Problème de physique

Bonjour, je bloque à un problème de physique…

Un véhicule roule à 60km/h jusqu’à un instant $t_0 = 0,7s$ où l’automobiliste aperçoit un feu rouge puis freine à raison de $7m.s^{-2}$. Quelle est la distance parcourue entre le passage du feu rouge à $t_0$ et l’arrêt du véhicule?

Voici mon raisonnement :

Soit $\gamma, v$ deux fonctions qui modélisent respectivement l’accélération et la vitesse du véhicule à chaque instant $t$.

Pour $0 \leq t \leq t_0$ :

• $\gamma(t) = 0$.
• $v(t) = \int \gamma(t) dt = v_0 = 60km/h = 16,6 m/s$.

Pour $t_0 < t \leq t_2$, où $t_2$ correspond à l’instant où le véhicule se stoppe :

• $\gamma(t) = \gamma_0 = 7m.s^{-2}$.
• $v(t) = \gamma_0 t + v_1$.

On en déduit l’expression de la position $p(t)$ :

• $p(t) = v_0 t + p_1$ où $p_1 = cste$ pour $0 \leq t \leq t_0$.
• $p(t) = \int_{t_0}^{t_2} v(t) dt = [\dfrac{1}{2} \gamma_0 t^2 + v_1 t + p_2]^{t_2}_{t_0}$.

Mes problèmes :

• Je me perd dans les constantes. $v_1$ surtout, je ne suis pas certain de comment le déterminer. Mais aussi $p_1$ et $p_2$…

• Est-ce qu’on a $v(t_0) = v_0$ ou bien $v(t_0) = \gamma_0 t_0 + v_1$? Le problème que ça me pose, c’est que pour t entre $t_0$ et $t_2$ on a normalement $v(t) = \int_{t_0}^{t_2} \gamma(t) dt$ mais il semble que $t_0$ soit exclu…

J’ai fais un graphique, mon prof a nous a dis qu’il était possible de résoudre l’exercice graphiquement en interprétant l’intégrale comme l’aire sous le graphe de $t \mapsto v(t)$. Mais malheureusement, je n’ai pas suivi la correction.

Du coup, je m’adresse à vous. Merci d’avance.

Salut,

Tu peux répondre assez facilement à ce problème en repartant des principes de base.

Ce que tu connais, c’est la fonction accélération $\gamma$ et la vitesse initiale (60 km/h). Tu peux en déduire la vitesse à tout instant, parce que par définition :

Ensuite, tu peux en déduire la position, car par définition :

Si tu considères $t_2$ l’instant tel que $\gamma(t) = 0$, tu peux calculer la fameuse distance en faisant :

J’espère que ces indications t’aideront à éclaircir tes idées.

Pour ce qui est de la géométrie, pose toi ces questions :

• à quoi ressemble l’aire sous la courbe v(t) ?
• à quelle grandeur physique correspond-elle ?
• comment la calculer géométriquement ?

Salut,

Pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ? Le freinage est constant, tu peux en déduire le temps qu’il faut pour passer de 60 à 0 km/h. Tu peux également calculer très facilement la vitesse moyenne lors de ce freinage et enfin en déduire la distance parcourue. Pas besoin d’intégrer quoique ce soit, réfléchir au sens des termes et à leur dimension physique suffit…

Ouais, et ce que tu viens de dire revient à intégrer. Tu peux pas faire autrement, par définition. C’est pas parce que l’intégrale est simple que tu n’intègres pas.

Ton explication est d’ailleurs inutilement compliquée, puisque en vérité, il suffit de calculer l’aire d’un triangle. Pourquoi parler de vitesse moyenne alors qu’une multiplication suffit…

L’avantage de mon explication est d’être adaptée à tous les problèmes de ce type, sans astuce particulière.

Ouais, et ce que tu viens de dire revient à intégrer. Tu peux pas faire autrement, par définition. C’est pas parce que l’intégrale est simple que tu n’intègres pas.

Ben je suis désolé, mais non. Une intégrale, c’est rien de plus que la généralisation du produit entre deux constantes à des fonctions qui varient dans le temps. Quand tu as des constantes, tu fais un produit (au passage, la notion de vitesse instantanée n’est pas nécessaire pour résoudre cet exo, mais elle est nécessaire pour comprendre la formulation intégrale). La formulation par intégration fonctionnera, mais elle fait usage à des outils beaucoup plus puissants et complexes que nécessaire, masquant potentiellement le sens physique de ce qui se passe (la preuve, c’est qu’Ozmox semble un peu perdu avec les constantes d’intégrations et compagnie alors que comprendre ce qu’est une accélération constante physiquement suffit à résoudre le problème).

EDIT : pour revenir sur la définition, d’ailleurs, la définition pertinente à prendre est celle qui te facilite la vie pour résoudre ton problème. C’est ce qu’on voit à travers les simplifications dans n’importe quel papier ou cours scientifique où les simplifications ne sont que des changements de définition des objets pour les rendre plus simples (genre quand on apprend à calculer une vitesse moyenne au collège sans même savoir ce qu’est une intégration). Si tu définis l’accélération comme la dérivée temporelle de la vitesse, ça va marcher mais tu auras besoin d’intégrale. Si tu définis l’accélération comme simplement le rapport entre une variation de vitesse sur la durée de cette variation (dont la définition précédente est la limite pour une durée infiniment courte), tu n’as pas besoin d’intégration, seulement de produit. Comme l’accélération est constante, c’est la définition pertinente ici.

Ton explication est d’ailleurs inutilement compliquée, puisque en vérité, il suffit de calculer l’aire d’un triangle.

Perso je vois moins le lien entre ce problème et l’aire d’un triangle qu’entre ce problème et la vitesse moyenne de la voiture lors de la phase de freinage. Encore une fois, comprendre le sens physique me semble être beaucoup plus important que de se lancer dans des calculs comme un bourrin. Pourtant j’adore le formalisme mathématique, je le place juste derrière la compréhension physique.

L’avantage de mon explication est d’être adaptée à tous les problèmes de ce type, sans astuce particulière.

Oui, ça marche tellement dans tous les cas qu’en pratique on ne discrétise jamais les équations pour revenir à des produits de fonctions constantes par morceaux (qui sont comme par hasard les moyennes des fonctions continues, ou du moins c’est ce que l’on espère). On fait même ça tellement peu souvent qu’il n’y a pas un pan entier des mathématiques qui s’intéresse à la discrétisation des formes faibles des équations différentielles.

Sauf que la vitesse moyenne, on ne la connaît pas. Il se trouve (coïncidence…) que dans cette configuration, la vitesse moyenne est la moitié de la vitesse initiale, mais on ne peut pas l’affirmer comme cela, sans justification. Et donc même si on dit Distance = durée x vitesse-Moyenne, on ne peut pas conclure.

Mais revenons à la question d’Ozmox, qui se perd dans ses constantes… Effectivement il y a plein de constantes dans ton truc, et parmi ces constantes, il y en a qui sont totalement inutiles.

Ce qui se passe au début, tant que la voiture roule à 60km/h, on s’en moque. Est-ce qu’elle roule depuis 5mn ou depuis 1heure, on s’en moque. Le point de départ, c’est quand le conducteur commence à appuyer sur la pédale de frein.

On déclenche le chrono à ce moment là, et on mesure les distances à partir du point où se trouve la voiture à ce moment là. Ainsi, t0=0 ( c’est d’ailleurs dit dans l’énoncé), et p0=0 : position de la voiture à cet instant t0, début du freinage.

Je n’ai pas compris à quoi correspondaient tes p1 et p2, je pense qu’ils sont inutiles.

Sauf que la vitesse moyenne, on ne la connaît pas. Il se trouve (coïncidence…) que dans cette configuration, la vitesse moyenne est la moitié de la vitesse initiale, mais on ne peut pas l’affirmer comme cela, sans justification.

La valeur moyenne d’une fonction affine, une coïncidence ? Pas vraiment, on peut difficilement faire plus simple puisqu’il suffit de faire la moyenne des valeurs initiales et finales… C’est un truc qu’on voit bien avant de savoir ce qu’est une intégrale, c’est le même calcul que le milieu d’un segment.

Ainsi, t0=0

$t_0 = 0,7s$?

Je ne pense en effet pas que les constantes p1 et p2 aient une quelconque utilité. Toutefois, la constante $v_1$ semble bien en avoir une puisqu’on la retrouve dans $v(t) = \gamma_0 t + v_1$ pour t compris entre t0 et t2.

C’est l’énoncé qui t’impose cette valeur de $t_0$, ou il parle juste de $0,7s$ ? Car comme le dit elegance, la voiture aurait pu commencer sa course il y a 0,7s, 20 minutes ou 3 semaines, ça revient au même. Ton moment initial est celui où elle commence à décélérer.

Non non, il est bien écrit dans l’énoncé :

le conducteur ne réagit qu’au bout de 0,7s et freine de façon à décélérer à raison de 7m/s².

Donc c’est à partir de $t_0$ que ça devient intéressant il me semble.

D’après ce que tu nous dis dans le post initial, on ne comprend pas que le feu passe au rouge à 0s, la formulation laisser penser qu’il devient rouge à 0,7s.

Voici l’énoncé :

Une automobile se déplace à 60km/h, lorsqu’un feu de signalisation vire au rouge devant elle. le conducteur ne réagit qu’au bout de 0,7s et freine de façon à décélérer à raison de 7m/s². Quelle est la distance parcourue entre le passage du feu au rouge et l’arrêt du véhicule?

Ozmox tu devrais faire un dessin contenant toutes les données pour bien comprendre la situation. Ça ne sert à rien de se lancer dans des calculs en physique si l’on ne comprend pas ce qu’il se passe.

Si tu veux je peux poster une solution possible (assez canonique)

Effectivement, dans le problème on dit t0 = 0.7s, et non t0 = 0.

Mais on demande d’étudier ce qui se passe après t0. Pas la distance parcourue avant t0. Le fait d’avoir donné comme valeur t0=0.7s n’est qu’un piège. Un peu comme si on disait : Attention, il y a un passager dans la voiture. Cette information n’apporte rien. Tu peux donc effectuer un changement de variable, et compter les durées à partir du début du freinage.

Cependant, j’ai un peu peur d’une incompréhension dans l’énoncé. Tu peux dire que tu te demandes pourquoi on introduit ce 0.7s qui n’apporte rien à l’exercice, et donc dire : si on applique l’exercice à la lettre , la réponse est … et si on considère que le 0.7seconde en question est le temps de réaction du conducteur, et si il faut prendre en compte aussi le temps de réaction, alors la distance parcourue est de …

@Adri1 Si tu expliques que la vitesse suit une fonction affine, et si effectivement ce résultat est supposé connu, alors ok, pourquoi pas.

Mais on demande d’étudier ce qui se passe après t0. Pas la distance parcourue avant t0. Le fait d’avoir donné comme valeur t0=0.7s n’est qu’un piège.

Si on prend l’énoncé exact il n’y a aucune mention à un certain $t_0$, juste que l’on s’intéresse à la distance parcourue entre le passage au feu rouge et l’arrêt du véhicule, donc avec le temps de réaction inclus…

Effectivement il aurait fallu poster l’énoncé en entier dès le début…