Licence CC BY-NC-ND

Calcul approché d'intégrales

Dernière mise à jour :
Auteur :
Catégories :
Temps de lecture estimé : 1 heure et 15 minutes

L’intégration est un domaine très utile des mathématiques. Il sert notamment en physique (le calcul d’une intégrale permet de calculer des positions, des travaux, etc.). Le calcul d’intégrales est donc important et les mathématiciens ont développé plusieurs techniques pour calculer de façon assez simple la valeur exacte d’une intégrale (calcul de primitives, intégration par parties, etc.).

Ces techniques permettent de calculer plusieurs intégrales, mais pas toutes, et il existe des fonctions dont on est incapable d’exprimer les primitives à l’aide des fonctions usuelles, même si on sait qu’elles en admettent une (parce qu’elles sont continues par exemple). L’un des exemples le plus connu est (cette intégrale apparaît en probabilité) :

$$ \int_a^b \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{d}t. $$

En informatique, calculer la valeur exacte d’une intégrale est encore plus compliqué puisqu’on ne peut pas (en tout cas pas facilement) appliquer les techniques dont nous venons de parler.

Une solution pour quand même avoir la valeur de notre intégrale est d’en calculer une valeur approchée. Dans ce tutoriel, nous allons donc voir plusieurs méthodes pour calculer une valeur approchée d’une intégrale.

Ce tutoriel requiert quelques notions en mathématiques et plus particulièrement en analyse : il faut savoir calculer une intégrale et faire une intégration par partie. D’autres connaissances peuvent être un plus mais ne sont pas nécessaires pour comprendre le tutoriel. Des connaissances à propos de la complexité des algorithmes (voir ce tutoriel) pourront par exemple être utile mais ne sont pas indispensables. Ce tutoriel s’adresse principalement à un public en fin de lycée.

Introduction au problème

  1. Présentation du problème
  2. Approximation de la courbe
  3. Formalisation
  4. Algorithme et vérification

Performance et précision

  1. Les pentes c’est dangereux
  2. La méthode des trapèzes
  3. Algorithme de la méthode des trapèzes

La méthode de Simpson

  1. Principe de la méthode
  2. Calcul de l’intégrale
  3. Algorithme et tests

Calcul de l’erreur

  1. La méthode des rectangles
  2. La méthode des trapèzes
  3. La méthode de Simpson


C’est maintenant la fin de ce tutoriel. Nous avons vu trois méthodes pour calculer les intégrales. La méthode de Simpson est celle des trois qui converge le plus vite. Mais il existe beaucoup d’autres méthodes pour calculer les intégrales. Voyez la page Wikipédia à ce sujet, elle n’est pas complète et pourtant elle est déjà très longue. Le chemin à parcourir est encore long.

Dans tout le tutoriel nous avons calculé l’intégrale entre $0$ et $1$ de $x \mapsto \mathrm{e}^{-x^2}$. L’intégrale de cette fonction est très utilisée, notamment son intégrale entre $+\infty$ et $-\infty$. Pour des informations à propos de ce type d’intégrale, à savoir les intégrales de Gauss, nous pouvons regarder la page Wikipédia à ce sujet, et utiliser les différents programmes que nous avons codés pour obtenir quelques résultats.

Nous devons noter qu’un ordinateur est une machine qui fait des calculs avec une précision limitée. Ceci mène également a des erreurs d’approximation comme nous pouvons le voir dans certains contenus.

Je remercie Holosmos et Vayel pour leurs conseils d’écriture et leurs corrections. Merci également à adri1 pour ses conseils et son courage pour valider ce tutoriel.

8 commentaires

Hey ! Très bon tuto ! :D
En tant que première S, je n’ai pas compris tous les calculs - surtout vers la fin -, toutefois j’ai appréhendé la logique derrière, ce qui prouve la clarté de tes explications.
Alors chapeau ! :)

"I do not know but I do wanna know"

+2 -0

Applications :

  1. On vous donne les rayons $r_1$ et $r_2$ de deux cylindres "infinis" dans l’espace dont les axes se croisent de manière perpendiculaire. Calculez le volume de leur intersection.
  2. On vous donne les coordonnées des centres et le rayon de $n$ cercles dans le plan. Calculez l’aire de l’union de ces cercles (coordonnées en valeur absolue et nombre de cercles $\le 1000$).

Je vous attends sur le forum pour vos solutions (j’ai encore d’autres problèmes si il faut). :p

Content que le tutoriel plaise et remplisse son objectif. :)

Un exercice (plus simple que les applications de Lucas-84) : on se place sur $\mathbf{R}_+$, pour tout $\delta > 0$, trouver une fonction $f_{\delta}$ pour laquelle la méthode des rectangles donne une meilleure approximation que la méthode des trapèzes et que la méthode de Simpson avec un pas $\delta$.

Indice : pas la peine de se placer sur $\mathbf{R}_+$, on peut commencer par trouver des exemples très simple sur un intervalle fermé en faisant des dessins.

Édité par Karnaj

Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! - Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

+1 -0

Un bout de donut c’est une parabole, non ..?

Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! - Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

+1 -0
Vous devez être connecté pour pouvoir poster un message.
Connexion

Pas encore inscrit ?

Créez un compte en une minute pour profiter pleinement de toutes les fonctionnalités de Zeste de Savoir. Ici, tout est gratuit et sans publicité.
Créer un compte