de se dire qu’on ne cherche pas à le toucher directement.

Par ailleurs, c’est plutôt utile dans des situations où une fonction n’est pas définie là où on évalue une limite. Il y a évidement un candidat naturel si une limite existe, mais d’un point de vue de la pratique, ça demande moins de précautions.

Si je te demande qu’elle est la limite en $1$ de

$$\frac{x^2-2x+1}{x-1}$$

et que tu ne fais pas de manipulation préliminaire, tu ne pourras pas regarder directement cette limite avec ta définition. Là où une limite épointée en $1$ te permettra quand même d’étudier la chose.

Après ça reste de l’ordre esthétique, c’est pas bien différent et/ou important.

+0 -0

La limite en $0$ vaut $-1$, tu voulais dire la limite en $1$ ?

Dans ce cas, si on utilise ma définition, la fonction écrit telle que n’est pas définie en $1$ donc la limite est $0$ puisque c’est sa limite de chaque côté. Si tu la prolonges par continuité, c’est encore $0$ sa limite.

+0 -0

La limite en 0 vaut −1, tu voulais dire la limite en 1 ?

Ofc, désolé.

Dans ce cas, si on utilise ma définition, la fonction écrit telle que n’est pas définie en 1 donc la limite est 0 puisque c’est sa limite de chaque côté. Si tu la prolonges par continuité, c’est encore 0 sa limite.

Et si on chipote encore plus, on remarque que :

$$ \frac{x^2-2x+1}{x-1} = x-1$$

et donc en fait c’est bien défini. Mais bon, tout ça c’est de l’ordre de la rédaction.

+0 -0

La notation o(…) signifie ordre, ou ordre de grandeur. Quand n devient très grand, comment se comporte une certaine fonction f(n) ? C’est utilisé en particulier en algorithmique, pour évaluer : Quand je vais multiplier mon volume de données à traiter par 10, comment va évoluer mon temps de traitement ?

Si le temps de traitement évolue proportionnellement au nombre de données, on a une courbe du type temps = a*n+b, et on garde uniquement le terme de plus haut degré, sans le coefficient a : f(n) = o(n).

Si le temps de traitement est multiplié par 100 quand on multiplie le volumes de données par 10, on a probablement une courbe de type f(n) = an²+ bn+ c et on ne s’intéresse qu’au terme de plus haut degré : f(n) = o(n²).

On peut aussi avoir des courbes en o(n*log(n)) ou o(racine(n))

Enfin si le temps de traitement ne dépend pas de n, on a une courbe qui est une droite horizontale : y = a.

Et quand on parle d’ordre de grandeur, on prend le terme de plus au degré, sans le coefficient multiplicateur : o(1)

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