Un zeste de trigonométrie

a marqué ce sujet comme résolu.

Bonjour à tous,

Je lance un projet de rédaction collaborative !

Description

Le but du projet est de rédiger un tutoriel de trigonométrie :

  • en français ;
  • pour publication sur Zeste de Savoir ;
  • destiné aux débutants autodidactes ayant des notions de géométrie élémentaire ;
  • permettant d’acquérir les outils de trigonométrie essentiels pour les sciences et l’ingénierie.

L’idée est vraiment de fournir les bases pour pouvoir continuer son apprentissage autonome en ayant les outils trigo qu’il faut. La définition exacte du contenu sera la première étape du projet.

Déroulement

  • Phase 1 : Définir le périmètre exact du tuto
    • définir la cible
    • définir ce qu’on aborde, et ce qu’on aborde pas
    • définir les prérequis
  • Phase 2 : Définir la structure globale du tuto
    • structurer les principales étapes du déroulé
    • pouvoir publier par morceau
  • (en ce moment) Phase 3 : Rédaction et pré-validation de la partie 1
    • définition du plan détaillé de la partie
    • rédaction (voir ci-dessous)
    • import sur zds
    • pré-validation
  • Phase 4 : Rédaction et pré-validation de la partie 2
  • Phase 5 : Rédaction et pré-validation de la partie 3
  • Phase 6 : Finalisation, validation et publication des parties 1, 2, et 3
  • Phase 7 : Rédaction, validation et publication de la partie 4.

Organisation

Tout le monde est le bienvenu. :) Pour ma part, je joue le rôle de « rédacteur en chef » et serait sûrement l’auteur principal de fait, ainsi que la personne qui arbitre les grands choix.

Quelques règles à suivre pour que ça se passe bien :

  • écrire ici : https://md.roflcopter.fr/XzVxPBOCTI23yf_rlJVcng?both (Même pas besoin d’être inscrit sur ici ou là-bas !)
  • tout ce que vous écrivez est en CC-BY
  • mettez votre pseudo dans la liste tout en bas pour être crédité
  • en cas de doutes ou de questions, demandez sur le présent sujet de forum

J’ai prévu d’informer de l’avancement ici-même.

C’est bénévole, pas de contrainte forte de temps. À titre personnel, j’aimerai avancer lentement mais sûrement sur ce projet, en y travaillant quelques heures par semaines, en espérant que la motivation soit durable ! Si je pouvais finir la totalité pour le 4e trimestre 2021, ça serait parfait, mais c’est sans compter les péripéties (notamment de validation).

À noter qu’il y a un tuto de créé ici, mais ce n’est pas là que la rédaction se passe.

Suivi

Résumé de la phase 1

Petit résumé de là où on en est à l’issue de cette phase 1.

Cibles et prérequis

J’ai envie de m’adresser :

  • aux hobbyistes qui ont un projet et se découvrent des lacunes pour s’en sortir ;
  • à des gens qui étudient la physique ou l’électronique hors-cursus et aurait besoin d’acquérir des compétences en trigo que leur support suppose acquises.

Ces personnes ont pour objectif :

  • d’être autonomes sur des problèmes pas forcément standardisés ;
  • de savoir utiliser les outils dans toutes les situations courantes ;
  • développer un peu leur intuition géométrique pour savoir quand les outils peuvent servir.

Ce que ces gens savent déjà :

  • géométrie élémentaire : triangle, angle (mesuré en degrés), point, segment, droite, cercle, etc. * arithmétique élémentaire (fractions par exemple).

Les parties plus avancées du tuto pourrait requérir des prérequis supplémentaires.

Contenu

Pour cette cible et ses besoins, il faut orienter vraiment le tuto sur la pratique.

Ce qu’on aborde :

  • angle et projections, projections orthogonale ;
  • relations de proportionnalités et leur noms (i.e. cosinus d’un angle, sinus d’un angle) ;
  • triangle rectangle comme synthèse de ça et sohcahtoa ;
  • extension "naturelle" vers les angles obtus (distances algébriques) ;
  • cercle trigo comme synthèse de ça ;
  • mesure en degré vs. mesure en radian ;
  • calculer des valeur des cosinus, sinus, tangente (fonctions) ;
  • calculer des angles à partir de valeurs de cosinus, sinus, tangentes (fonctions réciproques notamment).

Ce qu’on aborde dans de possible extensions :

  • les formules de trigo ;
  • les angles remarquables ;
  • présentation des fonctions trigonométriques
  • périodicité, bornes, limites, parité des fonctions ;
  • la résolution propre d’équations.

Ce qu’on aborde pas :

  • tout ce qui est dérivation, intégration, séries de Fourier.

Résumé de la phase 2

Progression générale du tuto :

  • Les angles et leur mesure

    • rappeler brièvement ce qu’est un angle
    • orientation (c’est la petite flèche), qui particularise les deux côtés
    • notion d’opposé d’un angle (le même mais dans l’autre sens)
    • Mesure en degré (on prend un cercle, on coupe en 360 morceaux), qui a donc un signe
    • Mesure en radians (longueur de l’arc de cercle, orienté toujours)
    • Formules pour passer de l’un à l’autre
  • Comprendre les relations entre distances dans un angle aigu positif

    • prendre un point sur un côté et projeter créer des longueurs en relation avec cet angle
    • viser le point le plus proche : projection particulière (orthogonale)
    • la distance entre le point et son projeté est une mesure d’écartement de l’angle à une distance du sommet
    • pour différents points et leurs projetés, on a des relations de proportionnalité (c’est Thalès en gros) entre les différents côtés
    • on particularise certaines relations de proportionnalité que l’on nomme
    • on introduit la notion de cosinus d’un angle géométrique (i.e. pas lié à la mesure, mais à la figure). Notation du type « cos Â ».
    • Mise en application : on peut calculer des cosinus/sinus/tangente avec des distances ou des distances avec des cosinus/sinus/tangente.
    • application calculatrice pour bien montrer qu’il faut faire attention à ce qu’on fait avec les unités
    • Avec le projeté orthogonal, on fabrique en fait des triangles rectangles.
    • Définition du cosinus, sinus, tangente d’un angle (géométrique toujours) en fonction des côté du triangle rectangle, socahtoa.
  • Extension aux angles aigus 'négatifs’ et aux angles obtus (y compris négatifs)

    • dans un angle obtus < 180°, le projeté est "en dehors" de l’angle
    • si on prend juste la longueur, on va trouver le même rapport
    • on peut distinguer les deux rapports avec le signe (distance algébrique)
    • en ouvrant encore plus l’angle (> 180°), on voit un besoin similaire avec le côté opposé (ou alors avec un angle aigu négatif)
    • formules généralisées pour cosinus, sinus, tangente
    • application "calculatrice" avec l’importance des signes
    • présentation du cercle trigo "de rayon R"
  • Calculs inverses

    • jusqu’ici ça a toujours été angle vers cosinus, sinus, et tangente
    • on peut faire l’inverse
    • importance du fait qu’un seul inverse (par exemple celui du cosinus) ne suffit pas
    • l’information supplémentaire vient de la connaissance de l’angle (obtu, orientation, etc.) …
    • … ou alors du sinus ou tangente
    • pratique calculatrice

Plan grossier :

Partie 1 : Les angles et leur mesure

Angles et angles orientés

Mesure d’un angle

Degrés
Des degrés au radians

Partie 2 : Relations entre distances dans un angle aigu positif

Projections orthogonales

Relations de proportionnalités et cosinus, sinus, tangente

Application

Triangle rectangle trigonométrique

Partie 3 : Relations entre distances dans un angle quelconque

Généralisation à tous les angles

Formules généralisées

Application

Cercle trigonométrique

Partie 4 : Calculs inverses

En ce moment

Que fait-on en ce moment ?

Actuellement, on est dans la phase 3.

  • Phase 3 : Rédaction et prépublication de la première partie
  • plan très détaillé de la partie
  • rédaction de la partie, images, …
  • pré-validation
+8 -0

Je pense que c’est plus facile d’en discuter ici, parce que c’est "méta" et qu’il faut discuter du fond avant d’écrire la forme. J’ai déjà quelques idées que j’essaierai de présenter dans le week-end, et qui définissent plus précisément ce que j’ai en tête quand j’écris « acquérir les outils de trigonométrie essentiels pour les sciences et l’ingénierie ».

Salut,

En fait cela ressemble à s’y méprendre à une nouvelle forme d’écriture de contenu sur le site, objet de discussions récentes. Me trompes-je ?

Sinon, cela donne envie …

Stéph

Si je comprends bien ta question, rien d’officiel, mais plutôt une expérimentation directement lancée par Aabu ^^

+0 -0

Ha, au temps pour moi alors. :p

Je trouve l’idée très bonne et j’espère chopper un sujet qui me permettra d’apporter ma contribution.

Comme "c’est en forgeant qu’on devient forgeron" cela peut sans doute provoquer des déclics chez des auteurs n’osant pas se lancer et faire germer de nouvelles publications.

+2 -0

Commençons un peu la discussion. Je pense que devraient être abordés :

  • définition des fonction trigonométriques, avec un beau cercle pour bien les comprendre
  • sohcahtoa bien sûr
  • relations entre différentes fonctions trigonométriques (tan=cos/sin, sin(Pi/2-x)=cos(x), cos(2x)=.., tout ça). Peut-être en annexe ?
  • est-ce que le produit scalaire est dans le sujet ? Ça permettrait aussi d’introduire des choses comme Al-Kashi
  • les fonctions hyperboliques ? ~~

Bon, je présente mes idées par rapport à l’objectif de la phase 1, à savoir définir le périmètre du tuto. Vos avis et suggestions sont les bienvenus. :)+

La cible

J’ai envie de m’adresser :

  • aux hobbyistes qui ont un projet et se découvrent des lacunes pour s’en sortir ;
  • à des gens qui étudient la physique ou l’électronique hors-cursus et aurait besoin d’acquérir des compétences en trigo que leur support suppose acquises.

Pour cette cible-là, il faudrait orienter vraiment le tuto sur la pratique. Avec la trigonométrie, on peut rapidement partir sur des considérations assez éloignées des cas pratiques. J’aimerai éviter de faire quelque chose de trop centré sur les aspects internes aux mathématiques (démonstration, géométrie "à la Euclide", etc.).

Prérequis

J’ai l’impression que la plupart du temps, les personnes dans ma cible ont des notions de géométrie élémentaires acquises au collège (ou équivalent dans d’autres pays). Je dirai qu’elles ont en tête ce qu’est un triangle, un angle (mesuré en degrés), tout ce qui est point, segment, droite, cercle. Et elles ont normalement aussi les notions de base pour faire des calculs simples (fractions par exemple).

Au moins pour le début du tuto, j’ai envie de m’arranger pour que ces prérequis soient suffisants. Et s’il faut d’autres prérequis, ce serait bien qu’ils soient pas trop avancés par rapport à ça.

Ce qu’on aborde, ce qu’on aborde pas

Ce qu’on aborde (pas listé dans l’ordre) :

  • définition dans le triangle rectangle : cosinus, sinus, tangente ;
  • relations entre ces fonctions
  • le lien avec la notion de pente ;
  • le lien avec la projection (très utile en physique notamment) ;
  • cercle trigo et extension des notions dans le cercle trigo (angles orientés notamment) ;
  • notion de radian (important pour le calcul numérique) ;
  • opérations inverses et les subtilités sur les domaines ;
  • calcul numérique pour les fonctions trigo et inverses ;
  • périodicité, bornes, limites, parité des fonctions ;
  • les principales formules usuelles de trigo (certains calculs peuvent y faire appel régulièrement).

Ce que je pense ne pas aborder :

  • les angles remarquables (rarement utile pour la pratique) ;
  • tout ce qui est dérivation, intégration, séries de Fourier (trop de prérequis) ;
  • la résolution propre d’équations (une seule solution suffit en général) ;
  • les formules de trigo moins importantes (par exemple celles en tan(x/2), moins souvent utiles).

Pour réagir à ce que propose Rockaround :

  • sohcahtoa : oui totalement ! (même si perso j’ai retenu sans ça :-° )
  • produit scalaire : j’hésite un peu, c’est lié à la projection, mais c’est mieux traité avec les vecteurs pour moi.
  • fonctions hyperbolique : c’est fun, mais rarement mis en application directe (en bonus peut être ?).

Salut,

Au niveau de l’ordre (et de la définition donnée), je trouve qu’il faudrait commencer par le cercle trigonométrique et ensuite utiliser les notions d’agrandissements et de réduction pour obtenir les résultats pour les triangles rectangles. En particulier, ça donne une explication des formules et ça montre qu’effectivement le cosinus est bien lié à l’angle et pas au triangle.

+1 -0

Au niveau de l’ordre (et de la définition donnée), je trouve qu’il faudrait commencer par le cercle trigonométrique et ensuite utiliser les notions d’agrandissements et de réduction pour obtenir les résultats pour les triangles rectangles. En particulier, ça donne une explication des formules et ça montre qu’effectivement le cosinus est bien lié à l’angle et pas au triangle.

Karnaj

Alors là on part sur le développement plus que sur la définition du contenu.

Par contre, je ne suis pas d’accord sur le fait qu’il faille commencer par le cercle trigonométrique. On peut très bien montrer que ça ne dépend pas du triangle avec la définition dans le triangle rectangle (triangles semblables et tout ça). En plus, je trouve que les liens avec la pente font quelque chose d’assez intuitif.

Le triangle rectangle reste pour moi la définition la plus productive en pratique, et le cercle trigo une bonne manière de voir pourquoi ça se généralise et pourquoi les propriétés sont vraies, sans avoir d’utilité "au quotidien".

Je trouve que commencer par le cercle trigonométrique est plus délicat que de commencer par le triangle rectangle et d’aller ensuite vers le cercle trigo.

  • sohcahtoa bien sûr
Rockaround

J’ai appris dans l’ordre cahsohtoa en retenant "casse toi". Je me souviens que lorsque le professeur nous avait appris cela, toute la classe avait beaucoup rigolé. Et rien de mieux que l’humour pour apprendre ! C’est l’occasion de faire une petite blague dans le cours et ça semble parfaitement correspondre à la cible visée par Aabu.

Excusez-moi pour ce message un peu HS au stade où en est la rédaction de ce tutoriel.

Salut,

La question de la progression des notions est importante. Ainsi, même si la phase 1 est consacrée au contenu plus qu’à la progression des notions, je n’ai pas pu m’empêcher de me renseigner sur le sujet.

L’avantage avec les matières enseignées à l’école, c’est que leur enseignement est relativement bien étudié et documenté. On trouve plein de choses quand on cherche des infos sur la didactique de la trigonométrie :

J’ai juste survolé, donc je ne connais pas le contenu, mais je pense que ceux intéressés par le travail sur le développement du cours trouveront des infos intéressantes sur comment le sujet est abordé et recherché du point de vue pédagogique/didactique.


À noter que c’était un peu prévisible, mais la définition du contenu à naturellement tendance à déborder sur la définition du plan, puisque le contenu exact dépend partiellement de la manière dont on voudra présenter les choses. :)

Je trouve que commencer par le cercle trigonométrique est plus délicat que de commencer par le triangle rectangle et d’aller ensuite vers le cercle trigo.

Aabu

La transition de l’un à l’autre peut se faire facilement en présentant sous une forme ou une autre le résultat suivant : tout point sur un cercle forme un triangle rectangle avec le diamètre dudit cercle.

Sinon, je plussoie sur la partie avec les projections. Et pourquoi pas des applications pratiques qui traitent des systèmes de coordonnées cartésiens/cylindriques/sphériques avec les transitions (le dernier est pas forcément nécessaire).

Si besoin, je peux même fournir une chitchit que je m’étais faite en LaTeX sur les différents systèmes de coordonnées pour passer de l’un à l’autre.

edit : je propose ici de voir comment on peut approximer (ne serait-ce qu’avec des dessins/graphes) les fonctions trigo à l’aide des polynômes qui proviennent des développements limités. Pour leur montrer qu’en fait ce sont pas des fonctions si atroces que ça.

+2 -0

La transition de l’un à l’autre peut se faire facilement en présentant sous une forme ou une autre le résultat suivant : tout point sur un cercle forme un triangle rectangle avec le diamètre dudit cercle.

Mon avis prenait ça en compte. Je trouve justement cette approche plus compliquée.

Sinon, je plussoie sur la partie avec les projections. Et pourquoi pas des applications pratiques qui traitent des systèmes de coordonnées cartésiens/cylindriques/sphériques avec les transitions (le dernier est pas forcément nécessaire).

Ça c’est une très bonne idée ! C’est utilisé en pratique régulièrement.

une chitchit

C’est la première fois que je le vois écrit comme ça. ^^

Feuille de triche => cheat (triche) sheet (feuille). :)

+0 -0

je propose ici de voir comment on peut approximer (ne serait-ce qu’avec des dessins/graphes) les fonctions trigo à l’aide des polynômes qui proviennent des développements limités. Pour leur montrer qu’en fait ce sont pas des fonctions si atroces que ça.

Est-ce que ça les rendrait vraiment moins atroces ?

le lien avec la projection (très utile en physique notamment) ;

Est-ce que ça ne serait pas le seul but utile d’un tel tuto ?


Je pense qu’il faut garder les choses au plus simple. L’objectif est peut-être pas encore assez cerné.

Si on vise un public non mathématicien, le plus important sera de clarifier les méthodes. Les questions d’ordre de calcul seront répondues par Google (qui n’a jamais vérifié ses formules ?)

J’ai pris le temps de lire un peu les documents que j’ai liés dans mon précédent message.

Cet article est léger mais donne quand même quelques éléments. Il met en valeur quelques difficultés et confusion qu’ont habituellement les apprenant, et propose d’enseigner à partir de projections orthogonales (plutôt que de polygones) et de construire progressivement le cercle trigonométrique comme un moyen de synthétiser les concepts. La bibliographie donne quelques pistes d’autres docs à regarder.

Ce rapport est essentiellement rattachés aux programmes scolaires, qui imposent essentiellement de commencer par les triangles rectangles, et qui comportent quelques autres étrangetés. On voit beaucoup l’idée de triangles semblables revenir, ce qui correspond à l’idée importante que le cosinus est bien propre à un angle et pas à un triangle.

La thèse est intéressante. Notamment dans la première partie, elle parle de l’articulation de la trigonométrie dans le triangle rectangle et de celle du cercle, et de l’aspect fonction et des différentes recherches à ce sujet. La morale de l’histoire, c’est que pour les élèves, relier les différentes notions n’est pas évident (angles, la longueur de l’arc de cercle, les mesures d’angles, etc).


@Holosmos : Rester simple, rester orienté pratique, fournir les méthodes et la capacité de s’en servir dans toutes les situations. Les aspects plus formels ne sont pas primordiaux. C’est ça que tu dis ?

+2 -0
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