Les vecteurs, qu'est-ce donc ?

Tout le monde se secoue ! 

J’ai commencé (il y a 2 heures) la rédaction d’un tutoriel au doux nom de « Les vecteurs, qu’est-ce donc ? » et j’ai pour objectif de proposer en validation un texte aux petits oignons. Je fais donc appel à votre bonté sans limites pour dénicher le moindre pépin, que ce soit à propos du fond ou de la forme. Vous pourrez consulter la bêta à votre guise à l’adresse suivante :

Merci !

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

Merci d’avance pour vos commentaires.

Hello, quelques remarques en vrac

Dans la définition on parle de A et A' et l’illustration en dessous montre A et B. Même si c’est dans une sous-partie différente, peut-être que garder la même notation faciliterait la compréhension ?

Dans la partie "Notation algébrique" : "Il a autant de composantes que son espace n’a de dimensions." => "Il a autant de composantes que son espace a de dimensions."

Juste en-dessous tu fais référence à "Dans l’exemple ci-dessus", en parlant de l’image de la partie précédente, alors que l’exemple situé juste au-dessus est en réalité u->. (je ne sais pas faire la notation désolé)

Dans la partie "Vecteur nul" : "A.." au lieu de "A" ou "A…". Ainsi que "opposé:" au lieu de "opposé :"

"Pour aller plus loin.. " -> "Pour aller plus loin… "

Sur le fond. Je suis pas super calé en physique. Mais de mes souvenirs, les vecteurs forces n’étaient pas fixés à un point de l’espace.
Pour les vecteurs vitesse et accélération, le point application est toujours la position. D’après Wikipédia ça s’appellerait un vecteur lié ou un pointeur, mais je n’aime pas du ces appellations car c’est confisant avec la notion de vecteur lié en mathématique et avec le concept de référence en informatique.

Sur la forme, ça fait un peu cours magistral. Y a pas encore d’introduction et les deux premières parties sont des définitions un peu brutes. Parfois, on retrouve deux paragraphes très court qui pourraient être fusionnés. Par exemple :

Attention, si cette formule est correcte pour les vecteurs, elle ne fonctionne pas pour leurs normes !

Aussi AB + BC ne valent AC que si et seulement si B se trouve sur le segment [AC]

En même temps que la notion de vecteur colinéaire(juste après) , il y a peu être la notion de vecteur coplanaire qui pourrait être introduite.

Pour aller plus loin => Produit vectoriel ? Ou encore plus loin peut-être : Déterminant ?

En tout cas, c’est un bon début

Je suis pas super calé en physique. Mais de mes souvenirs, les vecteurs forces n’étaient pas fixés à un point de l’espace.

Pour les vecteurs vitesse et accélération, le point application est toujours la position.

C’est une vision un peu naïve, on voit plutôt les vecteurs comme des champs, autrement dit comme des fonctions $\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ (ou n’importe quelle dimension pertinente). La question de savoir si on "lie" ou pas le vecteur, on s’en fout pas mal. Ce qui nous intéresse est de savoir quel est le vecteur pertinent pour décrire le système en un point donné dans l’espace. Mathématiquement, le vecteur associé à une position par le champs reste un vecteur tout ce qu’il y a de plus normal.

Il serait utile de parler de vecteurs équipollents, càd des vecteurs identiques à excepter le point d’application.

Bonjour,

Pour l’instant, c’est plutôt décousu. Ça ressemble à des notes de cours, qui ne seraient pas utilisables sans avoir assisté au cours correspondant. Autrement dit, j’ai le sentiment que la pédagogie n’est pas encore au rendez-vous.

Sur ce qui est de la structure, tu entremêles les aspects géométriques et analytiques. À mon avis, ce n’est pas une bonne méthode, parce qu’elle introduit trop de choses en même temps. Une meilleure approche serait de traiter d’abord l’aspect géométrique, qui permet de visualiser toutes les propriétés correctement, et ensuite de montrer comment ces propriétés se traduisent en géométrie analytique.

Aussi, tu alternes entre des vecteurs du plan et des vecteurs de l’espace. La différence n’est pas très importante, mais pour quelqu’un qui débute, mieux vaut commencer seulement par les vecteurs du plan, puis porter toutes les propriétés à l’espace (ce sont les mêmes !). Cela offre une meilleure progression.

Je ne suis pas non plus convaincu par tes apartés sur les vecteurs en physique. Ils sont ancrés dans l’espace (vecteurs position) sont définis comme une dérivée des premiers (vecteurs vitesse), ou plein d’autres choses encore. Les autres ont en dit plus que moi (notamment que tout est plus ou moins un champ de vecteurs).

Quoi qu’il en soit, c’est un sujet assez ambitieux. J’avais entamé quelque chose il y a quelques temps, et c’est assez difficile d’amener les notions progressivement. La progression au cours du programme de collège et lycée est pas mal en fin de compte.

Bonjour,

Je m’attendais pas à autant de retours, c’est encourageant

La version actuelle est un premier draft fait en deux heures, il faut en effet que j’ajoute de la pédagogie pour amener les choses au fur et à mesure (au lieu de lister les définitions et les propriétés).

Effectivement, il vaudrait mieux parler des applications à la toute fin et commencer par l’aspect géométrique avec des vecteurs de plan.

En revanche, j’aimerais faire un mini-tuto qui ne soit pas trop gros. Le vecteur étant à la base de beaaaaucoup de choses, je pense qu’il faut que je m’arrête à un certain niveau quitte à orienter les lecteurs vers les notions plus avancées avec des liens à la fin ou quitte à faire un autre tutoriel sur des notions plus avancées.

Merci, je vais l’améliorer demain

En revanche, j’aimerais faire un mini-tuto qui ne soit pas trop gros. Le vecteur étant à la base de beaaaaucoup de choses, je pense qu’il faut que je m’arrête à un certain niveau quitte à orienter les lecteurs vers les notions plus avancées avec des liens à la fin ou quitte à faire un autre tutoriel sur des notions plus avancées.

C’est une bonne idée. Même en restant sur les fondamentaux, on peut déjà dire beaucoup sur les sujets simples. Par exemple, j’ai fortement restreint mon tuto sur les signaux sinusoïdaux, et il est déjà assez volumineux finalement.

• Quand on choisit de parler de l’image de $A$ comme étant $A'$ alors qu’ensuite on montre $A\to B$ c’est un peu bizarre.

• On pourrait vous reprocher de ne pas avoir utiliser l’écriture sous forme $\vec{u} = x\vec{e_x} + y\vec{e_y} + z\vec{e_z}$.

• Aussi vos notations entre parenthèse peut se faire avec KateX et donc par la peine d’être contraint à écrire en ligne ex : $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

• Question de style, moi j’aime bien avoir un rappel des codes couleurs. Si on exploite une code couleur dans les images pourquoi ne pas le voir transparaître dans le texte(?).

Enfin bon ce dernier point est assez personnel… je vous propose néanmoins quelques modifications en reprenant votre premier texte :

Définition

Le vecteur est une notion qui peut être défini de plusieurs façons différentes, y compris en mathématiques. Je vous propose donc, dans un premier temps, la définition au sens géométrique.

Un vecteur est la représentation d’une translation, c’est-à-dire d’une transformation qui déplace un point A dans l’espace en un point B.

On dit alors que B est l’image de A par le vecteur.

Notation graphique

Graphiquement, il est symbolisé par une flèche ayant un point de départ, un point d’arrivée qui pointe vers le sens du vecteur.

Exemple :

Contrairement en physique, en mathématique le vecteur n’est pas encré dans l’espace, le vecteur v qui transforme A en B a comme tous les vecteurs :

• une direction : La direction du vecteur $\color{red}\vec{v}$ est celle de la droite AB
• un sens : Le sens du vecteur $\color{red}\vec{v}$ est de A vers B
• une norme : La norme du vecteur $\color{red}\vec{v}$ est la longueur entre A et B.

Notation algébrique

En algèbre nous notons un vecteur avec une flèche au dessus de son nom, par exemple : $\bf{\vec{v}}$

Il est aussi possible de définir un vecteur avec deux points, exemples : $\overrightarrow{AB}$ ou $\overrightarrow{BA}$

Il est tout aussi possible de définir un vecteur à l’aide de la notation "vecteur colonne", exemple :

$\vec{u} = \begin{pmatrix} \color{black}u_{\color{red}{x}} \\ \color{black}u_{\color{red}{y}} \\ \color{black}u_{\color{red}{z}} \end{pmatrix} = \color{black}u_{\color{red}{x}}\color{blue}{\vec{i}} + \color{black}u_{\color{red}{y}}\color{blue}{\vec{j}} + \color{black}u_{\color{red}{z}}\color{blue}{\vec{k}}$

Il a autant de composantes que son espace n’a de dimensions.

Lorsqu’un vecteur est utilisé en géométrie, ses composantes sont les coordonnées du vecteur : la différence des coordonnées des points que le vecteur transforme.

Dans l’exemple ci-dessus, nous aurions $\color{red}\vec{v}\color{black} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = 4\color{blue}{\vec{i}}\color{black} + -1\color{blue}{\vec{j}}$ car l’abscisse du point transformé monte de 4 et que son ordonnée chute de 1.

On dit alors que $\color{red}\vec{v}$ a une abscisse de 4 et une ordonnée de -1

Applications

Définir un point

Si un vecteur transforme un point en un autre, il est possible de définir un point avec un autre point et un vecteur.

Par exemple, il est possible de définir A tel que $\overrightarrow{OA} = \vec{v}$ si O et $\vec{v}$ sont connus.

Cette façon de positionner un point est souvent utilisé dans la programmation de jeux vidéos et dans d’autres logiciels de 3D.

Physique

En Physique on retrouve les vecteurs utilisés pour définir une vitesse. Attention cependant : en physique les vecteurs sont encrés dans l’espace et ont donc un point de départ, ils ne peuvent pas 'glisser' comme en mathématique.

Moi j’aurai espéré une approche plus algébrique.

Parceque tu as les bases d’algèbre. Pour quelqu’un qui n’en a pas, c’est inconcevable de commencer par ça.

Je me souviens qu’en Sup, on avait fait abordé les espaces vectoriels. Un camarade, qui pourtant savait ce qu’est un vecteur, a été largué par cette approche formelle. Il est parti faire d’autres études.
Je pense que l’approche géométrique permet de mettre en place une pédagogie efficace.

Le problème de la notation avec $\vec{i}$ et $\vec{j}$ c’est qu’il faut d’abord définir le repère $(O; \vec{i}; \vec{j})$

Je reprendrais les propositions mais dans la partie où je commencerai à parler d’algèbre et de coordonnées, je pense.

Je me rend compte que regrouper les définitions ensemble, les propriétés ensemble, etc.. n’est pas la bonne approche. Je vais plutôt regrouper les notions par approche (géométrique puis algébrique avec une transition qui parle des coordonnées et du repère)

Si c’est le seul problème que tu ais avec les vecteurs unitaires que j’ai proposé, vue que tu utilises déjà :

Tu peux écrire :

avec une meilleure transparence pour la relation entre $u_{\color{red}x} \leftrightarrow \vec{e_\color{red}x}$

Question de style, moi j’aime bien avoir un rappel des codes couleurs. Si on exploite une code couleur dans les images pourquoi ne pas le voir transparaître dans le texte(?).

Il y a le problème de l’accessibilité. Les non-voyants se retrouvent avec des codes couleurs au milieu du texte qui ne leur parlent pas. Les daltoniens peuvent être plus confus qu’autre chose si le code couleur n’est pas adapté.

Et enfin, mais c’est sujet à débat, en cherchant un peu sur Google scholar il semble qu’ajouter de la couleur n’aide pas forcément l’apprentissage. De clairs inconvénients du côté de l’accessibilité et un avantage pédagogique incertain (perso ça m’embête plus qu’autre chose quand le texte est bariolé…) me font dire que c’est une fausse bonne idée.

Question de style, moi j’aime bien avoir un rappel des codes couleurs. Si on exploite une code couleur dans les images pourquoi ne pas le voir transparaître dans le texte(?).

Tout comme l’éponge, je n’aime pas du tout les couleurs dans un texte. Problèmes d’accessibilité, mais aussi d’impression. Et puis les couleurs c’est subjectifs et ça me perturberait plus qu’autre chose de devoir m’habituer à divers codes couleurs variables selon les auteurs et les goûts.

Je viens de voir les remarques pour les couleurs, c’est un peu embêtant pour les graphiques… Quelles couleurs seraient à utiliser pour les daltoniens ?

Bonjour les agrumes !

La bêta a été mise à jour et décante sa pulpe à l’adresse suivante :

J’ai tenté dans cette mise à jour d’expliquer un peu plus et de réordonner un peu le tout.
Certaines parties ont été retirées temporairement, il faut que je les remettes après réécriture.

J’espère que ça fait moins décousu et notes de cours

Merci d’avance pour vos commentaires.

Ce n’est pas dans la bêta pour éviter de faire spammer Clem' mais je viens d’ajouter un rappel après la relation de Chasles :

Rappel

Dire qu’un vecteur vaut la somme de deux vecteurs n’implique pas que sa norme vaut la somme des normes des deux autres vecteurs  : la relation de Chasles ne fonctionne donc pas pour les longueurs.

Aussi, $AB + BC$ ne valent $AC$ qui si $B$ se trouve sur le segment $[AC]$.
Il reste possible de calculer la norme des vecteurs d’une autre façon, mais nous verrons ça plus tard.

Si k est négatif, $|k| = -k$

Comment tu fais ça ?

Prenons un k négatif : -4.

$|-4| = -(-4) = 4$

Par contre, je viens de remarquer une bourde.. J’ai écris :

Puisque les droites $(AB)$ et les droites $(DC)$ sont parallèles et que les longueurs $AB$ et $DC$ sont égales : le vecteur $\overrightarrow{AD}$ est forcément égal au vecteur $\overrightarrow{BC}$.

C’est faux. Il manque la notion du sens.

Je vais le prouver avec la relation de Chasles, c’est plus simple. Du coup je dois inverser les deux parties..