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La sphère en tant que surface de Riemann

La sphère possède naturellement une structure de surface de Riemann. Explorons-la et découvrons les belles choses qu'elle cache.

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De quoi il s'agit

Ce tutoriel au sujet bien exotique va tenter d'explorer en partie un objet fascinant par sa simplicité et sa grande profondeur : la sphère $\mathbf{S}^2\subset \mathbf{R}^3$.

C'est un objet que l'on rencontre très facilement, et pourtant, on étudie assez peu les transformations régulières de cette sphère.

Nous tâcherons de donner des outils performants pour étudier $\mathbf{S}^2$. Nous utiliserons pour cela une identification avec la sphère de Riemann : $\hat{\mathbf{C}}= \mathbf{C}\cup \{\infty\}$. Les nombres complexes et les résultats analytiques les concernant seront centraux dans cette étude.

À qui s'adresse ce contenu ?

Ce contenu un peu plus poussé nécessite au préalable quelques connaissances en topologie et en analyse complexe. Même si les notions réutilisées seront rappelées, le lecteur devra être suffisamment à l'aise avec pour les aborder.

Outils d'analyse complexe

  1. Topologie de $\mathbf{C}$
  2. Analyse complexe élémentaire

Projection stéréographique et compactification

  1. Identification de $\mathbf{S}^2$ à $\hat{\mathbf{C}}$
  2. La compactification de $\mathbf{C}$ en $\hat{\mathbf{C}}$

Fonctions holomorphes sur la sphère

  1. La sphère en tant que surface de Riemann
  2. Fonction holomorphe sur la sphère


Ouverture

Tout ceci ne s'arrête pas là. La sphère de Riemann est également identifiable à un autre objet algébrique très riche : la droite projective complexe, notée $\mathbf{C}\mathbf{P}^1$ ou $\mathbf{P}(\mathbf{C}^2)$. C'est alors encore une nouvelle source de résultats fondamentaux et simples. On peut par exemple montrer qu'il existe un unique isomorphisme qui échange deux triplets.

On peut également s'intéresser à la sphère $\mathbf{S}^2$ du point de vue de la topologie différentielle. La considérer comme une variété différentielle, chez les réels cette fois-ci, et en déduire des résultats également très variés. On peut de cette manière montrer le très célèbre théorème de d'Alembert-Gauss, par des outils de topologie différentielle très simples et sans recours à de l'analyse complexe.

Références

Pour des références en topologie générale et analyse complexe, le lecteur peu à l'aise avec ces notions peu se rediriger vers les polycopiés (très complets) suivants :

En guise d'approfondissements, le lecteur intéressé peut se diriger vers les livres suivants :

  • Complex Functions de Jones et Singerman
  • Dynamics in One Complex Variable de Milnor

17 commentaires

Staff

Il aura fallu près de 9 mois pour atteindre la publication qui a lieu aujourd'hui (un 29 février !). Alors quelques remerciements : tout d'abord aux relecteurs et bêta-testeurs présent depuis juin dernier ! Mais en particulier à la validation dont DavidBrcz s'est chargé et qui a fait évoluer le contenu comme il le fallait. Un petit coucou à Arius, le meilleur (bien évidemment) qui a su m'encourager dans ce projet. Merci aussi aux personnes présentes sur l'IRC qui m'ont à plusieurs reprises motivé à continuer dans cette production.

Il est clair que ce tuto est d'un niveau plus élevé que ce qu'on peut lire usuellement sur ZdS, c'est un premier pas vers une diversification (et non pas un élitisme). Malgré des réticences et des exigences de facilité et d'accessibilité, j'aime à penser que si quelques personnes prennent autant de plaisir que moi à découvrir le sujet il y a 2 ans, cela suffirait amplement à justifier ce tutoriel.

Maintenant, place à vos critiques, commentaires et demandes d'aides en tout genre !

Il se peut aussi, qu'une suite se prépare !

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+13 -0

Salut, globalement, il faut niveau prépa pour se coller au tutoriel?

Sinon, bon travail, ça fait du bien de voir du nouveau contenu. ^^

EDIT : ton second lien sur l'analyse complexe ne fonctionne pas, il renvoi 404 no found. :-(

Édité par Ozmox

Éternel curieux

+0 -0
Staff

EDIT : ton second lien sur l'analyse complexe ne fonctionne pas, il renvoi 404 no found. :-(

Ozmox

Problème dû à ZdS, malheureusement je peux pas corriger ça. Mais en tapant « Audin analyse complexe » devrait y avoir moyen de trouver.

Salut, globalement, il faut niveau prépa pour se coller au tutoriel?

Tout dépend de ce que tu veux faire avec ce tuto. J'ai appris sur le sujet avant d'avoir eu un cours d'analyse complexe, ça m'a pas empêché de faire des choses et de compléter par la suite.

Il n'y a pas de manière unique pour travailler, mais comme je l'ai précisé, un bon niveau en analyse complexe et topologie sont souhaitables (mais n'arrêtera pas la personne motivée).

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+0 -0

C'est accessible pour n'importe quel élève de spé, étant donné les bases de topologie données.

Par contre, je comprends pas trop l'intérêt de mettre un tel tutoriel sur ce site, étant donné qu'il n'apporte pas grand chose en terme de pédagogie (on trouve ça dans n'importe quel bouquin d'analyse complexe,et l'introduction est plutôt classique); alors que certains cours du site sont bien mieux illustrés que ce qui se trouve dans les bouquins scolaires et permettent réellement de s'initier aux concepts mis en jeu…

(mais ça reste sympa à lire quand même hein ;) )

+1 -2
Staff

Les élèves de spé ne sont pas censés avoir fait de l'analyse complexe. Donc je vois mal ce qui te permet d'affirmer ça …

Et, non, ce contenu n'est pas vu et revu. Il y a évidemment des références, mais en termes de "tuto" sous cette forme je n'ai rien vu de tel.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+0 -0

Mais les bases sont déjà là, ce qui rend la chose accessible (et non pas déjà vue…).

Je veux dire, à ce niveau, je ne sais pas si justement la forme de tuto apporte réellement quelque chose… (puisqu'on peut lire ça dans un bouquin à la BU)

Édité par FantasMaths

+1 -1
Staff

Mais les bases sont déjà là, ce qui rend la chose accessible (et non pas déjà vue…).

Heu… non. C'est pas parce que tu as fait 3 séries entières que tu peux faire de l'analyse complexe.

Je veux dire, à ce niveau, je ne sais pas si justement la forme de tuto apporte réellement quelque chose… (puisqu'on peut lire ça dans un bouquin à la BU)

Je connais pas de bouquin qui donne cette approche. Ici on donne tous les rappels nécessaires, on construit l'identification et on donne la structure de surface de Riemann. Avoir les 3 en quelques pages, je crois pas l'avoir déjà vu quelque part.

Edit : sans parler du fait que deux auteurs peuvent écrire différemment sur de mêmes notions et que je ne vois pas l'intérêt d'une telle remarque qu'on ne ferait pas à un tuto sur Python (alors que pour le coup, y a beaucoup de contenus similaire).

Édité par Holosmos

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+1 -0

Je trouve dommage de dénigrer le travail fourni par Holosmos. Il arrive à présenter cela de manière intéressante et rigoureuse, je suis pas certain que tous les manuels arrivent à faire ça. FantasMaths, qu'est-ce que toi tu pourrais apporter au sujet ?

De plus, l'analyse complexe est effectivement pas vue en prépa. On peut se renseigner sur le sujet par soi-même mais ce tuto n'est pas immédiatement accessible aux taupins.

+1 -0

Je me suis clairement mal exprimé ^^ Je ne dénigre en rien le travail d'Holosmos ! Le tuto est intéressant à lire, mais ce n'est pas le propos.

Le propos est, sur ce site, il fait un peu "tâche" dans le sens où il traite d'un sujet accessible par un nombre plutôt restreint d'Internautes, qui à ce niveau peuvent facilement se passer d'un tuto et qui ont pour la plupart accès à des ressources autres leur permettant de s'initier à ce concept. Par contre, la partie d'introduction à l'analyse/topologie (par exemple) pourrait faire l'objet d'un tutoriel qui, à mon avis, serait profitable à un plus grand nombre !

+2 -0
Staff

Le propos est, sur ce site, il fait un peu "tâche" dans le sens où il traite d'un sujet accessible par un nombre plutôt restreint d'Internautes, qui à ce niveau peuvent facilement se passer d'un tuto et qui ont pour la plupart accès à des ressources autres leur permettant de s'initier à ce concept.

Pour le moment, oui, ce tuto est « avant-gardiste » de ce point de vue. Mais ZdS est le lieu de tous les savoirs, et pour respecter ce voeu, il faut des tutos comme celui-ci.

Par contre, la partie d'introduction à l'analyse/topologie (par exemple) pourrait faire l'objet d'un tutoriel qui, à mon avis, serait profitable à un plus grand nombre !

Et il faut des gens pour écrire ça. On ne peut pas tout faire tout seul, c'est assez compliqué. Donc rien ne t'interdit de rejoindre un projet de rédaction ou d'en faire un.

Ce n’est pas en répétant « Hom, Hom », qu’on démontre des théorèmes sérieux - Siegel Mon Twitter

+0 -0

Le propos est, sur ce site, il fait un peu "tâche" dans le sens où il traite d'un sujet accessible par un nombre plutôt restreint d'Internautes, qui à ce niveau peuvent facilement se passer d'un tuto et qui ont pour la plupart accès à des ressources autres leur permettant de s'initier à ce concept.

Pour le moment, oui, ce tuto est « avant-gardiste » de ce point de vue. Mais ZdS est le lieu de tous les savoirs, et pour respecter ce voeu, il faut des tutos comme celui-ci.

Je suis d'accord : tous les contenus sont les bienvenus. Je trouve ton texte bien écrit et plutôtbien expliqué. Néanmoins, effectivement, je ne peux m'empêcher de me demander (et n'y vois aucune injure ou critique visant à vexer) si ton tutoriel a vraiment une valeur ajoutée en comparaison à ce qui existe déjà sur Internet à propos de ce sujet.

Je m'explique. Ton tutoriel prend le parti de ne pas passer trop de temps à expliquer les préliminaires, de sorte qu'il n'est pas vraiment auto-contenu. C'est un choix que tu as fait, et là c'est toi le maître à bord, libre à toi de raconter ce qui te plaît. Mais dans le même temps, il reste sur des choses, somme toute, plutôt élémentaire concernant les propriétés propres de la sphère de Riemann. Conséquence de quoi, à mon avis, le lecteur qui saura aller jusqu'au bout de ton tutoriel trouvera un équivalent ailleurs, qui ira souvent plus vite à l'essentiel et ira plus loin dans l'exploration du sujet.

Toutefois, je trouve que ton tutoriel est très bon et explique bien les choses. La seule critique que j'ai à formuler est subjective et ne peut en aucun cas être un critère pour dire que c'est un « mauvais tutoriel », loin de là. La seule chose, c'est que j'ai du mal à voir quel est le public visé, du coup.

Par contre, la partie d'introduction à l'analyse/topologie (par exemple) pourrait faire l'objet d'un tutoriel qui, à mon avis, serait profitable à un plus grand nombre !

Et il faut des gens pour écrire ça. On ne peut pas tout faire tout seul, c'est assez compliqué. Donc rien ne t'interdit de rejoindre un projet de rédaction ou d'en faire un.

Holosmos

En effet, il y a un gros travail à faire sur ZdS à ce propos. Mais un cours de topologie à rédiger avec l'éditeur du site, ça ne fait franchement pas rêver. D'autant que faire de la topologie proprement, même en se restreignant aux espaces métriques, c'est un énorme travail. Si un jour un projet voit le jour, j'essaierai d'y prendre part — enfin, quand mes concours seront terminés. :-°

Staff

Je m'explique. Ton tutoriel prend le parti de ne pas passer trop de temps à expliquer les préliminaires, de sorte qu'il n'est pas vraiment auto-contenu. C'est un choix que tu as fait, et là c'est toi le maître à bord, libre à toi de raconter ce qui te plaît. Mais dans le même temps, il reste sur des choses, somme toute, plutôt élémentaire concernant les propriétés propres de la sphère de Riemann. Conséquence de quoi, à mon avis, le lecteur qui saura aller jusqu'au bout de ton tutoriel trouvera un équivalent ailleurs, qui ira souvent plus vite à l'essentiel et ira plus loin dans l'exploration du sujet.

J'ai écrit ce tutoriel dans l'optique d'une suite (en fait, ça représente ~10 pages sur un contenu de 50 qui est dans mes notes).

Vu que la première partie m'a pris 9 mois, j'espère juste que ça ira plus vite après :P.

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+1 -0
Staff

Dans l'idéal ça serait avec deux parties supplémentaires (et une partie informatique). Toujours dans le sujet de la dynamique holomorphe à une variable :

  1. ensembles de Julia des fractions rationnelles ;
  2. méthodes itératives d'approximations ;
  3. algorithmes de simulation.

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