Ajoutons une dimension

Hamilton se lance donc dans la quête d’un système de nombres à 3 dimensions, de la forme :
$a + ib + jc$

avec $i^2 = -1$ et $j^2 = -1$. Mais attention : $i$ n’est pas égal à $j$. Par analogie avec les nombres complexes, $j$ est perpendiculaire à $1$ et à $i$, ce qui donne la représentation géométrique suivante :

En ce qui concerne les opérations algébriques :

• L’addition de deux nombres ne lui pose aucune difficulté : elle se fait par addition des composants :
  $(a + ib + jc) + (a' + ib' + jc') = (a + a') + i(b + b') + j(c + c')$
• Et la multiplication ? Si on utilise les lois normales de l’algèbre (associativité, commutativité et distributivité), on obtient :
  $(a + ib + jc) \times (a' + ib' + jc') = (aa' - bb' - cc') + i(ab' + a'b) + j(ac' + a'c) + ij(bc' + c'b)$

Du coup, que vaut $ij$ ? Pour que la multiplication donne un nombre à trois dimensions, $ij$ doit être égal à un nombre de la forme $\alpha + i\beta + j\gamma$. Mais toutes les tentatives d’Hamilton pour trouver les coefficients $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ vont échouer. En effet, pour que ses nombres remplissent leur rôle géométrique, il faut que la multiplication obéisse à une autre règle : comme pour les nombres complexes, le produit des modules doit être égal au module du produit. Dit autrement, pour deux nombres $u$ et $v$, on doit avoir : $|u||v| = |uv|$.

C’est cette règle qui empêchera Hamilton de créer une algèbre cohérente en trois dimensions, comme nous le montrerons tout à l’heure. Sa quête durera treize ans ! Comme il le raconte dans sa biographie, tous les matins, ses enfants lui demandaient :

• Papa, can you multiply triples ?
  Ce à quoi il était obligé de répondre :
• No, I can only add and substract them.

Jusqu’à ce fameux jour d’octobre 1843…

Alors qu’il fait sa promenade matinale, Hamilton a une illumination ! Il sort son couteau et grave sur le pont de Brougham la formule suivante :
$\boxed{i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 }$

Cette formule semble défier les lois de l’algèbre. Et d’où sort ce $k$ ?
L’illumination qu’a Hamilton, c’est que le produit $ij$ ne donne pas un nombre à 3 dimensions, mais un nombre qui se trouve dans une autre dimension, perpendiculaire à $1$, à $i$ et à $j$ !
Il note ce nombre $k$. Comme l’axe contenant $k$ est perpendiculaire à l’axe des réels, par analogie avec $i$ et $j$, il pose $k^2 = -1$.
De même, il pose $jk = i$ et $ki = j$, ce qui donne $ijk = kk = -1$.

Il lui reste cependant une dernière difficulté à surmonter. En effet, imaginons le calcul suivant :
$-1 = k^2 = (ij)^2 = (ij)(ij)$
$-1 = ijij$ par associativité de la multiplication
$-1 = ijji$ par commutativité de la multiplication
$-1 = i(-1)i$ car $jj = -1$
$-1 = (-1)(-1)$ car $i^2 = -1$
$-1 = 1$ !!

Il lui faut résoudre ce problème très rapidement, sinon ses nouveaux nombres sont condamnés à disparaître aussi vite qu’ils sont apparus… Hamilton effectue alors un acte désespéré :

Il pose $ij = -ji$, ainsi que $ik = -ki$ et $kj = -jk$, ce qui résout le problème.

Le schéma suivant permet de se remémorer ces règles de calcul :

Et là le miracle se produit : Hamilton obtient une algèbre cohérente (addition, soustraction, multiplication et division) et compatible avec la loi de multiplication des modules ($|u||v|=|uv|$).

La grosse nouveauté, c’est la perte de la commutativité ! Elle peut sembler choquante, et pourtant elle est bien compatible avec le rôle géométrique qu’on veut faire tenir à ces nouveaux nombres. En effet, rappelez-vous ce qui nous a conduit à les inventer : généraliser à la troisième dimension la géométrie des nombres complexes, notamment les rotations. Or, faites cette petite expérience chez vous : tendez votre poing gauche fermé devant vous, paume vers le bas.

• tournez votre poignet d’un quart de tour vers la gauche, puis d’un quart de tour vers l’avant : votre poing est maintenant dirigé vers le bas.
• tournez votre poignet d’un quart de tour vers l’avant, puis d’un quart de tour vers la gauche : votre poing est maintenant dirigé vers la droite.

Le résultat est différent selon l’ordre dans lequel on effectue les rotations !