Pourquoi (x-1)(x+1)/(x-1) n'est pas égal à x+1?

Bonjour,

J’ai une question qui a sans doute une explication très simple mais que je ne parviens pas à comprendre. Soit la fonction f(x) = ((x-1)(x+1))/(x-1). Cette fonction est définie sur tout l’ensemble des réels mais est discontinue au point x=1 car on ne peut diviser par zéro. Or si on simplifie la fraction en éliminant le (x-1) au numérateur et celui au dénominateur, on obtient x+1. À ce moment, la fonction est continue sur l’ensemble des réels.

Pourtant, ((x-1)(x+1))/(x-1) = x+1. Alors, pourquoi cela ne fonctionne pas dans une fonction?

Merci!

Oups tu as raison, j’ai fait une grosse erreur de frappe mais tu as bien compris mon interrogation. Merci pour ta réponse

Ceci dit, je ne comprends toujours pas comment 2 expressions équivalentes peuvent donner 2 fonctions différentes. Je comprends que d’un point de vue mathématique ça fait du sens, mais je me demande ce qui arrive entre les 2 fonctions pour qu’elles ne soient plus exactement pareilles.

Je ne suis pas très sûr d’avoir bien compris la question.

Si on considère la fonction $f: x\mapsto \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$, définie a priori pour tout réel $x\neq 1$, on peut la prolonger par continuité comme le disait @Aabu. On obtient une « nouvelle » fonction, que l’on note encore $f$ cette fois définie pour tous les réels, par $f: x\mapsto x+1$. Et donc on retrouve donc une fonction égale à la fonction affine $x\mapsto x+1$.

Les deux fonctions sont donc égales dès le début, sauf que dans le premier cas on introduit un artefact qui donne l’impression d’une discontinuité en $x-1$, discontinuité qui en fait n’existe pas.

Je pense que par « expressions équivalentes », tu veux en fait dire « formules algébriques égales ». Auquel cas, l’égalité ne peut avoir lieu que lorsque les deux formules sont bien définies. Et si l’une des deux n’est pas définie en un point (par exemple en $x=-1$, au hasard), on va regarder si l’on peut prolonger par continuité. Et ça sera généralement le cas, justement parce que les expressions sont égales partout où elles sont bien définies. Si l’une est bien définie, alors l’autre aussi.

Ceci dit, je ne comprends toujours pas comment 2 expressions équivalentes peuvent donner 2 fonctions différentes. Je comprends que d’un point de vue mathématique ça fait du sens, mais je me demande ce qui arrive entre les 2 fonctions pour qu’elles ne soient plus exactement pareilles.

En introduisant une possible division par 0, tu changes le domaine de validité de l’expression. Souvent, on n’écrit pas ces domaines quand ils sont évidents (le degré d’évidence étant variable selon le niveau du pratiquant), mais ils sont très importants du point de vue de la logique.

Si on est assez rigoureux, on pourrait écrire :

$\forall x \in \mathbb{R}, x + 1 = x + 1$

Comme pour $x \neq 1$, $\frac{x-1}{x-1} = 1$, alors on en déduit que :

$\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 1, (x+1) \cdot \frac{(x-1)}{x-1} = (x + 1) \cdot 1$

On en déduit :

$\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 1, \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1$

On fait une circonvolution qui élimine une valeur et on perd l’équivalence logique. On peut d’ailleurs enlever autant de valeurs qu’on veut. Par exemple pour $x \neq 1$ et $x \neq 0$, $\frac{x(x-1)}{x(x-1)} = 1$.

Ces cas-là n’ont pas un intérêt flagrant, si ce n’est des jeux de logique. On n’est même pas obligé de faire des calculs pour enlever les valeurs. Cette proposition est vraie, par exemple :

$\forall x \in \mathbb{R}, x \neq 1, x + 1 = x + 1$

On peut reboucher les trous derrière comme on veut, vu qu’on les a créé pour le plaisir.

Là où c’est intéressant, ce sont vraiment les prolongements par continuité où le trou existe pour une raison plus fondamentale et qu’on arrive à faire comme s’il y en avait pas. C’est le cas du sinus cardinal (qu’on obtient en bouchant $\frac{\sin x }{x}$ en 0) ou de la cotangente (qu’on obtient en bouchant $\frac{1}{\tan x}$ en $\frac{\pi}{2}$).

J’ai dû sortir des fonctions moins banales que l’exemple initial, parce que les rapports de polynômes (qu’on appelle des fractions rationnelles) sont des fonctions gentilles, et ça finit toujours par marcher, même si on fait un peu n’importe quoi.

Pour généraliser, (corrigez moi si je dis des bêtises), une fonction, c’est 3 choses :

• un ensemble de départ
• un ensemble d’arrivée
• un calcul

Deux fonctions ne peuvent être égales que si elles ont même ensemble de départ, même ensemble d’arrivée, et même 'calcul’.

Par exemple, envisageons ces 2 fonctions f et g :

f est la fonction de R vers R définie f(x)=x+1

g est la fonction de R vers C définie par g(x)=x+1

Si on est rigoureux, et en maths, il faut être rigoureux, ces 2 fonctions ne sont pas égales.

Je ne pense pas que ça puisse se résumer ainsi car

• je ne crois pas qu’une fonction ait nécessairement besoin d’un « calcul » mais qu’elle peut être définie autrement (table d’association, définition implicite — je pense à l’exponentielle qui est définie à la base par ses propriétés)
• dans l’exemple que tu donnes on peut montrer que l’ensemble d’arrivée de g est en fait l’ensemble des réels (la fonction ne renvoie jamais d’irréel pour un réel en entrée) et qu’on peut aussi montrer que pour tout x réel f(x) = g(x), donc que les fonctions sont égales (même ensemble de définition et même valeur pour tout élément de l’ensemble de définition).

Le problème, c’est qu’on définit les fonctions par des expressions par commodité, mais formellement une fonction est « juste » une relation binaire $R \subset E \times F$ (un ensemble de couples) tels que pour tout $x \in R$, il existe un unique $y \in E$ tel que $(x, y) \in F$. Les autres méthodes permettent bien d’avoir une relation ; par exemple avec $f \colon E \to F$ définie par une expression, on crée la relation $\{(x, f(x)), x \in E\}$.

Quand on définit une fonction avec une expression, il faut se demander quelle fonction on définit, et donc quel est l’ensemble de départ (l’ensemble de départ compte puisqu’on rate des couples en le restreignant, celui d’arrivée ne compte pas vraiment).

Finalement, j’aimerais faire la différence entre un calcul et une expression. Les expressions $\frac{x - 1}{x - 1}$ et $x - 1$ sont égales, mais pas les calculs (en fait, même $x + 2$ et $x + 1 + 1$ ne correspondent pas au même calcul). Et quand on définit une fonction avec une expression, on veut généralement dire qu’on donne le calcul à faire pour obtenir $f(x)$ étant donné un élément $x$ de $E$. Et donc ça paraît normal de dire que les deux fonctions que tu donnes sont différentes.

Je vais essayer de compléter un peu ce qu’a expliqué @Karnaj, notamment sur la question de l’ensemble d’arrivée, toujours épineuse¹. En général, quand on définit une fonction de manière algébrique (i.e. par une formule), l’ensemble d’arrivée que l’on choisit en est un qui contient l’ensemble des images, mais parfois contient de manière stricte. Rien n’empêche en effet de considérer $f: x\mapsto x+1$ de $\mathbb R$ à valeurs dans $\mathbb C$, il n’empêche que l’ensemble des valeurs atteinte (qui s’appelle l’image de $f$ et est noté $\text{Im} f$) est $\mathbb R$. On va choisir un ensemble pour lequel il est évident qu’il contient toutes les images. Et ensuite, on essaye de calculer $\text{Im} f$ en éliminant le plus de valeurs possible non atteintes.

Il est intéressant de noter que pour l’ensemble de définition, on procède souvent dans l’autre sens. Si on a une fonction $g:E\to F$, on va choisir un ensemble $E$ pour lequel la définition a un sens de façon triviale. Et on essaye d’agrandir $E$ le plus possible pour définir la fonction sur l’ensemble le plus gros possible, par exemple au moyen de simplifications algébriques, d’un prolongement par continuité (sinus cardinal), etc. Pour beaucoup de fonction un peu sophistiquées, la question du « plus grand » domaine de définition peut vraiment être difficile (je pense par exemple à des solutions d'équations différentielles).