Exercice de Maths

En anglais

L'auteur de ce sujet a trouvé une solution à son problème.
Auteur du sujet

Bonjour,

J’ai une amie qui étudie les maths au USA. Elle m’a posé une question :

The region bounded by the curves $y = x$ and $y = x^2$ in the first quadrant of the xy-plane is rotated about the >y-axis. The volume of the resulting solid of revolution is : $\frac{\pi}{12}$, $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{3}$ or $\frac{2\pi}{3}$

Bon du coup, j’ai trouvé $\frac{\pi}{6}$ Mais j’ai pu bloquer sur pas mal de problèmes. Déjà la compréhension de l’anglais, des consignes mathématiques, la logique, les calcules, …

Ce que j’ai fait :

$$ \int_0^1 x - x^2 = \frac{1}{6} $$

Puis je multiplie par $2\pi$ ce qui me donne $\pi/3$.

J’ai fais une erreur non ? 😟

Merci d’avance :)

ache.one                                                            🦊

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Salut,

Ton intégrale (que je vais noter $A$) est l’aire entre les deux courbes, mais le volume n’est pas simplement $2\pi A$ (d’ailleurs on voit tout de suite que tu obtiens une aire d’un point de vue dimensionel, pas un volume). Tu vois bien que certaines parties de $A$ (les plus extérieurs) vont créer plus de volume lors de la rotation que les parties internes. Le volume total dépend donc de la répartition de $A$ autour de l’axe, pas seulement de l’aire elle-même.

Édité par adri1

I don’t mind that you think slowly, but I do mind that you are publishing faster. – W. Pauli

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Auteur du sujet

Je comprend à peu près ce que tu dis.

Mais je reste incapable de faire tourner la courbe $y = x^2$ (autour de l’axe y) et de calculer son volume (qu’on ferme le volume en faisant tourner $y=x$ ou avec le plan $y=0$).

ache.one                                                            🦊

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Je ne sais pas si c’est "visualiser" la forme qui te pose problème.

Si c’est le cas, peut-être que c’est plus ’visuel’ en prenant la courbe z=x² (et non y=x²), et en la faisant tourner autour de l’axe des z… et idem pour la demi-droite z=x

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Auteur du sujet

@Vael: Non pas vraiment. J’ai vu les coordonnées cylindriques mais pas son élément de volume. Du coup, j’essaye de me renseigner

@entwanne: ^^" Un ensemble de cylindres ?

@elegance: Non je visualise très bien le souflé retombé que forme y=x^2 entre 0 et 1. Je retire ensuite le solide que forme y=x. C’est pas vraiment le problème.

Pour moi, j’obtiens :

  • r le rayon qui varie de 0 à 1 (le rayon)
  • $\theta$ qui varie de $-\pi$ à $\pi$ (l’angle)
  • $y$ qui varie de $r^2$ à $r$. (la hauteur quoi)

Donc :

$$\int_{-\pi}^{\pi} \left( \int_0^1 \left( \int_{r^2}^r dy \right) dr \right) d\theta$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \left( \int_0^1 ( [x]^r_{r^2} ) dr \right) d\theta$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \left( \int_0^1 (r-r^2) dr \right) d\theta$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} ( [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]^1_0 ) d\theta$$
$$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{6} d\theta = [ x/6 ]^{\pi}_{-\pi} = \frac{\pi}{3}$$

Arf :'(

C’est pas faute d’essayer. Je comprend bien ce que tu veux dire adri1, mais j’arrive pas à savoir comment intégrer cette notion. Sur le Web, ça parle de centre de gravité ou de rayon moyen.

Je dois certainement me tromper sur le domaine de variation de une ou deux intégrale.

Mais j’arrive pas à comprendre pourquoi :(

Édité par ache

ache.one                                                            🦊

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Le problème n’est pas dans les domaines, mais ce que tu intègres. $\mathrm dy$ et $\mathrm dr$ sont des distances, mais $\mathrm d\theta$ c’est un angle. Donc ton intégrale est une aire, pas un volume. Quelle est la longueur d’un arc de cerle d’ouverture $\mathrm d\theta$ ?

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Auteur du sujet

@adri1: $rd\theta$ ?

Donc la première intégrale devrait être :

$$\int_{r^2}^r r dy $$

C’est ça ?

J’obtiens du coup $\frac{\pi}{6}$ ?

ache.one                                                            🦊

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C’est ça. C’est le théorème de changement de variables. Quand on prend un petit bout de la région plane à distance $r$ du centre, d’aire $A$, et qu’on la fait tourner d’un angle $𝜀$ très petit, ça ne donne pas $A × 𝜀$ comme volume mais $A × 𝜀 × r$.

PS : J’ai découvert hier le théorème de Guldin (ou Pappus en anglais), il s’applique ici (bien que plus compliqué que la méthode directe).

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@entwanne: ^^" Un ensemble de cylindres ?

ache

Imagine la sphère de rayon 1, dont tu voudrais calculer le volume. La méthode habituelle, c’est d’intégrer à partir de l’aire d’un cercle, et en voyant ta sphère en coupe comme des disques de rayon variable. En calculant la somme de chaque aire de disque multipliée par une hauteur infinitésimale, tu retombes sur le volume de ta sphère.

Mais tu peux aussi voir ta sphère autrement : elle est composée de cylindres concentriques. Du « cylindre » central de rayon 0 et de hauteur 2 jusqu’au « cylindre » à l’extrémité de la sphère, de rayon 1 et de hauteur 0. Entre les deux, tu auras une infinité de cylindre, comme celui de rayon $\frac{\sqrt{2}}{2}$ et de hauteur $\sqrt{2}$, ou celui de rayon $\frac{1}{2}$ et de hauteur $\sqrt{3}$. En intégrant la fonction d’aire de ces cylindres (l’aire latérale), tu retrouves là aussi le volume de ta sphère.

J’obtiens du coup $\frac{\pi}{6}$ ?

ache

Pour vérifier le résultat d’un calcul d’aire/volume, j’aime bien utiliser la méthode de Monte-Carlo. Ça te permet d’obtenir une valeur approchée et de savoir si tu es dans les clous.

Édité par entwanne

@ache: c’est bien ça.

@entwanne: Monte Carlo pour un résultat qui se calcule de tête ? o_O C’est pas un peu overkill ?

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Je ne sais pas, personnellement j’ai du mal à visualiser de tête le volume que ça peut avoir. Je vois la forme que ça a, mais ne connaissant pas intuitivement le volume du paraboloïde ou du cône, je ne vais pas plus loin.

Avec Monte-Carlo je suis sûr de l’estimation.

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