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Les notions mathématiques de bases

Hein ? Lesquelles ?

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Les notions mathématiques que l’on devrait tous connaître !

Les notions de bases, mais qu’est ce qu’il peut bien vouloir désigner ? C’est la question qu’on se pose dès qu’on parle de base de quelque chose.

Et justement, c’est ce que j’aimerais interroger, quelles sont les notions mathématiques de bases, pourquoi si elles existent ne les étudions nous pas dès le début de nos études ?

Par notions mathématiques je vais aussi ici parler des notions du métalangage utilisé (histoire de prévenir |tout de suite dès le début ! :) )

Donc, quelles sont , à mon humble avis personnel, les notions de bases que toute personne se destinant à faire des mathématiques devrait connaître ?

Les quantificateurs

Si vous avez déjà fait des mathématiques niveau lycée (je ne crois pas qu’au collège on les utilise) ou bien si vous êtes curieux, vous serez déjà tombés sur eux, les quantificateurs !

Ils sont deux : $\forall$ et $\exists$. Ils sont indispensables à qui veut formaliser ses idées, c’est simple au-dessus du lycée ils sont partout ! (Et pour qui aime la logique, on les trouve dès le premier ordre (Pas celui de star wars bandes d’oranges :ange: ))

Pour ceux qui ne les connaissent déjà pas :

  • $\forall$ permet de désigner l’universel, par exemple : tous les humains ont deux pieds, chaque réel non nul à un inverse…
  • $\exists$ permet (au contraire) de désigner le particulier : il existe des chats noirs, il existe des citrons avec des taches…

Malheureusement, ils ne sont pas bien compris, en effet, même en deuxième année de licence informatique, certains oublient encore ce qu’ils désignent :euh: , ou moins pire, les inversent. Or ils sont quand même présents dans toutes les formules formelles et donc dans tous les cours se voulant précis.

Ils sont d’après moi indispensables, car justement, pour être précis et compréhensible par tous en sciences (et parce que c’est classe) il faut bien formaliser sa pensée et la décrire universellement.

Les notions ensemblistes:

Les ensembles et leurs éléments


On est censé apprendre la notion intuitive d’ensemble en seconde générale et technologique (d’après le B.O):

Notations mathématiques Les élèves doivent connaître les notions d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire et savoir utiliser les symboles de base correspondant : ∈,⊂,∪,∩ ainsi que la notation des ensembles de nombres et des intervalles. Pour le complémentaire d’un ensemble A, on utilise la notation des probabilités.

Or, jusqu’en Terminale on n’utilise quasiment jamais les ensembles réellement, au pire on parle de l’ensemble des réels, mais on ne dira jamais une idée intuitive comme : Un ensemble est une collection d’éléments, ayant des propriétés communes. (On peut ne pas être d’accord).

Or savoir ce qu’est un ensemble, au moins intuitivement (c’est le cas jusqu’en Math spé) est indispensable pour mieux comprendre comment marche les sciences qui les utilisent ! Même seulement pour les appliquer, si on ne sait pas bien à quoi on applique, on est mal barré.

Il est aussi bon de connaitre au moins une des relations des ensembles : l’inclusion, savoir ce que c’est qu’un sous ensemble, et les liens entre deux ensembles. Pour au moins pouvoir en construire de nouveaux.

Les opérations de base sur les ensembles


Complémentaire

Si on connait un ensemble, un de ses sous ensembles, savoir construire son complémentaire permet d’aborder les partitions, de plus la notion est intuitive : Les éléments qui n’ont pas la propriété, face aux éléments qui l’ont.

On peut apprendre ça très tôt, donc le formaliser.

Intersection et Union

Les deux opérations de bases, en plus leur transcription logique est assez simple, elles permettent de faire le lien justement entre ensemble et logique formelle, donc formalisation de l’écriture.

  • L’intersection qui est simplement : Les éléments qui sont à la fois dans l’ensemble 1 et dans l’ensemble 2.
  • L’union : Les éléments qui sont dans l’ensemble 1 ou dans l’ensemble 2, en prenant en compte chaque élément une seule fois.

Les ensembles sont une partie pouvant être très compliquée si mal expliquée, mais si on l’apprend au moins intuitivement, comprendre les raisonnements de la théorie mathématiques est déjà bien plus simple et cette démarche ne demande en plus pas grand chose. Et vu qu’actuellement ils sont quand même considérés comme une base, c’est dommage de n’en entendre vraiment parler que si tard.

La logique

Pourquoi ?


Parce que les mathématiques c’est logique :D . Parce que sans logique on ne va nulle part, apprendre la logique intuitivement, le langage logique au moins, c’est se donner les moyens de comprendre des énoncés que la plupart considèrent comme de la soupe de symbole et en plus cela permet de penser de manière cohérente ! (La logique c’est pas tabou, on en viendra tous au bout)

Comment ?


Avec les opérateurs de base pardi ! Sans rentrer dans les tables de vérités, les propositions équivalentes, les tautologies, le Modus ponens ou bien tout ce qui est fait, juste savoir mettre en forme une proposition et les comprendre.

Il n’est pas compliqué d’apprendre ce que veut dire et , ou, non . N’importe qui peut au moins connaitre les trois principaux opérateurs et se trouve alors capable de déchiffrer une grande partie des théories de bases en logique.

Après ça, apprendre l’implication, c’est se donner les moyens de comprendre la plupart des raisonnements mathématiques. Et après ça, l’équivalence c’est une partie de plaisir, le tout sans rentrer dans les détails les plus abstraits de la logique du premier ordre et tout.


Pour conclure, sur ce sujet qui est un peu un coup de gueule contre l’éducation nationale je l’accorde volontiers, je pense qu’il serait nécessaire de proposer des cours sur ces notions de bases.

Cela permettrait d’offrir un grand verre de savoir à tout les sciento-zesteux en devenir et en plus, permettrait d’offrir un cadre formel pour tout les cours de mathématiques et tout les cours qui veulent introduire une formalisation qui peut paraître douteuse si non expliquée ! (Cours d’informatique théorique sur les langages, les algorithmes, cours de math sur les structures algébriques..)

Voilà, ce petit coup de gueule / billet me permet donc aussi de demander si des cours de ce niveau serait les bienvenus et demandés, car en cherchant il y’a plein de cours qui utilisent la formalisation sans jamais vraiment l’expliquer, ce qui est bien normal ce n’est pas leur but, mais en même temps, on passe à coté d’une grosse part des mathématiques.

Merci pour votre lecture et n’hésitez pas à me signaler des incohérences ou critiques. :)

15 commentaires

Pour moi, la logique devrait s’apprendre en dehors des cours de maths. C’est de la "science du citoyen", apprendre a reconnaitre les raisonnements fallacieux. La distinction et/ou n’est pas spécifique aux maths.

Pour les ensembles, dans quel cadre apprendre les bases ? J’ai du mal a voir dans quel cours on peut les intégrer au collège et lycée. Or sans le contextualiser, c’est dur de l’apprendre efficacement.

Et bien, on peut dès le collège : "on mélange pas les pommes et les carottes", ça pourrait s’apprendre en cours de math, vu que c’est dans le B.O du lycée, au moins des bases et des exemples, ça pourrait être contextualisé dans des contextes de population : "les personnes qui ont accès à, qui habitent à" par exemple en statistique, puis au lycée, dès la seconde le formaliser.

Étudiant en licence informatique à Grenoble

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J’ai appris ces notions sur le tas et étant donné que nous sommes supposés être dans la continuité d’un site qui se veut ouvert aux débutants à partir de zéro… Il me semble tout à fait légitime d’avoir des tutoriels expliquant le langage mathématique, avec une dose de pédagogie suffisante pour qu’un collégien ne se dise pas d’entrée de jeu "c’est pas de mon niveau je laisse tomber" et se braque. :)

Je te souhaite donc naturellement de poursuivre ton entreprise.

L’idée d’en faire un tuto me paraît tout à fait pertinente et souhaitable.

J’aimerais juste que l’on fasse attention à ne pas être trop réductionniste : le formalisme fait partie des bases en maths, mais n’est pas l’entièreté des bases. Savoir calculer, connaître différents problèmes, objets mathématiques cela fait partie des bases au même titre que le formalisme.

Le mot « formalisme » signifie « qui relève de la forme ». Il ne faudrait pas faire croire que les bases en maths soient creuses :)

J’aimerais juste que l’on fasse attention à ne pas être trop réductionniste : le formalisme fait partie des bases en maths, mais n’est pas l’entièreté des bases. Savoir calculer, connaître différents problèmes, objets mathématiques cela fait partie des bases au même titre que le formalisme.

C’est tout à fait vrai, le formalisme est un outil pour utiliser les mathématiques, mais c’est un de ceux que l’on connaît le moins lorsqu’on débute et c’est vrai que pour les objets mathématiques, ça peut être très intéressant de savoir les utiliser, mais savoir comment ils sont faits c’est encore mieux pour qui est intéressé je pense :)

Étudiant en licence informatique à Grenoble

+0 -0

Un petit mémo pour ne jamais confondre $\exists$ et $\forall$.

$\forall$ ressemble à un A renversé pour "All"
$\exists$ ressemble à un E à l’envers pour "Exists"

Voilà. Ça peut paraître évident m’enfin s’il y a confusion autant éclaircir.

ache.one                                                            🦊

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C’est bizarre mais toute ma promo pense que c’est le chapitre le plus simple et le plus intuitif, à tel point qu’on aurai pu s’en passer. :lol:

(Vive la 42ème page!) いろはにほへと ちりぬるを わかよたれそ つねならむ うゐのおくやま けふこえて あさきゆめみし ゑひもせす

+1 -0

Il est vrai que en soi ces notions n’ont absolument rien de difficile et sont très intuitives, mais je pense que dans la mise en application, ils peuvent se planter.

Demande par exemple quel est le contraire de "je parle anglais et espagnol", une bonne partie répondra sûrement "je ne parle ni anglais ni espagnol" (alors que c’est non A ou non B )

Autre exemple : quel est le contraire de "mon réservoir est plein" (traduction formelle : quelque soit l’endroit dans mon réservoir, il y a de l’essence a cet endroit)

Le contraire n’est pas : mon réservoir est vide (quelque soit l’endroit dans mon réservoir, il y n’y a pas d’essence a cet endroit) mais "il existe un endroit dans mon réservoir ou il n’y a pas d’essence"). C’est typiquement le genre de raisonnement qu’on doit faire en proba (événement contraire…) ou dans les démonstrations (contraposée, raisonnement par l’absurde, recherche de contrexemples…)

Je suis pour un tuto visant à apprendre les maths à partir de zéro, depuis le niveau "collège" :D !

ToxicScorpius

C’est à dire ? Dans le même ordre que celui qu’on a au collège ? Ou bien en faisant table rase de ce que le programme demande ? (il va falloir que je relise le B.O du collège :euh: )

Étudiant en licence informatique à Grenoble

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Peu importe. Au collège, on part de zéro notion mathématique.

ZdS n’étant pas uniquement Français, il n’y a aucune raison de se baser sur le B.O de l’éducation nationale Française pour réaliser un tel cours. Même si tu peux tout à fait le faire ^^ .

ache.one                                                            🦊

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Le B.O. (bulletin officiel, autrement dit, les programmes scolaires) est pratique pour voir en gros qu’est-ce qu’on apprend à quel age, et fixer ce que devraient savoir un lecteur d’un age donné.

Si je me souviens bien, les sinus et cosinus sont vus dans des classes différentes. Autrement dit, suivre le BO à la lettre est une très mauvaise idée.

Hier, dans le parc, j’ai vu une petite vieille entourée de dinosaures aviens. Je donne pas cher de sa peau.

+0 -0

Je suis pour un tuto visant à apprendre les maths à partir de zéro, depuis le niveau "collège" :D !

ToxicScorpius

C’est pas comme si quelqu’un ici était "contre" :-°

Le problème c’est pas de savoir si on veut le faire, mais qui va le faire. C’est un boulot énorme, à découper. Et tant qu’on aura pas un auteur motivé pour lancer le projet, ça n’avancera pas plus

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