Planétaire terrestre

Je suis assez peu actif sur le forum mais certains me connaissent sans doute déjà depuis l’époque du SdZ ou depuis la publication de mon article sur le dessin d’une spirale de Fibonacci. Ce que vous ne savez sans doute pas, c’est mon intérêt pour la conception mécanique. C’est cet intérêt pour la mécanique qui m’a poussé à entreprendre le projet dont il sera question ici.

Introduction

Les maquettes du système solaire sont toujours impressionnantes. Pouvoir observer la position et le mouvement des planètes sur un objet physique fait toujours son petit effet. Les maquettes dynamiques qui reproduisent le mouvement relatif des planètes, qu’on appelle « planétaire » (en anglais orrery), qu’elles soient modernes ou anciennes, donnent toujours envie d’en posséder une. La société Eaglemoss l’a bien compris car elle propose depuis plusieurs années un planétaire en kit dont les pièces sont vendues chaque semaine dans un numéro. En réalité, Eaglemoss revend une maquette qu’on peut trouver ailleurs, notamment chez Orrerystore.

Des publicités pour le planétaire d’Eaglemoss ont été diffusées à la télévision au moment des fêtes de fin d’année. Elles m’ont tout de suite donné envie car c’était l’occasion d’avoir enfin mon propre planétaire. Même si ce genre de maquette est un peu bas de gamme et hors de prix (quoiqu’une maquette de ce type ne peut pas être bon marché), j’ai décidé d’acheter le premier numéro. Je découvre qu’après le planétaire comptant les huit planètes et deux planètes naines, il est proposé la construction d’un tellurion (c’est-à-dire d’un planétaire limité au Soleil, à la Terre et à la Lune). Finalement, renseignements pris, chaque maquette revient à 700 € et je commence à penser qu’elles ne sont pas si belles que ça et que, quitte à payer très cher, autant concevoir mon propre planétaire. Il ne serait certes pas aussi beaux que ceux exposés dans les musées, ni même aussi réussi que ceux d’Eaglemoss mais au moins j’aurais la satisfaction d’avoir réussi quelque chose.

Vous pouvez facilement trouver des images et des vidéos des planétaires d’Eaglemoss. En voici cependant une :

Genèse du projet

La décision de concevoir un planétaire terrestre a été prise courant janvier. Sachant pertinemment que j’aurais besoin de faire de la CAO, j’ai investi dans un ordinateur Dell Optiplex 745 (sorti en 2006) payé 45 € frais de port compris qui est dédié spécialement à faire de la CAO. Il tourne sous Windows 7 et arrive à faire tourner Solidworks 2016 avec 1 Go de RAM. J’ai récemment fait l’acquisition d’une carte graphique Nvidia GeForce GT710 pour améliorer les performances et je vais bientôt me ruiner dans 4 Go de DDR2 parce que j’ai toujours des messages me prévenant du swap pour la moindre petite chose.

Le but du projet était à l’origine de reproduire uniquement le mouvement de la Terre et de la Lune autour du Soleil sans reproduire les inclinaisons ni la révolution de la Terre. Un engrenage de quatre roues dentées (faux) a été calculé et j’ai très vite décidé d’ajouter l’inclinaison de l’axe des pôles de la Terre en ajoutant trois roues dentées indépendantes de l’engrenage pour conserver l’alignement de l’axe au cours d’une orbite. J’ai commencé à réfléchir sur la réalisation de la maquette elle-même en faisant des dessins et quelques calculs puis j’ai fait une pause.

Choix définitifs

Depuis le mois de mai, j’ai relancé mon projet et j’ai beaucoup travaillé. C’est à ce moment que j’ai compris mon erreur pour le premier engrenage et que j’ai décidé d’ajouter des complications. Après de multiples calculs, commencés et recommencés plusieurs fois, il a été décidé il y a peut-être deux semaines que mon planétaire terrestre aura les complications suivantes : inclinaison de l’axe de révolution de la Terre, inclinaison de l’orbite de la Lune, révolution de la Terre sur son axe, mouvement de précession de la ligne des nœuds de l’orbite de la Lune.

L’intégralité du mécanisme repose sur un engrenage à cinq étages :

1. l’étage d’entrainement avec sa manivelle,
2. l’étage pour la révolution de la Terre (étage J, J pour jours),
3. l’étage pour la conservation de l’alignement de l’axe de révolution de la Terre (étage A),
4. l’étage pour le mouvement de précession de la ligne des nœuds de l’orbite de la Lune (étage P),
5. l’étage pour la rotation de la Lune autour de la Terre (étage L).

J’ai atteint la précision suivante pour les étages J, P et L :

L’étage A a une précision absolue du fait du mécanisme utilisé. Je ne connais par la précision habituelle des planétaires mais les valeurs obtenues me conviennent tout à fait.

J’ai fait en sorte que l’engrenage tienne sur une seule droite : tous les axes de rotation sont compris dans un plan, sauf bien sûr pour l’étage d’entraînement. Cela n’a pas été facile mais j’ai pu trouver une configuration satisfaisante.

Après encore beaucoup de réflexion, je suis arrivé à ceci :

Ce qu’il reste à faire

La modélisation n’est pas encore tout à fait terminée. Je dois encore modéliser quelques roues dentées et d’autres détails comme les entretoises des platines de l’engrenage. Il faut également ajouter toute la visserie. Comme on peut le deviner sur l’image qui est directement issue de Solidworks, le planétaire est fait en laiton et en acier. La grande roue transparente est l’indicateur de la date. Le socle est en bois. Les matériaux peuvent encore être modifié et tout ce qui n’est pas lié aux engrenages peut encore être revu mais la version définitive ne devrait pas être très différente de ce qu’on peut voir aujourd’hui.

Une fois la modélisation terminée, je vais mettre toutes les pièces en plan. Cela me permettra de faire faire des devis pour enfin savoir combien je vais devoir payer. La fabrication ne sera pas effectuée par moi-même. Je n’ai ni le matériel ni le savoir faire pour travailler le métal. Je ferais appel à des entreprises d’usinage et je ferais le montage.

Je réfléchis actuellement à la possibilité de faire fabriquer plusieurs planétaires afin de les vendre. Si ça fonctionne, je pourrais me lancer dans une petite entreprise de conception et de fabrication de planétaire comme il en existe déjà quelques unes. Si vous êtes intéressé, n’hésitez pas à m’en parler.

Sources d’inspiration

Ma principale source d’inspiration est le travail réalisé par l’entreprise anglaise Staines & Sons Orrery Makers. Je ne nie pas une certaine ressemblance avec un de leurs modèles car c’est avec leurs vidéos que j’ai pu avancer dans la conception. J’ai toutefois l’intention de suivre mon propre chemin.

Plus modestement, le tellurion en bois de Holz Mechanik m’a donné l’idée d’ajouter une couronne d’indication de la date.

Un certain KenToonz a eu la bonne idée de filmer la fabrication de son propre planétaire :

Pour le plaisir, voici le planétaire de Jules Verne :

Il est bien sûr hors de question d’aller aussi loin pour le moment.

Points techniques

• Calcul des engrenages

Je vais suivre avec intérêt (j'ai lu en diagonale, étant occupé irl). Ça mérite même une mise en une, ça.

Je suis curieux sur comment tu calcule les engrenages… un petit tuto dessus ?

Je suis content que tu poses la question. J’ai utilisé trois méthodes et aucune d’entre-elles ne mérite de tutoriel car elles sont soit non recommandées soit rien d’autre que des astuces ne justifiant rien d’autre qu’un pense-bête.

La première méthode, et celle qui a donné les meilleurs résultats, a été le calcul systématique, c’est-à-dire le brute force. Connaissant le nombre de roues dentées voulues sur un étage et ayant choisi des bornes pour le nombre de dents de chacune d’entre-elles, j’ai simplement calculé le rapport de réduction de chaque configuration que j’ai comparé à la valeur de référence et j’ai pris la meilleure compte tenu des contraintes. Le calcul a été effectué par un script Python au départ puis avec un programme Fortran. Le script Python n’a été utilisé que pour les anciennes configurations et il s’est avéré trop lent et non adapté aux nouvelles contraintes, notamment il ne me donnait que les $N$ configurations se rapprochant du rapport de réduction optimal. Le programme Fortran fonctionne légèrement différemment car il donne les configurations ayant un écart inférieur à une valeur donné par rapport à la valeur de référence. Sachant qu’il y a potentiellement un grand nombre de configurations sorties avec le programme Fortran et ayant besoin de travailler avec les entraxes, les résultats ont été traités sur tableur pour profiter des fonctionnalités de tri interactif.

La deuxième méthode est de remarquer les propriété mathématiques de la valeur de référence et d’en déduire une factorisation qui permet de trouver des engrenages. J’ai utilisé cette méthode pour l’étage de la précession en remarquant que 186 est divisible par trois. J’ai fini avec un engrenage de sept roues s’ajustant parfaitement dans le mécanisme.

La troisième méthode a donné des résultats moins satisfaisant (les écarts obtenus ont été de l’ordre du dixième de pourcent seulement). C’est une bonne méthode mais pas adaptée pour obtenir un rapport de réduction précis comme en horlogerie. Un planétaire, c’est un peu de l’horlogerie et on voit tout de suite la différence avec les résultats présentés dans mon premier message. Je l’ai notée dans mon cahier et je la transcris ci-dessous.

1. Se donner un rapport de réduction cible $i_0$.
2. Prendre la valeur minimale d’un entier $n$ pour que $i^*=\sqrt[n]{i_0}<10$. Plus $i^*$ est faible, mieux c’est. Ce sera le nombre d’étages de l’engrenage (différent de L, P et J : ces étages sont en réalité des engrenages comprenant chacun trois étages).
3. Calculer $Z^*_1=i^*\times Z_2$ pour des valeurs de $Z_2\in\mathbb{N}$ comprises entre 10 et 100 (c’est le nombre de dents de la deuxième roue).
4. Prendre $Z^*_1$ tel que son arrondi à l’entier le plus proche, noté $Z_1$, soit inférieur à 100 (ou autre valeur maximale choisie) et que $\left\vert 1-\frac{Z_1}{Z^*_1}\right\vert$ soit minimal. Les deux premières roues ont été calculées.
5. Calculer $i=\frac{1}{Z1/Z2}$ et recommencer la procédure avec $i_0\leftarrow i$ et $n\leftarrow n-1$ pour les roues 3 et 4 (et ainsi de suite) ou faire $n$ étages identiques.

Wow, c'est bien original comme projet. C'est cool de voir des projets orientés mécanique (ça change de l'info), et en plus je trouve le sujet très intéressant.

Si tu as envie de faire un article sur les planétaires je le lirai avec plaisir.

Très très intéressant, tout ça ! Je serais moi aussi curieux de voir un tuto sur les planétaires ou sur le génie mécanique. Bon courage à toi !

Merci beaucoup pour cet accueil La mise en avant sur la page d’accueil me fait très plaisir. Ça me motive encore plus. N’hésitez pas à poser des questions sur la conception ou d’autres choses qui vous paraîtraient liées.

Projet intéressant ! Renseigne toi si il n'y pas de Fablab vers chez toi avec une machine CNC qui pourrait t'usiner tes différentes pièces.

Salut,

Pile ce qui m'intéresse

Est-ce que tu as déjà pensé à le faire fonctionner de manière autonome ?

Est-ce qu'il est possible de faire les planètes en verre ?

@Croal: il faut plus qu'une simple machine CNC là pour ses besoins

Autant pour moi .

J’y ai pensé. Certaines pièces sont très simples et peuvent être usinées avec une CNC deux axes ou un tour à commande numérique. Cependant, je ne pense pas qu’un fablab possède une machine à tailler les engrenages ni une CNC capable d’usiner les pièces complexes. L’impression 3D est inenvisageable pour les pièces mécaniques.

Je ne souhaite pas ajouter un moteur ni pouvoir faire fonctionner mon planétaire à vitesse réelle.

Tout est possible. L’utilisation de boules en verre nécessite de pratiquer un perçage pour leur fixation et c’est difficile à faire après la fabrication. Il faut donc les faire fabriquer spécialement et ce n’est pas envisageable sans commander un certain volume, donc d’être sûr de vendre plusieurs planétaires. Le Soleil pourrait être collé sur une cuvette mais la Terre et la Lune doivent être alignées correctement sur leur axe. Pour le moment, je compte faire imprimer en résine la Terre et la Lune. Sculpteo propose plusieurs résines qui seraient adaptées. Le Soleil devrait être en verre ou en laiton poli (j’ai trouvé des boules en verre de la bonne taille à des prix raisonnables).

Pourquoi donc ? Je n'y connais rien, donc désolé du manque de pertinence de cette question.

Franchement c'est top comme projet ! J'ai hâte de voir ce que ça va donner !

Ce n’est pas assez précis. Il serait possible d’ébaucher les pièces mais il faudrait alors les reprendre avec des outils classiques. Les perçages seraient effectués après l’impression. L’impression 3D est adaptée pour le prototypage ou pour des applications qui n’ont pas besoin d’être très précises.

Excellent projet TD, tu as tout mon soutient dans ce projet que je compte suivre avec attention !

Pour ceux qui, comme moi, aimerais également avoir un petit planétaire, il y a cette version Lego qui fonctionne vraiment bien (pour l'avoir faite chez moi) :

Bon évidemment, on est loin du projet de TD mais je le trouve vraiment mignon !

Bonne continuation !

Si tu dois vendre des exemplaires, ça serait vers quel gamme de prix pour savoir ?

Autre question: c'est quoi la barre au dessus du socle ?

C’est difficile de répondre sans expérience dans la fabrication. Après avoir fait des recherches sur les modèles mis en vente sur eBay, il va falloir compter sur un prix compris entre 500 € et plus de 1000 €. Plus je vendrais de planétaires et moins ils seront chers à l’unité car la fabrication en série revient toujours moins cher qu’une pièce unique. Pour avoir une meilleure estimation, il faut faire faire des devis. Dans tous les cas, il est peu probable que le prix soit inférieur au modèle d’Eaglemoss qui est fabriquer en série en Chine. À titre d’exemple, un planétaire de Staines & Son s’est vendu à 820 £ (1043 €).

Je compte aussi vendre les plans séparément comme Holz Mechanik mais bien moins cher évidemment (vers 50 € sans doute).

Quelle barre précisément ?

Celle là:

C’est l’arbre de la manivelle. Il est vrai qu’il n’y a ni la vis sans fin ni la poignée pour le moment.

C'est un super beau projet. J'adore tout ce qui est horlogerie et autres mécanismes complexes (même si je ne m'y connais rien) ça fait toujours rêver. Je te souhaite vraiment bon courage !