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Problème d’anniversaire

Un peu de probabilités ?

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Les questions de probabilité apparaissent assez souvent dans les énigmes : probabilité que les deux enfants d’un couple soit des garçons, etc. Ici, nous allons parler d’un problème qui est lui aussi assez connu dans le domaine des probabilités, celui des anniversaires. Il consiste essentiellement à se demander quelle est la probabilité pour que deux personnes dans un groupe aient la même date d’anniversaire.

Nous allons donc d’abord voir quelques généralités, avant de résoudre le problème et de regarder aussi le cas où trois personnes ont la même date d’anniversaire.

Généralités, formalisons... Mais pas trop en fait !

Pour commencer, on considère un entier naturel $n$, le nombre de personnes du groupe. Et pour ne pas trop s’embêter, on va considérer que toutes les années font 365 jours. Avec ça, on a déjà de quoi se poser déjà quelques petites question.

Alors, quelle est la probabilité pour qu’au moins une personne du groupe soit née un jour de l’année.

On dirait une question Troll, non (la probabilité est tout simplement de 1) ? Et pourtant, si on y réfléchit bien, on a juste dit que $n$ était un entier naturel, donc il peut tout à fait n’y avoir personne dans le groupe auquel cas personne n’est né et la probabilité est nulle… Oui, on dirait encore plus du troll, et donc on va considérer $n > 0$ à partir de maintenant.

Maintenant, faisons quelques calculs, avec une question un peu plus sérieuse.

Quelle est la probabilité qu’une personne dans le groupe soit née le même jour que moi ?

Cette question semble déjà compliquée car elle fait intervenir ma date de naissance. Et pourtant elle revient strictement à se demander la probabilité qu’une des personnes soit née un certain jour de l’année (ce jour étant juste mon jour de naissance).

Pour calculer cette probabilité (et pour le calcul de probabilité en général), il peut être astucieux de passer par l’évènement contraire. Ici, c’est l’évènement « personne dans le groupe n’est né le même jour que moi ». La probabilité de cet évènement est

$$ \frac{364^n}{365^n}. $$

En effet, pour chacune des personnes, on a 364 choix de jours d’anniversaires sur les 365. On note que ce calcul peut être vu d’un point dénombrement, tout comme il peut être vu d’un point de vue probabiliste.

Par suite, la probabilité que quelqu’un dans le groupe soit né le même jour que moi est

$$ P(n) = 1 - \frac{364^n}{365^n}. $$

Et pour finir, cette partie, voici une autre question, qui bien que simple au premier abord, peut poser des soucis.

Combien de personnes faut-il au minimum dans le groupe pour que la probabilité que deux personnes aient la même date d’anniversaire soit 1, autrement dit pour qu’il y ait forcément deux personnes nées le même jour ?

La tentation est grande, mais la réponse n’est pas le double de 365. Il suffit de 366 personnes. En effet, réfléchissons bien, au pire, les 365 premières personnes sont toutes nées un jour différent, la dernière est forcément né le même jour que l’une des 365 premières (voir le principe des tiroirs).

Ce genre de calcul peut souvent poser problème, comme l’illustre ce problème assez connu : vous avez dix paires de chaussettes noires et dix paires de chaussettes blanches, mais vous êtes dans le noir. Combien de chaussettes devez-vous récupérer pour être sûr d’en avoir deux de la même couleur ?

Deux personnes...

Après ces premier résultats fort intéressants (ou pas), intéressons nous au problème qui nous a réellement amené ici.

Quelle est la probabilité que deux personnes aient la même date d’anniversaire dans un groupe de $n$ personnes ?

La partie précédente nous a montré combien il était efficace de passer par l’évènement contraire. Refaisons la même chose ici. Cette fois l’évènement contraire est « personne n’est né le même jour ». Il s’agit alors de choisir $n$ dates distinctes parmi les 365 dates disponibles, c’est-à-dire de choisir un arrangement. On en déduit que la probabilité de l’évènement contraire est

$$ \frac{A_{365}^n}{365^n} = \frac{365!}{(365 - n)!365^n}. $$

Certains préféreront, plutôt que de choisir un arrangement, se dire qu’il y a 365 choix de jour pour la première personne, 364 pour la deuxième (elle ne doit pas être né le même jour que la première), … jusqu’à (365 - n - 1) choix pour la dernière.

Et ceci nous permet de calculer la probabilité que deux personnes dans un groupe de $n$ personnes soient nées le même jour,

$$ P(n) = 1 - \frac{365!}{(365 - n)!365^n}. $$

On retrouve que cette probabilité est de 1 pour $n = 366$, et on voit également qu’elle est de 0 pour $n = 1$ (c’est vraiment compliqué d’avoir deux anniversaires le même jour avec une seule personne.

On peut alors trouver quelques petits résultats « classiques », comme le fait qu’on a plus d’une chance sur deux pour $n \geq 23$.

Trois personnes !?

On cherche maintenant (parce qu’on est des gros fous nous) à analyser le cas où on veut que trois personnes aient leur anniversaire le même jour.

On ne change pas une équipe qui gagne, on va encore passer par l’événement contraire. Mais là, il va nous falloir réfléchir un peu plus (et faire un peu plus de calculs).

Quel est l’évènement contraire de « au moins trois personnes ont leur anniversaire le même jour » ?

En fait, il n’y a pas de réponse « simple », et nous allons dire qu’il s’agit de l’évènement où personne n’a la même date d’anniversaire ou deux personnes ont la même date d’anniversaire et celles des autres sont toutes différentes ou deux personnes ont la même date d’anniversaire, deux autres ont aussi la même date d’anniversaire, et celles des autres sont toutes différentes, etc.

En gros, il s’agit de l’évènement « pour tout $i$ entre 0 et $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$, il y a exactement $i$ paires de personnes nés le même jour (et la date d’anniversaire de chaque paire est différente), et tous les autres sont nés des jours différents » (n s’arrête à la moitié de $n$ car c’est le maximum de paires possibles). On a alors

$$ P(n) = 1 - \sum_{i = 0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} P_i(n) $$

$P_i(n)$ est la probabilité qu’il y ait exactement $i$ paires de personnes nés le même jour (et la date d’anniversaire de chaque paire est différente), et tous les autres sont nés des jours différents.

Il nous reste à calculer $P_i(n)$.

Pour commencer, il y a $\binom{365}{i}$ manières de choisir les anniversaires des différentes paires, puis $\binom{n}{2}$ manières de choisir la première paire, $\binom{n - 2}{2}$ pour la seconde, …, et $\binom{n - 2(i - 1)}{2}$ pour la dernière. Ensuite, il nous faut choisir les dates d’anniversaire des $n - 2i$ personnes restantes, soit $A^{n - 2i}_{365 - i}$. Par suite,

$$ \begin{align*} P_i(n) &= \binom{365}{i} \times \prod_{l = 0}^{i - 1} \binom{n - 2l}{2} \times \frac{A^{n - 2i}_{365 - i}}{365^n}\\ &= \binom{365}{i} \times \prod_{l = 0}^{i - 1} \binom{n - 2l}{2} \times \frac{(365 - i)!}{(365 - n + i)! \times 365^n}. \end{align*} $$ Et en fait, on se rend compte que, par une sorte de télescopage, $$ \prod_{l = 0}^{i - 1} \binom{n - 2l}{2} = \frac{n!}{2^i(n - 2i)!}. $$ D’où $$ \begin{align*} P_i(n) &= \binom{365}{i} \times \frac{n!}{2^i(n - 2i)!} \times \frac{(365 - i)!}{(365 - n + i)! \times 365^n}\\ &= \frac{365!n!}{2^i i! (365 - n + i)! (n - 2i)! 365^n}. \end{align*} $$ Et on en déduit la probabilité qu’on cherche, $$ P(n) = 1 - \sum_{i = 0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor} \frac{365!n!}{2^i i! (365 - n + i)! (n - 2i)! 365^n} $$

Jolie formule, n’est-ce pas ? Elle nous apprend notamment que la probabilité d’être trois dans un groupe à partager la même date d’anniversaire est supérieure à $\frac{1}{2}$ dès qu’on est plus de 88.


Et c’est fini pour ce billet. Et pourtant, plusieurs autres questions (plus ou moins simples) peuvent être posées ; comment généraliser la formule, probabilité d’avoir exactement $k$ anniversaires le même jour, probabilité que $k$ personnes soient nés $k$ jours d’affilée, etc.

Une petite anecdote pour la fin : certains profs de maths aiment bien poser la question à leur classe, en leur demandant de calculer la probabilité que deux personnes dans la classe soient nés le même jour… Ça marche beaucoup moins bien quand il y a des jumeaux dans la classe (quoique des jumeaux peuvent parfaitement naître deux jours différents). Mais dans ma classe on a fait encore plus fort, nos deux délégués sont nés le même jour, quelle était la probabilité pour que cela arrive sachant que nous sommes 27 ?

10 commentaires

Sympa, en mathématiques le prof vient de nous le faire… On était que $5$ dans la promo ce jour là. (Prof boycotté) du coups la proba était de $0.16$ je crois mdr…

Sinon on tiens compte des probabilités que les gens soient né plutôt en novembre ? $9$ mois après la St. Valentin ?

Нова Проспект (/,>\text{(}/ , \text{>}

+0 -0

C’est vrai que ça pourrait être intéressant d’en tenir compte. Dans ma promo on fait 15, 16 et 17 novembre. Équipe Saint-Valentin ?

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

+2 -0

En France, les jours fériés ont une bien plus grande importance que ce qui s’est passé 9 mois avant parce tout accouchement déclenché ou par césarienne sera évité autant que possible ces jours-là.

D’autre part, le pic de naissances hors considérations de jour férié est plutôt situé début mai, ce qui correspond à une conception pendant l’été (début aout). Il me semble que ce pic, faible aujourd’hui (près de 2300 naissances/jour contre près de 2100 naissances/jour les jours normaux « creux » était historiquement bien plus élevé, et correspondrait à une logique biologique et de disponibilité de nourriture, mais je n’ai pas de source sous la main.

PS : Une source plus complète.

@Ge0 c’est bien ce paradoxe.

Édité par SpaceFox

Le contraire de "2 personnes soit né le même jour" ne me semble pas être que "Personne ne soit né le même" jour. Puisqu’il me semble que c’est le contraire de "Qu’au moins 2 personnes soit né le même jour".

Je me trompe peut-être.

ache.one                 🦹         👾                                🦊

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Non, non tu as bien raison, c’est que la probabilité qu’on calcule est celle que deux personnes au moins soient nés le même jour. Je vais le préciser. C’est fou comme le langage naturel est moins précis que le langage mathématique. ^^

PS : après, pour le calcul pour « au moins trois personnes », on calcule la probabilité que deux personnes exactement soient nés le même jour (et les autres tous des jours différents) ; c’est $P_1(n)$.

Édité par Karnaj

Assez des salamis, je passe au jambon — Je fais un carnage si ce car nage car je nage, moi, Karnaj ! — Le comble pour un professeur de mathématique ? Mourir dans l’exercice de ses fonctions.

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Je vais le préciser. C’est fou comme le langage naturel est moins précis que le langage mathématique. ^^

Karnaj

Tellement ! Ce qui se conçoit bien s’énonce clairement disait-il ?

Mais tout dépends du language !

Édité par ache

ache.one                 🦹         👾                                🦊

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Peut-être que quand on utilise le langage mathématique, on s’efforce d’employer les bons mots, et qu’on ne fait pas forcément cet effort avec d’autres langages.

Pour différentes raisons qu’on pourrait détailler.

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