Introduction à la chimie quantique

Qu'est ce que c'est que cette théorie quantique dont tout le monde parle, et quel rapport avec la chimie ?

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Tout le monde se secoue ! :D

J’ai commencé (dimanche 18 août 2019 à 14h58 c’est faux, ça serai plutôt aux alentours du 10 août, mais j’ai changé de format) la rédaction d’un tutoriel au doux nom de « Introduction à la chimie quantique » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !


J’avais promis que mon prochain tutoriel concernerait la chimie. Ce que je n’avais pas prévu, c’est que je finirai avec une envie pressante de raconter le sujet qui m’occupe au quotidien: la chimie quantique. Donc cette fois ça y est je me lance, voici mon prochain tutoriel.

En terme d’avancement, les 2 premiers chapitres sont terminés en terme de contenu. Pour la suite, je sais ou je vais (to Hartree-Fock and beyond), mais je ne suis pas encore certain de comment j’y vais exactement (il y a un certain nombres de passages obligés, mais je peux plus ou moins m’étendre sur le sujet).

  • À cause de ce bug, aucun de mes vecteurs n’a de flèche, ce qui nuit un peu à la compréhension du truc. Une fois que ce sera réglé, ce sera mieux.
  • Pour le moment, je ne cherche pas de correction orthographique. Par contre, si il y a un physicien dans le coin, c’est avec plaisir ;)

Édité par pierre_24

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimiedev' à temps partiel (co-réalisateur ZEP-12, recherche et template LaTeX)

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Oh purée, le monstre que tu es en train de nous pondre. :o

Je vais essayer de relire les deux premières parties rapidement et te faire un premier retour de physicien.

Édité par Gabbro

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

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Oulah… Je ferais le relecteur béotien qui a même pas les prérequis (sauf les vecteurs mais ça fait longtemps)

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c’est que je finirai avec une envie pressante de raconter le sujet qui m’occupe au quotidien: la chimie quantique.

Courage pour la rédaction ! :)
Sujet très intéressant !

Édité par anonyme

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Auteur du sujet

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.


Par rapport à la fois passée, j’ai revu un peu mon plan, en me rendant compte en écrivant le chapitre sur les systèmes solubles en mécanique quantique que ça allait être beaucoup plus long que prévu. Je suis arrivé au bout de ce que je voulais voir (particule dans une boite, effet tunnel, oscillateur quantique et rotateur rigide) au bout de deux (long) chapitres. J’ai également précisé mon plan pour la seconde partie, vu que ça me prendra également probablement plus de temps que prévu.

Mon plan est de mettre la première partie en validation une fois que je considère celle-ci comme terminée (ce qui n’est pas encore le cas), d’autant que j’entrevois une validation assez longue (beaucoup de maths, beaucoup de concepts :p ).

Édité par pierre_24

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Chose promise, chose due, j’ai commencé à relire.

Félicitations pour ton introduction au Lagrangien. J’ai compris ce que tu racontais, et vu que j’ai des souvenirs assez affreux du cours que j’ai eu dessus, c’est chouette. :D

À voir avec un débutant, mais de mémoire, plusieurs choses peuvent interloquer :

  • q˙\dot{q} et qq sont indépendants. Ça parait évidant, mais la première fois qu’on fait (f(q˙)+g(q))q=g(q)q\frac{\partial (f(\dot{q}) + g(q))}{\partial q} = \frac{\partial g(q)}{\partial q}, je te garantis que ça fait bizarre (car il y a un qq dans q˙\dot{q}, d’un point de vue notation :-° ).
  • les notations en qq et q˙\dot{q} apporte une généralisation bienvenue, mais pouvoir raccrocher ça dans sa tête à une position et vitesse aide. Et c’est peu fait ici.
  • Les raccrochages en questions, justement. Quand tu tombes sur p˙=Hq\dot{p} = - \frac{\partial H}{\partial q}, tu ne comprends pas ce que ça signifie. Pourtant, c’est comme dire que les forces dérivent d’un potentiel. Je pense qu’une vraie plus valu possible consiste non pas à sortir les équations, ce que n’importe quel bouquin ferait, mais à expliquer le sens qu’elles ont.

P.S. : j’aime pas les équa diff. Honnêtement, j’ai oublié comment les résoudre, y compris dans les exemples simples que tu donnes… L’autre truc que j’ai jamais aimé, c’est le calcul matriciel… Je vais aimer ton tuto, je crois. :P

Un ressort

La formule du lagrangien est fausse : il manque un carré. En dessous, tu dérives par rapport à y.

Trop de ressorts

Ça me semble très tôt pour faire des choses aussi complexes. Si le lecteur a vraiment vu pour la première fois les Lagrangiens au début du tuto, ça me semble impossible qu’il comprenne cette partie.

Crochets de Poisson

De manière évidente,

Encore une fois, que qaq_a et qbq_b soient indépendant n’est pas du tout évident au début. C’est fondamental, mais pourtant assez dure à intégrer. Et pourtant, ça consiste à dire x indépendant de y…


Bon, le risque évident ici, c’est la perte de lecteur dans les formules et le formalisme inhabituel et très formel, justement, de la mécanique Hamiltonienne. Ton tuto risque de nécessiter un bon niveau en maths, en physique et en chimie (je ne suis pas encore tombé sur ce cas-là).

Pour info, j’ai pris une à deux heures pour lire la première partie, pas dans le détail, en zappant les équations compliquées, mais en rédigeant ce message. Et ça correspond si je me souviens bien à plusieurs dizaines d’heures de cours + TD en L3. Ça fait beaucoup à intégrer.


Si je n’ai pas lu la suite d’ici la semaine prochaine, tape-moi dessus appelle-moi. ;)

Édité par Gabbro

Il y a bien des façons de passer à l’acte. Se taire en est une. Attribué à Jean-Bertrand Pontalis

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Auteur du sujet

Déjà, merci :)

Bon, en fait, on peut faire de la chimie quantique sans faire trop de maths, et c’est ce que @Blackline tente de faire ici et c’est très bien. Moi, j’ai décidé de prendre le contre-pied et de tenter d’expliquer d’où vient tout ça. Effectivement, ça requiert d’avoir fait un peu de maths dans sa vie :-° … Mais c’est très bien que tu me fasses tes commentaires, parce que ça me permet d’adapter le niveau de math. Tu notera qu’au final, on résoudra très peu d’équations différentielles, parce qu’on utilisera la fameuse méthode du "on sais que la solution a cette forme". Pas trop de calcul matriciel au programme, au final sauf éventuellement sur la fin (la méthode de Huckel et Hartree-Fock s’expriment très bien sous forme de matrices, mais je vais pas non plus m’amuser à faire un calcul Hartree-Fock "à la main"). Je dirais qu’on va particulièrement avoir besoin de dérivées et d’intégrales (parfois tordues).

Note que par la suite, j’ai quand même caché certains morceaux plus mathématiques dans des balises secrets, pour pas perdre le fil. Si tu trouve que je dois cacher "plus de trucs", je peux toujours le faire.

Je vais normalement tenir compte de tes remarques:

  • En particulier celle sur "trop de ressorts". En fait, j’ai choisi les exemples de ce chapitre avec en tête de par la suite traiter leurs versions quantiques, ce que j’ai effectivement fait, et je me rend compte que cet exemple ne servira en effet pas à grand chose, puisqu’il suffit d’appliquer l’oscillateur harmonique quantique à une seule liaison pour montrer ce que je pense vouloir faire passer comme message là dessus (à savoir, le rapport avec les spectres IR). Donc je peux la supprimer.
  • Je vais essayer d’expliciter plus clairement cette histoire d’indépendance, parce qu’elle est fondamentale pour la suite (principe d’incertitude d’Heisenberg, toussa). Et je vais tenter de rajouter "du sens" ;)

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimiedev' à temps partiel (co-réalisateur ZEP-12, recherche et template LaTeX)

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Hello,

Je suis en train d’essayer de relire tout doucement ta bêta.

Je n’ai pas bien compris pourquoi tu avais introduit le lagrangien seulement pour un système de variables indépendantes. On ne peut pas le faire en général avec tout l’espace des configurations ? Ce ne serait pas plus clair ?

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J’ai l’impression que comme on peut écrire les forces et les vitesses dans R3N×R3N\mathbf R^{3N}\times \mathbf R^{3N}, il n’y a peut être pas besoin d’introduire tout de suite les variables qi,q˙iq_i,\dot q_i.

Cela doit pouvoir s’exprimer dans n’importe quelle variété localement isomorphe à RM×RM\mathbf R^M\times \mathbf R^M (ce qui recouvre le cas des variables qi,q˙iq_i,\dot q_i), non ?

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Auteur du sujet

Houla. La réponse est probablement oui, mais tu exploses mes maigres connaissances en théorie des ensemble/topologie de très très loin1, donc je suis incapable de te donner une réponse un minimum intelligente. Je "vois" ce que tu veux dire, mais quand à savoir te répondre … :-°


  1. Il m’a déjà fallu un peu de temps avant de saisir ce qu’était un espace d’Hilbert ^^

Édité par pierre_24

#JeSuisToujoursArius • Doctorant et assistant en chimiedev' à temps partiel (co-réalisateur ZEP-12, recherche et template LaTeX)

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J’ai lu très rapidement le début (en diagonale donc ^^ ) :

Les deux solutions de ton premier probleme sont exactement les même ! Dans le 1er cas tu donne les lois de MURA. Et dans l’autre tu les calcules explicitement dans un cas particulier ! Je comprend pas trop l’intérêt de ces "1 Un petit problème de physique" ? Il ne semble avoir aucun lien avec le reste (et me semble excessivement détaillé sachant la suite du cours).

Comme d’autre on déjà dit c’est beaucoup de matériel ! La présentation du cas à N dimension est-elle nécessaire ? Ça fait intervenir des truc un peu "exotique" comme MijM_{ij} qui font nécessairement se demander au lecteur pourquoi c’est pas diagonale etc. Pour que ce soit abordable ça manque de détail je pense.

alors le Hamiltonien est indépendant de F

Nope, contre exemple : {H,H}=0\{H, H \}= 0 je ne dirais pas que H est indépendant de… H ^^ .

Globalement ce passage :

Rappelons tout d’abord que la dérivée décris la variation d’une variable par rapport à l’évolution d’une autre. Ça signifie que, FFF ne dépendant pas explicitement du temps, si {F,H}=0{F,\mathcal{H}}=0{F,H}=0, alors le Hamiltonien est indépendant de FFF, et que de facto, FFF est conservé dans le temps.

Peut être plus concis et résumé à :

{A,H}=0\{A,H\} = 0 implique alors que F ne dépend pas du temps et est donc une grandeur conservé.

(la répétition dans un même paragraphe d’une même idée le rend confus en embrouillant je trouve. Ça n’empêche pas de rappeler le résultat plus tard dans le cours pas contre).

si le Hamiltonien ne dépend pas du temps, alors sa dérivée temporelle est nulle, et donc l’énergie du système est conservée (puisque le Hamiltonien équivaut à l’énergie totale du système).

ça mériterai une mini explication calcul : Ht=0    dHdt=0\frac{ \partial H}{\partial t} = 0 \implies \frac{dH}{dt}=0 puisque {H,H}=0\{H,H\} = 0.

Par ailleurs, si le Hamiltonien est invariant à une transformation du type qα→qα+aq\alpha \rightarrow q\alpha + aqα​→qα​+a, alors {pα,H}=0{p\alpha,\mathcal{H}}=0{pα​,H}=0, donc la quantité de mouvement, pαp\alphapα​, est conservée.

C’est pas ultra direct. Faut le préciser je pense (et une faute de frappe dans la démonstration de dFdt={F,H}\frac{dF}{dt}= \{F,H\}, il y a un pip_i qui devrait être un qiq_i).

Pour faire chier ( :D ): le L\mathcal L stylisé que tu utilises est normalement utilisé pour nommer la densité lagrangienne. Le lagrangien se note généralement avec un L\mathit L droit en italique.

Globalement ça me semble manquer de "sens physique". Le lecteur saura-il pourquoi on lui présente cela, autre que c’est comme ça qu’on fait et stfu (moi je sais cette méthode me bloque complétement, impossible d’apprendre) ? Je rajouterai une courte partie historique qui dirait en substance :

Principe de moindre action ("philosophique") appliqué à la physique -> tous les calculs qui vienne dans la suite découle de cela : l’idée est de trouve la solution qui minimise une grandeur appelé "Action". On constate qu’on retrouve les équations de newton (whaou). Succès incontestable dans la description de la nature. La MQ utilise une formulation dérivée qui a egalement mené à des modèles très fructueux.

Question : Y aura un point sur la théories des groupes en chimie ? Je pense que ça serait cool car c’est vraiment un des outils théorique moderne ultra classe (et selon moi pas assez présent dans les cursus classique, en physique en tous cas) :D .

(Un truc friendly sur la théorie des groupe appliqué à la mécanique quantique classique/chimie et en physique des particules fait partis des trucs que je pourrais faire dans l’hiver/printemps qui arrive, et en plus ça connecterai hyper bien avec mon truc en standby sur le spin).

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Auteur du sujet

Merci @Vael. J’ai un peu moins de temps depuis la rentrée, forcément, mais je ne perd pas ça de vue ;)

Les deux solutions de ton premier probleme sont exactement les même ! Dans le 1er cas tu donne les lois de MURA. Et dans l’autre tu les calcules explicitement dans un cas particulier ! Je comprend pas trop l’intérêt de ces "1 Un petit problème de physique" ? Il ne semble avoir aucun lien avec le reste (et me semble excessivement détaillé sachant la suite du cours).

Dans ma tête c’est … Fait exprès ;) (et on va d’ailleurs le résoudre 3 fois, ce problème). Je cherche juste à prouver que peu importe la méthode, on a toujours le même résultat. Maintenant, si tu trouve que ça fait forcing, je peux calmer un peu le truc.

Comme d’autre on déjà dit c’est beaucoup de matériel ! La présentation du cas à N dimension est-elle nécessaire ? Ça fait intervenir des truc un peu "exotique" comme MijM_{ij} qui font nécessairement se demander au lecteur pourquoi c’est pas diagonale etc. Pour que ce soit abordable ça manque de détail je pense.

On m’a fait la remarque plus haut, et si ce n’est déjà fait, je compte bien retirer ça.

alors le Hamiltonien est indépendant de F

Nope, contre exemple : {H,H}=0\{H, H \}= 0 je ne dirais pas que H est indépendant de… H ^^ .

Globalement ce passage :

Rappelons tout d’abord que la dérivée décris la variation d’une variable par rapport à l’évolution d’une autre. Ça signifie que, FFF ne dépendant pas explicitement du temps, si {F,H}=0{F,\mathcal{H}}=0{F,H}=0, alors le Hamiltonien est indépendant de FFF, et que de facto, FFF est conservé dans le temps.

Peut être plus concis et résumé à :

{A,H}=0\{A,H\} = 0 implique alors que F ne dépend pas du temps et est donc une grandeur conservé.

(la répétition dans un même paragraphe d’une même idée le rend confus en embrouillant je trouve. Ça n’empêche pas de rappeler le résultat plus tard dans le cours pas contre).

Je me suis surtout enmmelé les pinceaux, on dirait :-°

si le Hamiltonien ne dépend pas du temps, alors sa dérivée temporelle est nulle, et donc l’énergie du système est conservée (puisque le Hamiltonien équivaut à l’énergie totale du système).

ça mériterai une mini explication calcul : Ht=0    dHdt=0\frac{ \partial H}{\partial t} = 0 \implies \frac{dH}{dt}=0 puisque {H,H}=0\{H,H\} = 0.

Ouki :)

Par ailleurs, si le Hamiltonien est invariant à une transformation du type qα→qα+aq\alpha \rightarrow q\alpha + aqα​→qα​+a, alors {pα,H}=0{p\alpha,\mathcal{H}}=0{pα​,H}=0, donc la quantité de mouvement, pαp\alphapα​, est conservée.

C’est pas ultra direct. Faut le préciser je pense (et une faute de frappe dans la démonstration de dFdt={F,H}\frac{dF}{dt}= \{F,H\}, il y a un pip_i qui devrait être un qiq_i).

Ouki :)

Pour faire chier ( :D ): le L\mathcal L stylisé que tu utilises est normalement utilisé pour nommer la densité lagrangienne. Le lagrangien se note généralement avec un L\mathit L droit en italique.

C’est la faute de mon prof: il faisait rien qu’à mettre le lagrangien et le hamiltonien en stylisé comme ça. Donc j’avoue que j’ai repris cette mauvaise habitude. Mais si je change, j’ai pas trop à changer.


Globalement ça me semble manquer de "sens physique". Le lecteur saura-il pourquoi on lui présente cela, autre que c’est comme ça qu’on fait et stfu (moi je sais cette méthode me bloque complétement, impossible d’apprendre) ? Je rajouterai une courte partie historique qui dirait en substance :

Principe de moindre action ("philosophique") appliqué à la physique -> tous les calculs qui vienne dans la suite découle de cela : l’idée est de trouve la solution qui minimise une grandeur appelé "Action". On constate qu’on retrouve les équations de newton (whaou). Succès incontestable dans la description de la nature. La MQ utilise une formulation dérivée qui a egalement mené à des modèles très fructueux.

Alors là, j’ai un gros problème. À postériori, je me rend compte qu’on me l’a exactement présenté comme ça, en mode "regarde, ça fonctionne, puis en plus on peut faire des trucs trop cool avec". Je sais pas si c’est quelque chose de propre aux profs qui m’ont enseigné ça, ou simplement au fait que lesdits profs n’avaient peut être pas le temps (le programme à boucler, tout ça), toujours est-il que ce fameux principe d’action, que je vois mentionné partout, ne me parle absolument pas. J’ai "compris" ce que c’était, mais comme les physiciens aiment bien les équations, c’est souvent en mode "regardez, l’intégrale du lagrangien c’est l’action", comme si c’était quelque chose d’évident (et ça l’es probablement) :p

Mais je vais quand même essayer de le rajouter, parce que ça revient à chaque fois.


Question : Y aura un point sur la théories des groupes en chimie ? Je pense que ça serait cool car c’est vraiment un des outils théorique moderne ultra classe (et selon moi pas assez présent dans les cursus classique, en physique en tous cas) :D .

(Un truc friendly sur la théorie des groupe appliqué à la mécanique quantique classique/chimie et en physique des particules fait partis des trucs que je pourrais faire dans l’hiver/printemps qui arrive, et en plus ça connecterai hyper bien avec mon truc en standby sur le spin).

Vael

C’est mon rêve (ça fait des années que j’en parle), mais tu va être déçu de ouf: en chimie, la théorie des groupes sert "juste" à justifier les règles de sélections en spectroscopie, et c’est grosso modo le seul usage qu’on en fait (si, on simplifie des diagrammes d’orbitale moléculaire, avec ça, des fois). Je ne dit pas que ce n’est pas intéressant, mais ça signifie qu’on se limite aux groupes ponctuels, alors que vous avez l’air de faire des trucs sympa avec des groupes de Lie (dixit le spin) … Quelque chose qu’on fait très peu en chimie.

J’ai bien entendu pour projet de parler du spin, mais absolument pas de son lien avec SU(n)SU(n), parce que je suis pas sur que je serait capable de l’expliquer moi même (et c’est dommage, d’ailleurs).

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Auteur du sujet

En chimie, le mieux qu’on puisse faire, c’est l’atome, donc la sphère. Toutes les molécules (aka des assemblages de sphère en 3D) sont forcément des sous-groupes (fini) de SO(3)SO(3). On s’amuse bien, mais c’est limité :p

Édité par pierre_24

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Pour les problèmes je faisais un peu le naïf :p , j’ai bien compris que l’objectif était de résoudre plusieurs fois le même problème un fois avec newton une fois avec Lagrange* ^^ . Mais faut annoncer le concept avant sinon on avance a l’aveuglette, c’est pas top (pense à un ouvrage compliqué qui te fait faire des truc sans qu’il te dise pourquoi, où l’on va etc. difficile d’en extraire de l’information utile en première lecture puisque l’on sait pas sur quoi il est important de porter son attention)

Dans ma tête c’est … Fait exprès ;) (et on va d’ailleurs le résoudre 3 fois, ce problème). Je cherche juste à prouver que peu importe la méthode, on a toujours le même résultat. Oui j’ai compris l’idée mais la les deux première résolution c’est à 100% le même outils qui est utilisé. c’est la même méthode.

par contre je maintiens que les deux première fois c’est exactement la même méthode En fait c’est comme si tu avec une méthode qui passe par 10 étape et que tu considères la réponse qui explicite les étapes 1,3,5,7,10 est différente de celle qui explicite les étapes 2,4,6,8,9. Du coup oui dans les deux cas il n’y a pas écrit la même chose sur le papier, par contre c’est à 100% la même méthode, tu mets juste les accents sur différents trucs.

Moi je trouve ça hautement troublant pour un étudiant qui va vraiment penser que c’est deux méthodes différentes !

C’est la faute de mon prof: il faisait rien qu’à mettre le lagrangien et le hamiltonien en stylisé comme ça. Donc j’avoue que j’ai repris cette mauvaise habitude. Mais si je change, j’ai pas trop à changer.

Oui je serai plutôt pour changer. Ça limite les confusions possible (même si 95% des lecteurs ne vont pas s’en rendre compte).

Alors là, j’ai un gros problème. À postériori, je me rend compte qu’on me l’a exactement présenté comme ça, en mode "regarde, ça fonctionne, puis en plus on peut faire des trucs trop cool avec". Je sais pas si c’est quelque chose de propre aux profs qui m’ont enseigné ça, ou simplement au fait que lesdits profs n’avaient peut être pas le temps (le programme à boucler, tout ça), toujours est-il que ce fameux principe d’action, que je vois mentionné partout, ne me parle absolument pas. J’ai "compris" ce que c’était, mais comme les physiciens aiment bien les équations, c’est souvent en mode "regardez, l’intégrale du lagrangien c’est l’action", comme si c’était quelque chose d’évident (et ça l’es probablement) :p

En faite je pense qu’il faut introduire. Entre balancer le lagrangien et balancer le lagrangien en disant " ça fonctionne et on sait pas pourquoi". il y a une énorme différence. Ça donne "un sol" à ton propos. C’est l’axiome, y a rien en dessous, on construit la dessus. Ça reste pas un truc nébuleux dont on sait pas trop d’où ça vient (c’était pour lutter contre ça que j’avais proposé des tuto "l’œuf et la poule" ^^ ).

Ça n’a pas besoin d’être long ou de contenir des maths. En quelques phrases c’est fait (par contre je pense que c’est des phrases à mettre en valeur).

C’est mon rêve (ça fait des années que j’en parle), mais tu va être déçu de ouf: en chimie, la théorie des groupes sert "juste" à justifier les règles de sélections en spectroscopie, et c’est grosso modo le seul usage qu’on en fait (si, on simplifie des diagrammes d’orbitale moléculaire, avec ça, des fois). Je ne dit pas que ce n’est pas intéressant, mais ça signifie qu’on se limite aux groupes ponctuels, alors que vous avez l’air de faire des trucs sympa avec des groupes de Lie (dixit le spin) … Quelque chose qu’on fait très peu en chimie.

Oui mais c’est déjà ultra bien ! Rien que montrer comment en jouant avec les symétries du hamiltonien on peut savoir combien de fois sont dégénérés les états, qu’il devient trivial qu’une brisure de symétrie lève les dégénérescences etc. expliquer pourquoi on peut en déduire les règles de transitions c’est de la bombe (enfin je trouve).

En faite jouer avec les symétries discrète de la chimie et SO(4) des atomes c’est cool en soit et c’est super utile pour approcher plus facilement les trucs plus abstrait. Pour moi c’est du contenu à très haute valeur ajoutée (enfin c’est si expliqué et pas trop "c’est comme ca", car du "c’est comme ca" on en trouve à la pelle dans les poly sur internet…) ! (bien que SO(3) et SO(4) c’est déjà des groupes de lie…).

J’ai bien entendu pour projet de parler du spin, mais absolument pas de son lien avec SU(n)SU(n), parce que je suis pas sur que je serait capable de l’expliquer moi même (et c’est dommage, d’ailleurs).

Oui oui je pense que SU(n) sors complètement du cadre de ce cours. Même la théorie des groupes en soit sors de ce cours. Mais pour moi y a pas nécessairement besoin de dérouler les maths (théorème d’orthogonalité, lemme de schur etc. ) pour expliquer la logique sous-jacente.

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