De la bonne pratique des unités

Je suis tombé sur une page de tutoriel qui m’a fait réfléchir et je ne sais pas encore quel est le consensus autour de cette réflexion, ici, sur zeste de savoir. Je pense qu’il est impératif que la ligne éditorial du site prenne position sur cette question.

Voici la question :

Je vais donc dédié ce post au débat, s’il y a lieu d’être pour qu’on en discute. Et ainsi proposer une solution que satisfasse tout le monde.

La question peut sembler provocatrice puisque la plupart des scientifiques ici présents utilisent ce symbole ou savent $\pm$ l’utiliser. Mais tout de même ? Peut on avoir une perte d’information aussi cruciale que celle présenter sur la page cité ci-dessus ?

Elle n’est certainement pas la seule dans ce cas et moi-même je n’ai pas toujours suivi ce formalisme :

Tout ce qui se trouve d’un coté d’un signe égal, doit pouvoir se re-déduire ce qui se trouve de l’autre coté. Au même titre que $3+5=8$, $8$ peut être décomposé, sans savoir que nous l’ayons obtenu via $3+5$ ainsi $8 = 3+5$.

Là où je veux en venir c’est qu’en écrivant des choses comme :

On implique une perte d’information. Si d’un coups, pris d’une folie furieuse, je masque une partie de l’égalité :

Je donne cette fraction à n’importe qui, et il m’indiquent bel et bien un nombre sans unité !

La vraie question est donc :

Dans notre cas précédent $d = \underbrace{500\;m}_d$ nous sommes d’accord pour dire que tout le membre de droite est $d$ stricto sensu, donc lors du calcul de $v$ :

Qu’en dites vous ? Cela nous permettrez de suivre les réformes pédagogiques qui s’appuient déjà sur ces questions depuis longtemps. Je vous invite à débattre.

Source: REGARDS CROISÉS - IREM Paris 2018

Salut,

J’ai déjà lu le document que tu cites il y a quelques temps. La conclusion est assez claire : garder les unités est bénéfique.

Forcer les auteurs à le faire, ce n’est pas une bonne idée.

Il y a plein de choses peu rigoureuses qui sont faites parce que c’est plus simple/lisible et si on passe à une rigueur extrême sur le sujet, ça sera débile. Une fois l’intérêt pédagogique passé, on peut être moins rigoureux.

Par exemple, en physique, on aime bien parler d’un signal $s(t)$. Un signal est une fonction, donc c’est le signal $s$ et $s(t)$ est la valeur à l’instant $t$… Autre exemple en physique, on note parfois :

$\frac{\mathrm d u(t)}{\mathrm d t}$

Mais ça n’a aucun sens, parce que ça vaut toujours zéro. On devrait plutôt noter

$\frac{\mathrm d u}{\mathrm d t}(t)$

Et je passe sur les équations différentielles où on écrit :

$\frac{\mathrm d u}{\mathrm d t}(t) + u(t) = 0$

sans écrire pour quelles valeurs de $t$ où veut que la fonction soit solution.

Là tu me parles d’un problème de rigueur des physiciens faces aux mathématiciens quand tu cites la mauvaise pratique de ce qu’on fait subir à l’argument de nos fonctions. Tu penses que c’est du même ordre d’importance que les unités donc ?

Je peux concevoir qu’on dise : oui avec les unités c’est mieux, mais on oblige personne à le faire. C’est juste que jusqu’ici personne ne s’était prononcé sur la question je crois.

Pour info, j’ai toujours vu la notation que tu critiques. Je comprends l’aspect pédagogique de mettre les notations au sein des calculs, mais c’est vite lourd. Et être lourd, c’est anti-pédagogique.

Dans les calculs intermédiaires, j’ai toujours zappé les unités, qui réapparaissent à la fin. Écrire

ne me choque pas une seconde.

Je n’ai contre le fait de le mettre, mais pour l’imposer, il va me falloir une source beaucoup plus sérieuse sur l’intérêt de la chose.

On peut considérer que le calcul est une abstraction mathématique pour obtenir un résultat. Lors des étapes intermédiaires, on s’en moque pas mal de l’unité, ici on manipule de manière abstraite des nombres et symboles dans le but d’en extraire un résultat. Et justement cette abstraction rend valide cette manipulation peut importe si les valeurs ont un sens physique précise ou pas. Le calcul intermédiaire sera vrai quelque soit l’unité, tant que les règles des maths et calculatoires ont été respectés.

Quand le résultat est connu, préciser l’unité pour redonner un sens physique à ce résultat est évidemment salutaire, car c’est après tout la raison pour laquelle le calcul a été fait. C’est donc bien de le rappeler.

Tiens, autre chose me revient. Le niveau de détail nécessaire dépend du public cible. En M2, on faisait des sommation implicites d’Einstein, pas en licence. Par contre, très vite, en thermo, on ne précisait plus les variables constantes dans les dérivées partielles. Toutes mes notes depuis le M1 utilisent pour les dérivées une forme en $\left.\partial_x F\right|_{y,z}$ (qui est presque valide d’après Wikipédia) au lieu des formes complètes du genre $\left( \frac{\partial F}{\partial x} (x, y, z) \right)_{y,z}$. Parce que c’est beaucoup plus court et que je me comprends.

Si ne pas noter les unités dans les calculs altère la compréhension, il faut les mettre. Sinon, on peut les oublier. Ça dépend du public et de la lourdeur déjà présente dans les calculs.

Mais là on parle de notations dans des étapes intermédiaires d’applications numériques, non ? Donc un truc qui n’existe même plus dans les sciences après le Bac ? C’est une question purement pédagogique sur des formules de type $v=d/t$, difficile d’y répondre sans expérience de prof dans le secondaire. Et de mon point de vue de quelqu’un qui ne travaille jamais avec des unités, $m$ et $s$ ressemblent à s’y méprendre à des variables…

PS : Pour l’histoire d’égalité qui se lirait dans les deux sens, heureusement qu’on a les notations de Landau en analyse.

Très juste donc la question pourrait se poser selon le public ciblé alors ?

Hello,

Je propose deux éléments de réponse, pour une question en réalité assez générale. Je n’ai pas lu le papier de l’IREM.

Tout d’abord, en mathématicien, je considère que toute notation mathématique doit respecter deux impératifs : être juste (ne pas impliquer d’erreur systématique de logique) et être clair (pour, notamment, les lecteurs).

Tout comme Gabbro, je considère que $\partial_x F$ est une bonne notation. D’ailleurs, sur le même sujet, je note toutes mes différentielles $f_*$ plutôt que $df$. Aucun des deux choix n’implique une erreur de justesse, et elles sont claires si elles sont bien introduites.

Ensuite, en philosophe, j’observe dans l’égalité un grand paradoxe. L’égalité doit simultanément indiquer que deux choses différentes sont en fait les mêmes. En effet, toute égalité triviale ou tautologique étant parfaitement inutile, ce sont les égalités entre deux expressions différentes et a priori de valeurs différentes qui sont intéressantes.

Un exemple fameux est certainement $E=mc^2$. Au repos, la masse c’est de l’énergie. Deux choses en apparence différentes mais en réalité … égales.

Doit-on écrire les unités à toutes les étapes ? Certainement que non, car cela n’apporte rien de l’écrire à toutes les étapes, et non seulement au début et/ou à la fin. Et tout apport inutile manque à la clarté. Mais bien sûr, cela peut-être amandé par le fait que la notion de clarté dépend du public … et mérite donc des adaptations selon les dispositions de l’auditorat (quand il est connu)

Que signifient les unités dans un calcul ? J’ai envie de répondre : que signifient les unités dans $E=mc^2$ ?

Les unités sont un outil a priori pour constater la vraisemblance d’une égalité. Ce n’est ni une justification, ni un outil suffisant pour déclarer la fausseté d’une égalité.

D’ailleurs, dans toute égalité, on peut toujours insérer des $1$ ou des $0$ (selon si on fait des sommes ou des produits), et déclarer que le $1$ est en fait une unité de lumière, ou autre, afin d’équilibrer les unités de deux membres.

En prof de maths, un enchaînemet d’égalités du type $v=d/t=100/50 = 2m/s$ me dérange parce qu’il y a rupture d’homogénéité (100/50 étant une quantité sans unité). Du côté matheux-mais-pas-prof, c’est un abus que l’on peut s’autoriser… entre gens consentants et avertis, comme tous les abus.

Les unités sont un outil a priori pour constater la vraisemblance d’une égalité. Ce n’est ni une justification, ni un outil suffisant pour déclarer la fausseté d’une égalité.

Les unités sont un outil, mais il me semble que les grandeurs (vitesse, quantité de matière, masse, etc.) jouent un rôle beaucoup plus ontologique dans les relations d’égalité.

D’ailleurs, dans toute égalité, on peut toujours insérer des $0$ ou des $0$ (selon si on fait des sommes ou des produits), et déclarer que le $1$ est en fait une unité de lumière, ou autre, afin d’équilibrer les unités de deux membres.

Certes, mais multiplier par une unité de lumière, ou autre, change la nature de la relation que l’on écrit.

Les unités sont un outil, mais il me semble que les grandeurs (vitesse, quantité de matière, masse, etc.) jouent un rôle beaucoup plus ontologique dans les relations d’égalité.

Mais à part être une sorte d’argument d’autorité, est-ce que ça peut vraiment décider d’un vrai/faux ?

Certes, mais multiplier par une unité de lumière, ou autre, change la nature de la relation que l’on écrit.

Et du coup, on peut effectivement faire tout et n’importe quoi avec des 0 ou 1 cachés

Tout ce qui se trouve d’un coté d’un signe égal, doit pouvoir se re-déduire ce qui se trouve de l’autre coté. Au même titre que $3+5=8$, $8$ peut être décomposé, sans savoir que nous l’ayons obtenu via $3+5$ ainsi $8 = 3+5$.

Je ne suis pas certain que ce soit bien cela.
Tu utilises le mot "déduire", or, "$8$" n’est pas une proposition, ni d’ailleurs "$5 + 3$".

En fait, quand on écrit $3+5=8$, cela veut dire qu’on a aussi $8=3+5$. L’égalité est une relation symétrique (pour les autres propriétés, voire Wkipedia).

Ce que je cherchais, maladroitement certes, à montrer ici c’est que là où :

est correct,

ne l’est pas.

En effet, on pourait écrire :

$\left\{\begin{aligned} d &= 500\;m \\ t &= 10\;s \\ v &= \frac{d}{t} = \frac{500}{10} m\cdot s^{-1} =\ 50 m\cdot s^{-1} \end{aligned}\right.$

La multiplication par des constantes magiques qui valent 1 unité qu’on veut est un pratique assez courante. Ça sert entre autre pour adimensionner une équation. Ou bien lorsque l’on veut calculer des exponentielles de truc en calcul scientifique, et que le truc est dimensionné. On divise par une constante qu’on fixe à , et hop !, ça marche.

Ce n’est pas paraeil de faire x1 et x1m, mais on peut le faire. À priori, si je considère un objet de masse $m_0=1kg$, de vitesse $v_0 = 1m/s$, d’accélération $a=1m/s^2$…, je peux réécrire toutes les équations de Newton en les adimensionnant par mon objet de références, la physique nsera la même. On a perdu en information et on n’a rien gagné, mais rien ne l’empèche.

Bah en perdant ces informations tu ne sais pas forcément retrouver quoi faire des informations que tu delivreras. Que peut ont soustraire aux résultats que tu trouves ? S’ils sont adimensionnés comment savoir de quoi on parle ? Nos étalons et grandeurs physiques n’ont elles pas une place bien choisis dans la communication de ce que les équations veulent dire. dans le sens où des lettres sans unités ça me parle pas plus que ça, indifférement des lettres employés.

c_pages palait de la licéité de la chose. Je dis que ça se fait parfois. Globalement, je suis d’accord, c’est une mauvaise idée.

Nos étalons et grandeurs physiques n’ont elles pas une place bien choisis dans la communication de ce que les équations veulent dire. dans le sens où des lettres sans unités ça me parle pas plus que ça, indifférement des lettres employés.

Ben… Ça dépend ce qu’on veut faire. Si on étudie le comportement physique d’un système, les variables dimensionnées associées à un choix arbitraire d’unités n’ont pas forcément de sens physique pertinent. Ce sens ne vient que lorsqu’on applique le dit système à une instance particulière.

Par exemple si on prend l’équation de diffusion dans sa forme la plus simple $\partial_tT=\kappa\nabla^2T$, on a l’impression qu’il y a la diffusivité qui controle le comportement physique du système, mais c’est simplement parce qu’on regarde ce qui se passe dans l’espace dimensionné $(t,\vec r)$. Si on regarde ce qui se passe dans l’espace adimensionné $(t\frac{\kappa}{L},\vec r\frac{1}{L})$, on se rend compte que $\kappa$ est un faux paramètre qui ne dicte ce qui se passe que dans l’espace dimensionné. Physiquement, il n’a pas de pouvoir descriptif intéressant. Le phénomène de diffusion se comporte indépendament de $\kappa$ qui n’est là que pour faire le joint dimensionel entre les dérivées spatiales et temporelles de $T$.