La sphère en tant que surface de Riemann
De quoi il s'agit
Ce tutoriel au sujet bien exotique va tenter d'explorer en partie un objet fascinant par sa simplicité et sa grande profondeur : la sphère $\mathbf{S}^2\subset \mathbf{R}^3$.
C'est un objet que l'on rencontre très facilement, et pourtant, on étudie assez peu les transformations régulières de cette sphère.
Nous tâcherons de donner des outils performants pour étudier $\mathbf{S}^2$. Nous utiliserons pour cela une identification avec la sphère de Riemann : $\hat{\mathbf{C}}= \mathbf{C}\cup \{\infty\}$. Les nombres complexes et les résultats analytiques les concernant seront centraux dans cette étude.
À qui s'adresse ce contenu ?
Ce contenu un peu plus poussé nécessite au préalable quelques connaissances en topologie et en analyse complexe. Même si les notions réutilisées seront rappelées, le lecteur devra être suffisamment à l'aise avec pour les aborder.
Outils d'analyse complexe
Projection stéréographique et compactification
- Identification de $\mathbf{S}^2$ à $\hat{\mathbf{C}}$
- La compactification de $\mathbf{C}$ en $\hat{\mathbf{C}}$
Fonctions holomorphes sur la sphère
Ouverture
Tout ceci ne s'arrête pas là. La sphère de Riemann est également identifiable à un autre objet algébrique très riche : la droite projective complexe, notée $\mathbf{C}\mathbf{P}^1$ ou $\mathbf{P}(\mathbf{C}^2)$. C'est alors encore une nouvelle source de résultats fondamentaux et simples. On peut par exemple montrer qu'il existe un unique isomorphisme qui échange deux triplets.
On peut également s'intéresser à la sphère $\mathbf{S}^2$ du point de vue de la topologie différentielle. La considérer comme une variété différentielle, chez les réels cette fois-ci, et en déduire des résultats également très variés. On peut de cette manière montrer le très célèbre théorème de d'Alembert-Gauss, par des outils de topologie différentielle très simples et sans recours à de l'analyse complexe.
Références
Pour des références en topologie générale et analyse complexe, le lecteur peu à l'aise avec ces notions peu se rediriger vers les polycopiés (très complets) suivants :
- Topologie général et calcul différentiel de F. Paulin ;
- Analyse complexe de M. Audin.
En guise d'approfondissements, le lecteur intéressé peut se diriger vers les livres suivants :
- Complex Functions de Jones et Singerman
- Dynamics in One Complex Variable de Milnor
)
